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§5.6 正弦定理、余弦定理应用举例 要点梳理 1. 解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示 .

§5.6 正弦定理、余弦定理应用举例 要点梳理 1. 解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示. 题型分类 深度剖析. 2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题，计算面 积问题、航海问题、物理问题等 . 3. 实际问题中的常用角 （ 1 ）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角 , 目标视线在水平视线 叫仰角 , 目标视线在水平视线 叫俯角（如图①）. 上方. 下方. (2) 方位角

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§5.6 正弦定理、余弦定理应用举例 要点梳理 1. 解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示 .

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  1. §5.6 正弦定理、余弦定理应用举例 要点梳理 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示. 题型分类 深度剖析

  2. 2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题，计算面 积问题、航海问题、物理问题等. 3.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角, 目标视线在水平视线叫俯角（如图①）. 上方 下方

  3. (2)方位角 指从方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为α（如图②）. （3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 正北

  4. 基础自测 1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C点的俯角为70°，则∠BAC 等于（ ） A.10° B.50° C.120° D.130° 解析 由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°, ∴∠BAC=60°+70°=130°. D

  5. 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔 A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏 东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ） A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 解析 灯塔A、B的相对位置如图所示， 由已知得∠ACB=80°， ∠CAB=∠CBA=50°， 则α=60°-50°=10°. B

  6. 3.在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A. B. C. D. 解析 由余弦定理可得： B

  7. 4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积 则a的值为（ ） A.20 B.25 C.55 D.49 解析 由S= bcsin A=220 ,得c=55. 由余弦定理得 a2=162+552-2×16×55×cos 60°=2 401, ∴a=49. D

  8. 5.(2009·湖南文，14)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A, 则 的值等于,AC的取值范围为. 解析 2

  9. 题型分类 深度剖析 题型一 与距离有关的问题 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 相距 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离. 分析题意，作出草图，综合运用正、 余弦定理求解.

  10. 解 如图所示在△ACD中， ∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°， ∴AC=CD= km. 在△BCD中，∠BCD=45°， ∠BDC=75°，∠CBD=60°. 在△ABC中，由余弦定理，得 B

  11. 求距离问题要注意： （1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所 求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若 有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求 解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可 用，就选择更便于计算的定理.

  12. 知能迁移1（2009·海南,宁夏理， 17）为了测量两山顶M、N间的 距离，飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面 内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤.

  13. 解方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N 点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示). ②第一步：计算AM.由正弦定理 第二步：计算AN.由正弦定理 第三步：计算MN.由余弦定理

  14. 方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的 俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2; A、B的距离d（如图所示）. ②第一步：计算BM.由正弦定理 第二步：计算BN.由正弦定理 第三步：计算MN.由余弦定理

  15. 题型二 与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向 前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得 塔顶的最大仰角为30°，求塔高. 依题意画图，某人在C 处,AB为塔高,他沿CD前进，CD= 40米，此时∠DBF=45°,从C到D 沿途测塔的仰角，只有B到测试点 的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB = AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出 塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD （或BC）.

  16. 解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD 前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥ CD于E，则∠AEB=30°，

  17. 在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°, ∠BDE=180°-135°-30°=15°. 在Rt△BED中， BE=DBsin 15° 在Rt△ABE中，∠AEB=30°， ∴AB=BEtan 30°= 故所求的塔高为

  18. 解斜三角形应用题的一般步骤是： （1）准确理解题意，分清已知与所求； （2）依题意画出示意图； （3）分析与问题有关的三角形； （4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角 形，逐步求解问题的答案； （5）注意方程思想的运用； （6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.

  19. 知能迁移2如图所示，测量河对岸的 塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得 ∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，并 在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解 在△BCD中，∠CBD=π-α-β

  20. 题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 (12分)如图所示,在梯形ABCD中， AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°， ∠ADB=45°，求BD的长. 由于AB=5，∠ADB=45°，因此要 求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解,关键 是确定∠BAD的正弦值.在△ABC中,AB=5, AC=9，∠ACB=30°,因此可用正弦定理求 出sin∠ABC,再依据∠ABC与∠BAD互补确定 sin∠BAD即可.

  21. 解题示范 解 在△ABC中，AB=5，AC=9，∠BCA=30°. ∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠ABC, 于是sin∠BAD=sin∠ABC= . [8分] 同理，在△ABD中，AB=5，sin∠BAD= ， ∠ADB=45°，解得BD= .故BD的长为 . 要利用正、余弦定理解决问题,需将 多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意 有利于应用正、余弦定理. [6分] [12分]

  22. 知能迁移3如图所示，已知半圆的直径AB=2， 点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与 圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 最大值.

  23. 解 设∠POB=θ，四边形面积为y， 则在△POC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ.

  24. 思想方法 感悟总结 方法与技巧 1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型. 2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.

  25. 失误与防范 在解实际问题时，应正确理解如下角的含义. 1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角. 2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角. 3.坡度——坡面与水平面的二面角的度数. 4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线 下方时称为俯角.

  26. 一、选择题 1.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别 是30°，60°,则塔高为（ ） 解析 作出示意图如图， 由已知：在Rt△OAC中， OA=200，∠OAC=30°， 则OC=OA·tan∠OAC =200tan 30°= 在Rt△ABD中，AD= ，∠BAD=30°， 则BD=AD·tan∠BAD= 定时检测 A

  27. 2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时 后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船 的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（ ） A.5海里 B.5 海里 C.10海里 D.10 海里 解析 如图所示，依题意有∠BAC=60°， ∠BAD=75°， 所以∠CAD=∠CDA=15°， 从而CD=CA=10， 在Rt△ABC中，得AB=5， 于是这艘船的速度是 （海里/小时）. C

  28. 3.如图所示，已知两座灯塔A和B与 海洋观察站C的距离都等于a km, 灯塔A在观察站C的北偏东20°， 灯塔B 在观察站C的南偏东40°， 则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A.a km B. a km C. a km D.2a km 解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°, 在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC ·BCcos 120°=2a2-2a2× B

  29. 4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座 灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 （ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时

  30. 解析 如图所示，在△PMN中， 答案A

  31. 5.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20 海里,随后货轮按北偏西30°的方向航 行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北 方向,则货轮的速度为（ ） A.20 海里/小时 B.20 海里/小时 C.20 海里/小时 D.20 海里/小时

  32. 解析 由题意知SM=20,∠SNM=105°, ∠NMS=45°, 答案B

  33. 二、填空题 6.线段AB外有一点C,∠ABC=60°, AB=200 km,汽车以 80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B向C行驶,则运动开始h后，两车的距 离最小. 解析 如图所示，设t h后,汽 车由A行驶到D，摩托车由B行 驶到E，则AD=80t，BE=50t. 因为AB=200，所以BD=200-80t， 问题就是求DE最小时t的值. 由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t =12 900t2-42 000t+40 000.

  34. 7.在△ABC中,BC=1,∠B= ，当△ABC的面积等于 时，tan C=. 解析S△ABC= acsin B= ,∴c=4. 由余弦定理：b2=a2+c2-2accos B=13,

  35. 8.在△ABC中,AC= ，BC=2，B=60°,则A的大小 是，AB=. 解析 45°

  36. 9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船 相距a海里,乙船正向北行驶, 若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取方向才能追上乙船；追上 时甲船行驶了海里. 解析 如图所示，设到C点甲船追上乙船， 乙到C地用的时间为t，乙船的速度为v, 则BC=tv，AC= tv，B=120°， ∴BC=AB=a， ∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 120° 北偏东30°

  37. 三、解答题 10.如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等 于60°,半径为2,在弧AB上有一动点 P，过P引平行于OB的直线和OA交于 点C，设∠AOP=θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值. 解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-θ， ∠OCP=120°. 在△POC中，由正弦定理得

  38. 11.在△ABC中，已知 (1)求sin2 cos(B+C)的值; (2)若△ABC的面积为4,AB=2,求BC的长. 解

  39. 12.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A( -1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的 方向，距离A 2 n mile的C 处的缉私船奉命以 10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船 正以10n mile/h的速度从B 处向北偏东30°方向逃 窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC中求出BC， 再在△BCD中求∠BCD. 设缉私船用t h在D处追上走私船，

  40. 则有CD=10 t，BD=10t. 在△ABC中，∵AB= -1，AC=2， ∠BAC=120°, ∴由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =（ -1）2+22-2×（ -1）×2×cos 120°=6, ∴BC= ，∵∠CBD=90°+30°=120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 ∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上 走私船. 返回

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