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第三章 平面向量

第三章 平面向量. 綜合練習. 一 ﹑ 基礎題. 請看課本 p.215. 設 ABCDE 為一正五邊形 , 試比較下列 各組向量內積值的大小關係：  . 解 ︰  的夾角分別為 0°, 72°, 144°, 144°, 108°, 故得大小關係為. 一 ﹑ 基礎題. 請看課本 p.215. 設 ABCDE 為一正五邊形 , 試比較下列 各組向量內積值的大小關係： . 解 ︰  0, α, β, γ, 利用圖示法可知. 一 ﹑ 基礎題. 請看課本 p.215.

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第三章 平面向量

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  1. 第三章 平面向量 綜合練習

  2. 一﹑基礎題 請看課本p.215 • 設ABCDE為一正五邊形, 試比較下列各組向量內積值的大小關係： •  •  • 解︰ • 的夾角分別為0°, 72°, 144°, 144°, 108°, • 故得大小關係為

  3. 一﹑基礎題 請看課本p.215 • 設ABCDE為一正五邊形, 試比較下列各組向量內積值的大小關係： •  • 解︰ •  • 0, α, β, γ, 利用圖示法可知

  4. 一﹑基礎題 請看課本p.215 2.如下圖所示, 有一船位於甲港口的東方27公里北方8公里的A處, 直朝位於港口的東方2公里北方3公里的B處航標駛去, 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口, 試問船在航標處的航向修正應該向左轉幾度？（整數以下四捨五入）

  5. 一﹑基礎題 請看課本p.215 • 解︰ • 建立坐標系, 令甲港口 • C(0, 0), A(27, 8), B(2, 3), • 則　　= (－25, －5), = (－2, －3), • 設所求夾角為θ, 則 • 故所求夾角為45°.

  6. 一﹑基礎題 請看課本p.215 • 如圖ABCD為一平行四邊形, E為BC邊上的點, • F為CD邊所在直線上一點, • 試將 的線性組合表示. • 試將 的線性組合表示. • 試證A, E, F三點共線. • 解︰ •  • 

  7. 一﹑基礎題 請看課本p.215 • 如圖ABCD為一平行四邊形, E為BC邊上的點, • F為CD邊所在直線上一點, • 試證A, E, F三點共線. • 解︰ •  由知 • 由知 • 所以得 故A, E, F三點共線.

  8. 一﹑基礎題 請看課本p.215 4.已知 ∠AOB = 120°, 若 ∠AOM = θ, 試求tanθ的值. • 解︰ • 取O為直角坐標系原點, 如右圖, • 取　　= (3, 0), 因為∠AOB = 120°, • 且　　= 5, 故知B點的

  9. 一﹑基礎題 請看課本p.215 4.已知 ∠AOB = 120°, 若 ∠AOM = θ, 試求tanθ的值. • 解︰

  10. 一﹑基礎題 請看課本p.215 4.已知 ∠AOB = 120°, 若 ∠AOM = θ, 試求tanθ的值. • 解︰ • 依廣義角的正切定義知

  11. 一﹑基礎題 5. 設△ABC為一等腰直角三角形, ∠BAC = 90°, 若P, Q為斜邊　　的三等分點, 求tan∠PAQ的值.（化成最簡分數） • 解︰ • 圖形坐標化（建立坐標系）, 如右圖： • 令∠PAQ = θ,

  12. 一﹑基礎題 請看課本p.215 5. 設△ABC為一等腰直角三角形, ∠BAC = 90°, 若P, Q為斜邊　　的三等分點, 求tan∠PAQ的值.（化成最簡分數） • 解︰

  13. 一﹑基礎題 請看課本p.216 6. 過A(6, 2), B(11, 1)兩點的直線與直線L：2x－5y = 7交於一點P, 試求 及P點坐標. • 解︰ • 由　　= (5, –1), 得知參數式 • 取P(6 + 5t, 2 – t), 代入直線L, • 得2(6 + 5t) – 5(2 – t) = 7, • 整理得15t = 5, 所以

  14. 一﹑基礎題 請看課本p.216 6. 過A(6, 2), B(11, 1)兩點的直線與直線L：2x－5y = 7交於一點P, 試求 及P點坐標. • 解︰ • 即P在由A點到B點的三分之一點上, • 即得

  15. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 已知設θ為 的夾角, 試求： •  •  cosθ. • 由　　所張成的三角形面積. • 解︰ • 

  16. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 已知設θ為 的夾角, 試求： •  • cosθ. • 由　　所張成的三角形面積. • 解︰ • 

  17. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 已知設θ為 的夾角, 試求： •  •  cosθ. • 由　　所張成的三角形面積. • 解︰ •  所以 故得三角形面積為

  18. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 設△ABC三邊長 的中點分別為D(1, 1), E(3, 2), F(5, 4), 試求： • 三頂點A, B, C的坐標. • △ABC的面積. • 解︰ •  作圖參考, 利用向量相等解之, 令A(x, y), • 由 , 所以 • (x – 1, y – 1) = (5 – 3, 4 + 2) = (2, 6), • 故得A(3, 7), • 同理由 • 得B(– 1, – 5), C(7, 1).

  19. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 設△ABC三邊長 的中點分別為D(1, 1), E(3, 2), F(5, 4), 試求： • 三頂點A, B, C的坐標. • △ABC的面積. • 解︰ •  所以　　= (– 4, – 12),= (4, – 6), • 得△ABC面積

  20. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 9.已知　= (6, – 2),= (0, 2), 設 • 當　　= 10時, 參數t值為何？ • 當　　為最小時, 參數t值為何？又此最小值為何？ • 當　　　垂直時, 參數t值為何？ • 試說明當　　為最小時, 恰為　　　垂直. • 解︰ • 

  21. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 9.已知　= (6, – 2),= (0, 2), 設 • 當　　= 10時, 參數t值為何？ • 當　　為最小時, 參數t值為何？又此最小值為何？ • 當　　　垂直時, 參數t值為何？ • 試說明當　　為最小時, 恰為　　　垂直. • 解︰ •  所以 • 得2 + 2t = ±8, 即2t = 10或2t =  6, • 所以參數t值為5或3.

  22. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 9.已知　= (6, – 2),= (0, 2), 設 • 當　　= 10時, 參數t值為何？ • 當　　為最小時, 參數t值為何？又此最小值為何？ • 當　　　垂直時, 參數t值為何？ • 試說明當　　為最小時, 恰為　　　垂直. • 解︰ •  • 故知當t = 1時, 　　有最小值為6.

  23. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 9.已知　= (6, – 2),= (0, 2), 設 • 當　　= 10時, 參數t值為何？ • 當　　為最小時, 參數t值為何？又此最小值為何？ • 當　　　垂直時, 參數t值為何？ • 試說明當　　為最小時, 恰為　　　垂直. • 解︰ •  當　　　垂直, 即 • 所以0 – 4 + 4t = 0, 即t = 1.

  24. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 9.已知　= (6, – 2),= (0, 2), 設 • 試說明當　　為最小時, 恰為　　　垂直. • 解︰ • 如右圖, 取O(0, 0), A(6, – 2), B(0, 2), • 則 • 所以 • 知　的終點P坐標均落在過A點, 且 • 與直線OB（或　）平行的直線上, • 由圖即可看出當 垂直時, 最小. • 或由 的結果亦可佐證.

  25. 一﹑基礎題 請看課本p.216 10. x, yR, 已知2x + y = 5, 求4x2 + 9y2的最小值及有最小值時的x, y值. • 解︰ • 由柯西不等式知

  26. 一﹑基礎題 請看課本p.216 10. x, yR, 已知2x + y = 5, 求4x2 + 9y2的最小值及有最小值時的x, y值. • 解︰ • 則得2x + y = 10y = 5, 故 • 所以當 時, • 為最小.

  27. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 設直線L1：5x – 12y – 2 = 0, L2：4x + 3y + 11 = 0, θ為兩直線的夾角, 試求： • cosθ值. • L1與L2的交角角平分線方程式. • 解︰ • 

  28. 一﹑基礎題 請看課本p.216 • 設直線L1：5x – 12y – 2 = 0, L2：4x + 3y + 11 = 0, θ為兩直線的夾角, 試求： • cosθ值. • L1與L2的交角角平分線方程式. • 解︰ •  L1與L2交角平分線的方程式為 • 整理得3x + 11y + 17 = 0或11x – 3y + 19 = 0.

  29. 一﹑基礎題 請看課本p.216 12. 試求斜率為且與點A(5, 1)的距離為3的直線方程式. • 解︰ • 令直線 轉化成3x – 4y + k = 0的形式, • 因為與點A(5, – 1)的距離為3, 故得 • 所以19 + k = ±15, 解得k4或34, • 即直線方程式為3x – 4y – 4 = 0或3x – 4y – 34 = 0.

  30. 二﹑進階題 請看課本p.216 1. 設O為坐標平面上的原點, P點坐標為(2, 1)；若A, B分別是x軸及y軸正向上的點, 使得試求△OAB面積的最大值.（化成最簡分數） • 解︰ • 如圖, 設A(x, 0), B(0, y), • 則　　= (x – 2, – 1), = (– 2, y – 1), • 由 • – 2(x – 2) –(y – 1) = 0 •  2x + y = 5, 又△OAB =

  31. 二﹑進階題 請看課本p.216 1. 設O為坐標平面上的原點, P點坐標為(2, 1)；若A, B分別是x軸及y軸正向上的點, 使得試求△OAB面積的最大值.（化成最簡分數） • 解︰ • 利用算幾不等式

  32. 二﹑進階題 請看課本p.217 2. 設A(a, 1), B(2, b), C(3, 4)為坐標平面上的三點, 而O為原點, 若向量　　　　在向量　　上的正射影相同, 試求a與b滿足的關係式. • 解︰ • 由向量　　　　在向量　　上的正射影相同, • 可得 則3a + 4 = 6 + 4b3a – 4b – 2 = 0.

  33. 二﹑進階題 請看課本p.217 3. 試求由直線L1：y = 2, L2：3x – 4y = 4,L3：4x + 3y = 2所圍出的三角形內心坐標.（三角形三內角角平分線的交點為內切圓圓心, 稱為內心）. • 解︰ • 先作圖輔助研判, • L1, L2的交角角平分線為

  34. 二﹑進階題 請看課本p.217 3. 試求由直線L1：y = 2, L2：3x – 4y = 4,L3：4x + 3y = 2所圍出的三角形內心坐標.（三角形三內角角平分線的交點為內切圓圓心, 稱為內心）. • 解︰ • 即3x – 9y + 6 = 0或3x + y – 14 = 0. • 依圖取斜率為正者：x – 3y + 2 = 0. • L1, L3的交角角平分線為 • 4x + 3y – 2 = ±5(y – 2),

  35. 二﹑進階題 請看課本p.217 3. 試求由直線L1：y = 2, L2：3x – 4y = 4,L3：4x + 3y = 2所圍出的三角形內心坐標.（三角形三內角角平分線的交點為內切圓圓心, 稱為內心）. • 解︰ • 即4x – 2y + 8 = 0或4x + 8y – 12 = 0. • 依圖取斜率為負者：x + 2y – 3 = 0. • 求x – 3y + 2 = 0與x + 2y – 3 = 0的交點, • 得交點(1, 1)即為內心. End

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