La résolution de problèmes à l’école primaire

1. La résolution de problèmes à l’école primaire Animation pédagogique cycle 2 et 3 Circonscription de Loudéac 2009/2010

2. La résolution de problèmes à l’école primaire Des outils pour les élèves en difficulté

3. Qu’est-ce qu’un problème ? Pour un élève ou un groupe d’élèves, un problème en mathématiques est une situation où il tente de répondre à une question poséeou d’accomplir une tâche déterminée, à la lumière de son expérience, ainsi que des informations qui lui sont fournies explicitement ou non. Il doit pour trouver une réponse ou accomplir cette tâche chercher et faire appel à des mathématiques ou à deshabiletés intellectuelles utilisées en mathématiques.

4. Et pour les élèves en difficulté ? Lorsque l’on interroge des élèves en difficulté dans la résolution de problème lors d’un entretien d’explicitation, on obtient les réponses suivantes à ces questions : Qu’est-ce qu’un problème?  un problème a toujours une solution  un problème fait toujours intervenir des nombres  un problème se présente toujours sous la forme d’un énoncé qui se termine par une question  il n’y a qu’une façon de résoudre les problèmes Commentfaire pour le résoudre ?  c’est le résultat qui compte  pour résoudre un problème, il faut utiliser les dernières notions vues en classe  pour trouver la solution, il faut déjà savoir  seul le maître (ou un autre adulte) est capable de dire si le résultat est le bon ou non Certains élèves répondent au problème (ceux qui réussissent) et d’autres répondent au maître !

5. La réussite ou l’échec d’un élève dépendent donc de deux facteurs :  les connaissances qu’il a :  en lecture  en mathématiques  sur le monde  les croyances qu’il a sur :  ce qui est attendu  ce qui est permis  ce qui marche souvent  celui ou celle qui pose la question

6. Des pistes de travail

7. Les difficultés rencontrées • Des difficultés de lecture • Des difficultés de représentation schématique • Des difficultés pour choisir la bonne opération • Des difficultés pour traiter les informations • Des difficultés de méthodologie • Des difficultés à formuler sa réponse • Des difficultés à bien présenter son travail

8. A propos des difficultés de lecture • On peut faire « une vraie séance de français » à partir d’un énoncé de problème : Activités autour du lexique des mathématiques (Maths en mots) • Écrire un énoncé à partir de données, d’un schéma ou d’un calcul exemples :  2 livres, 4 euros, 10 euros  0 0 0 0 0 0 0 0 0  8 + 10  Écrire un énoncé à partir de situations concrètes vécues à l’école • Inventer des questions à partir d’un énoncé • Classer les problèmes selon le type d’opération • Lire l’énoncé, répondre à des questions de compréhension à l’oral ou à l’écrit • Raconter oralement après lecture ce dont on parle dans l’énoncé. • Placer la question avant le reste de l’énoncé Savoir ce que l’on recherche ; pouvoir d’emblée imaginer la situation induit une amélioration des performances de compréhension en lecture  Soulager la lecture des élèves en difficulté en effectuant pour eux une lecture orale de l’énoncé

9. A propos des difficultés de représentation schématique • A partir de schémas proposés par des élèves pour résoudre un problème, on confronte les propositions pour : • Comprendre que le symbole peut être très différent de l’objet représenté • Comprendre que certains symboles sont plus rapides à représenter • Comprendre que plus le schéma est organisé, plus il est facile à « lire » • On peut augmenter la taille des nombres pour démontrer que certains schémas « résistent » mieux, c’est-à-dire sont plus efficaces. • La schématisation est une étape du « process mental » dans la résolution d’un problème. Elle est « une aide » lors de la construction de la procédure de résolution. A un certain moment, il n’est plus nécessaire de la mettre sur papier, cette étape est « intégrée ».

10. A propos des difficultés à choisir la bonne opération • Pour résoudre un problème arithmétique, il convient d’en comprendre l’énoncé, bien entendu, mais il faut aussi « arithmétiser » ce qu’on vient de comprendre, c’est-à-dire faire le lien avec les connaissances arithmétiques disponibles. Or, les compétences en calcul mental jouent un rôle déterminant dans la phase d’arithmétisation. (Denis Butlen) La pratique régulière du calcul mental produit deux effets :  accélération du processus d’automatisation de la reconnaissance des opérations à effectuer  apparition de stratégies originales • On peut aussi systématiser des opérations en proposant une séance de « problème mental » en jouant sur des petits nombres. exemple : Il est 10h15, dans 16 minutes, c’est la pause. A quelle heure est la pause ? • D’autres pistes à partir d’un exemple. Voir page suivante…

11. Problème : Avant la récréation, Jean avait des billes. Durant la récréation, Jean a perdu 12 billes. Après la récréation, Jean a 25 billes. Combien de billes avait Jean avant la récréation ? Comment aider les élèves à trouver la bonne opération ? • On peut transformer l’énoncé en remplaçant les nombres par des nombres plus petits, ce qui permettra de déboucher sur une représentation type. • On peut demander aux élèves de « théâtraliser, jouer » l’énoncé. • On peut demander aux élèves de dessiner le problème (le scénariser ?). • On peut proposer plusieurs schémas (certains bons, d’autres pas) et « reraconter » l’histoire à partir du schéma. On les confronte et on conserve la ou les bonnes représentations.

12. A propos des difficultés pour traiter les informations • On peut faire des activités diverses autour des énoncés de problèmes :  Barrer les données inutiles ou repérer les données utiles  Relier les calculs aux bons énoncés (une diapo)  Donner des énoncés à trous  (travail de compréhension et de cohérence) (une diapo)  Donner un énoncé avec des phrases dans le désordre et demander de reconstituer l’énoncé  Trouver la donnée manquante pour résoudre un problème • On peut proposer des problèmes ouverts, des problèmes de logique , des énigmes, des attrape-nigauds pour développer l’esprit et le goût de la recherche. (trois diapos) • On peut proposer ou construire une aide méthodologique

13. Jean a 5 billes, Paul a 4 billes. Combien de billes ont-ils ensemble ? Jean a 5 billes, il en perd 4 à la récréation. Combien a-t-il de billes à la fin de la récréation ? Jean gagne 4 billes à la récréation. A la fin de la récréation, il en a 5. Combien de billes avait Jean avant la récréation ? 5 – 4 = 1  5 + 4 = 9  4 + 1 = 5 Associer énoncés et problèmes

14. Des énoncés à trous On allume à …h… une bougie qui mesure … cm de hauteur. Le même jour, on éteint la bougie à ...h… ; elle ne mesure plus que …. cm. De combien a-t-elle diminué ?

15. Vert Jaune Rouge Brun Bleu Nolwenn Annaïg Bleuenn Gwenola Maëlle Des problèmes de logique La fête des enfants * Un petit garçon est de retour d'une fête pour des enfants et, tout excité, n'arrive pas à répondre tout à fait adéquatement aux questions de sa mère. Il se rappelait qu'il y avait cinq fillettes à la fête, que Nolwenn portait du bleu et qu‘Annaïg portait du rouge. Il ne se rappelait plus de la couleur portée par Bleuenn, mais était certain que ce n'était pas le jaune. Il a affirmé que Gwenola et la fillette en vert ont gagné au ping-pong contre Nolwenn et la fillette en jaune. Et, il trouvait la fillette vêtue de brun la plus sympathique. Quelle couleur était portée par Maëlle et quel est le nom de la fillette la plus sympathique? Non Non Non Non Oui Non Oui Non Non Non Oui Non Non Non Non Non Non Non Oui Non Non Oui Non Non Non

16. « joue le rôle de » Roi Soldat Fou Bourreau Prisonnier Antoine Bruno non Charles Denis Etienne • Des problèmes de logique (2) • Les comédiens • Antoine, Bruno, Charles, Denis et Etienne tiennent le rôle d’un roi, d’un soldat, d’un fou, d’un bourreau et d’un prisonnier dans une pièce de théâtre. • Antoine, Bruno et le prisonnier ne connaissent pas encore leur texte par cœur. • Pendant les pauses, le soldat joue aux cartes avec Denis. • Antoine, Bruno et Charles critiquent la manière de jouer du bourreau. • Le fou apprécie le jeu de Bruno, de Charles et d’Etienne, mais déteste celui du soldat. • Peux-tu attribuer à chacun d’eux son rôle ? non oui non non non oui non non non non non non non oui non non oui non non non non non oui non

17. Des énigmes Pourquoi 7 ? Trois femmes vont au restaurant et décide d’inviter chacune leurs deux filles. Elles ne réservent que 7 places au restaurant. Pourquoi ? Réponse : Une des trois femmes est déjà la mère des deux autres. Roméo assassiné Juliette a trouvé Roméo mort dans la cuisine. Il gisait dans une flaque d'eau, au milieu de morceaux de verre brisé. Il n'avait pas une égratignure. En voyant la fenêtre ouverte, Juliette a compris immédiatement qui était le responsable du crime. Et vous ? Réponse : Roméo est le poisson rouge de Juliette. Le chat est rentré par la fenêtre et a renversé l'aquarium.

18. Des problèmes ouverts  On cherche un nombre qui s'écrit avec deux chiffres. Si on additionne les chiffres on trouve 7. Quelles sont toutes les solutions possibles ?  Solène a un drapeau vide avec 3 rectangles : Elle veut le colorier avec 3 couleurs : rouge, bleu, vert. Combien de drapeaux différents peut-elle colorier ?  Voici quatre lettres : A B C D Voici quelques indications : - la lettre A n'est pas dans le carré - la lettre B est dans le cercle - la lettre C n'est pas dans une figure à quatre côtés. Dans quelle figure se trouve chaque lettre ? A B D C

19. Des attrape-nigauds Le trou Combien de mètres cubes de terre contient un trou de 6 m de diamètre et de 3 m de profondeur ? Réponse : Il n’y a pas de terre dans un trou ! Partage difficile J'ai 9 enfants et 7 pommes. Comment je fais pour les partager de manière égale aux 9 enfants ? Réponse : Je fais de la compote !

20. A propos des difficultés pour organiser le traitement du problème Un exemple de fiche outil

21. Premier exemple de fiche outil 1/ Lire le problème une fois ou deux en essayant de comprendre « l’histoire » ou la situation 2/ S’imaginer l’histoire dans sa tête 3/ Surligner en jaune les données du problème 4/ Surligner en rose la question posée et bien comprendre ce que l’on demande 5/ Faire un schéma 6/ Ecrire le calcul qui correspond au schéma 7/ Faire une phrase réponse en utilisant les mots de la question 8/ Vérifier que la réponse peut être cohérente avec le problème posé

22. A propos des difficultés à formuler sa réponse • Il faudrait encourager les enfants à utiliser systématiquement les mots de la question pour rédiger leur phrase réponse. exemples :  Combien y-a-t-il de personnes dans la salle ? Il y a ___ personnes dans la salle.  A quelle heure arrivera le train de Ploeuc sur Lié ? Le train de Ploeuc sur Lié arrivera à ___h___ min. • On peut donner des énoncés et des solutions à remettre ensemble. • On peut donner un énoncé et une solution « à trous » à compléter (il peut manquer des nombres, des phrases, des mots, des symboles mathématiques, des étapes entières)

23. A propos des difficultés à présenter sa solution • Il faut développer le plus systématiquement l’utilisation du cahier de brouillon • Lors de la synthèse ou de la correction, un effort sur la rigueur et l’organisation de la présentation de sa solution est à prévoir pour deux raisons principales :  « ce qui se conçoit bien, s’écrit clairement »  le soin et la rigueur portés à la présentation de son travail est une compétence à acquérir dans tous les domaines • Les problèmes « d’entraînement » peuvent permettre d’installer ces bonnes pratiques • Une aide méthodologique peut aider les élèves les plus en difficulté  Dans l’évaluation, la présentation doit être prise en compte

24. Et maintenant ….