三角形 證明

1. 三角形證明

2. 歷史 • 這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明 • 中國古代的《周髀算經》中，記載了商朝的商高引述大禹發現了勾股弦定理： • 故折矩, 以為句廣三, 股修四, 徑隅五。既方之, 外半其一矩, 環而共盤, 得成三四五。兩矩共長二十有五, 是謂積矩。

3. 歷史 • 《周髀算經》中更明確記載了公式： 「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪 至日 」

4. 勾股弦定理： • 直角三角形兩直角邊（即「勾」、「股」）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。 • 假設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c ，那麼a ²+ b ² = c ² • 只要知道直角三角形的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。 • 勾股弦定理同時是餘弦定理中的一個特例。勾股弦定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

5. 勾股數組 • 勾股數組是滿足勾股弦定理a ²+ b ² = c ²的正整數組(a,b,c)，其中的a,b,c稱為勾股數。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。 • 任意一組勾股數(a,b,c)可以表示為如下形式：a = k(m2 − n2),b = 2kmn,c = k(m2 + n2)

6. 勾股弦定理證明 • 利用相似三角形證明，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。 • 設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看下頁附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

7. 因為BC=a,AC=b,AB=c • 所以 • 可以寫成 • 綜合這兩個方程式，我們得到 • 換句話說:

8. 圖形重新排列證法 • 以面積減演算法證明，此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a + b) ²。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a ² + b ²，右方餘下面積為c ²，兩者相等。

9. 勾股弦定理推導正三角形 假設正三角形的邊長為ａ，則可推得以下的性質：

10. 海倫公式 • 海倫公式，又譯希羅公式、希倫公式、海龍公式，亦稱「海倫-秦九韶公式」。此公式相傳是亞歷山大港的希羅發現的，並可在其於公元60年的《Metrica》中找到其證明，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。 • 亦有認為早於阿基米德已經懂得這條公式，而由於《Metrica》是一部古代數學知識的結集，該公式的發現時期很有可能先於希羅的著作。

11. 假設有一個三角形，邊長分別為a,b,c，三角形的面積S可由以下公式求得：假設有一個三角形，邊長分別為a,b,c，三角形的面積S可由以下公式求得： • 由於任何n邊的多邊形都可以分割成n − 2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。

12. 接近正三角形的海倫三角形 • 海倫三角形是各邊、面積及內切圓半徑均為有理數的三角形。因正三角形當邊長為有理數時，其面積為無理數，因此不存在滿足海倫三角形條件的正三角形。不過有一些海倫三角形其三邊邊長為 n − 1, n, n + 1，算是很接近正三角形的海倫三角形， • 表中的 n有一個特性：將某一個 n乘以4，再減去較小三角形的 n，就是下一個三角形的邊長n（52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14，以此類推），可以用下頁的例子表示： • 佩爾方程 x² − 3y² = 1 的解求得，也和 √3的連分數有關。

14. 資料來源： 維基百科 • 勾股弦定理 • 正三角形 • 海倫公式