第二十一章 重积分

1. 第二十一章 重积分 §1 二重积分的概念 §2 直角坐标系下二重积分的计算 §3 格林公式•曲线积分与路线的无关性 §4二重积分的变量变换 §5 三重积分 §6 重积分的应用

2. §1二重积分的概念 一、 平面图形的面积 二、 二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质

3. 一 平面图形的面积 1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念

5. （2） (3)

6. 于是由（3）可得 使得（2）式成立．但

7. 所以

8. 定理21．2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零． 证 由定理21．1，P可求面积的充要条件是： 由于

10. 还可证明得到：

11. 高 柱体体积=底面积× 二 二重积分的定义及其存在性 １．曲顶柱体的体积 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体

12. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 播放

13. 一曲顶柱体其顶为曲面底面为平面区域 D,求此曲顶柱体的体积。 曲顶柱体的体积 解： 对区域D进行网状分割（如图）

14. 曲顶柱体的体积

15. 每个个小区域 内任取一点 其中 2）近似： 则每个小曲顶柱体的体积近似为： 3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为 4）取极限：

16. 设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点（ x , y )处的密度为 求：此薄片的质量 2 平面薄片的质量 2）取点 3）作和 4）取极限

17. 3.二重积分的概念

18. 面积元素 被积表达式 积分区域 积分变量 被积函数 积分和

19. 注： 1） 在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故 如果在直角坐标系中用平 行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含， 边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域 都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 的边长为 和 则 故在直角坐标系中，

20. 直角坐标系下面积元素 图示 y D 0 x

21. 2 ）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数 在D上的二重积分 平面薄片的质量是面密度 在薄片所占闭区域D上的 二重积分：

22. （1）如果 则二重积分 解释 为曲顶柱体的体积。 （2）如果 则二重积分 解释 为曲顶柱体体积的负值。 则二重积分 （3）如果 解释为曲顶柱体体积的代数和。 3 ） 二重积分的几何意义： （其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）。

23. 例：用定义计算二重积分 解：用直线网 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点 为介点 .

24. 4. 可积条件 : 可积的必要条件： 上和与下和： 令

25. = 定理21．6 有界闭区域D上的连续函数必可积．

28. 又记 ．

29. 当 为常数时， 三、二重积分的性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 性质２

30. 若 为D的面积， 对区域具有可加性 性质３ 性质４ 性质５ 若在D上 则有 特殊地

31. 例1 比较下列积分的大小： 与 1） 其中D: y 故在D内 D . (0,1) (3,0) 0 (1,0) x 解：在区域D内，显然有

32. ,其中区域 D为 顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。 2） B(1,1) A(1,0) B(2,0) 解： BC的方程x+y=2 D内 所以

33. 性质6（估值定理） 设在D上f(x,y)的最大值为M，最 小值为m，A为D的面积，即 则 证明： 因为 由性质5 所以

34. 例2 解： 在D内的最大值为4，最小值为1 区域D的面积为2 所以由性质6得

35. 证明：由性质6得， 在闭区域 性质7(中值定理) D连续， 之面积,则在D上至少存在一 点 使得：

36. 根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少 存在一点 即

37. 解

38. 解

39. 解

40. 四、小结 二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） 二重积分的性质

41. 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.

42. 思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．