Агасандян Г.А.

Агасандян Г.А. Континуальный критерий VaR(CC-VaR)на финансовых рынках Часть II Вычислительный центр РАН

Многомерные рынки • Рассматривается однопериодный финансовый рынок сnбазовыми активами, значениякоторых образуют вектор xXn. • Инвестор характеризуется неотрицательной, монотонно возрастающей и непрерывной функцией рисковых предпочтений(ф.р.п.) (), [0,1], определяющей его склонность к риску. Пример: ()=, [0,1], >0, при этом большие значения параметра  отвечают большей готовности инвестора идти на риск ради увеличения средней доходности. • Континуальный критерий VaR (CC-VaR) требует, чтобы при заданной инвестиционной сумме Sслучайныйдоходq, порожденный строящимся из имеющихся на рынке инструментов (оптимальным) портфелем, удовлетворял неравенствам P{q()} 1– для всех[0,1], где P{M} – вероятность множества M(распределение вероятности составляет прогноз инвестора).

Многомерные рынки Предполагается, что многомерный однопериодный рынок образован несколькими (n>1) базовыми активами. На нем обращаются также инструменты, платежные функции которых определяются в общем случае совокупностью цен всех базовых активов. Рассматривается многомерный -рынок на основе многомерных -инструментов, а также рынок опционов, на котором особую роль играют элементарные инструменты, называемые -опционами. Вводятся x = (x1,x2,…,xn), ς = (ς1,ς2,…,ςn) и α = (α1,α2,…,αn) – векторы соответственно цен базовых активов xi, страйков ςi, iN={1,…,n}, и чисел αi{–1,1}, характеризующих тип опциона. Тогда α-опцион A(ς;α), по которому доход выплачивается в конечный момент времени, определяется платежной функцией max(0,α1(x1–ς1))...max(0,αn(xn–ςn)). Размерность доходов и цен опционов одинакова, но может не быть связана с размерностями базовых активов. Как и в одномерном случае, благодаря теоремам паритета опционов присутствие на рынке всех 2nα-опционов для каждого ςn не является обязательным.

Многомерный -рынок

Многомерный рынок опционов

Многомерный рынок ζ-опционов

Двумерный рынок опционов

Двумерный рынок опционов Двумерный базисный внутренний баттерфляйB[2,2]

Двумерный рынок опционов Двумерный базисный вершинный спредB[1,k2]

Двумерный рынок опционов Двумерный базисный реберный баттерспредB[2,k2]

S C  F P Двумерный рынок опционов Области применения -опционов C,S,P,F(все – OoTM) на множестве XY с 6  5= 30 страйками; - центр рынка (3,3).

Двумерный рынок опционов Пример.Подготовка данных X=Y=[-1,1]; p(x,y) = 13/36 - x2/6 - y2/6 (график слева); c(x,y) = 37/120 - (x+1/2)2/20 - (y-1/2)2/20(график справа); |C(s,t)| = (1-s)2(1-t)2(28-4s-s2-t2)/480; x,s X; y,tY; |S(s,t)| = (1+s)2(1-t)2(36-s2-t2)/480; |P(s,t)| = (1+s)2(1+t)2(28-s2+4t-t2)/480; |F(s,t)| = (1-s)2(1+t)2(20-4s-s2+4t-t2)/480; |CX(s)| = (1-s)2(25-4s-s2)/120; |CY(t)| = (1-t)2(33-t2)/120; |PY(s)| = (1+s)2(33-s2)/120; |PY(t)| = (1+t)2(25+4t-t2)/120.

Двумерный рынок опционов Пример.Базисные баттерфляиBC B[1,1]=U+(CX[2]-CX[1])/h1+(CY[2]-CY[1])/h2+(C[2,2]-C[1,2]-C[2,1]+C[1,1])/h1/h2; B[1,k2]=(CY[k2-1]-CY[k2])/h2+(C[1,k2]-C[2,k2]-C[1,k2-1]+C[2,k2-1]) /h1/h2; B[k1,1]=(CX[k1-1]-CX[k1])/h1+(C[k1,1]-C[k1,2]-C[k1-1,1]+C[k1-1,2]) /h1/h2; B[k1,k2]=(C[k1,k2]-C[k1,k2-1]-C[k1-1,k2]+C[k1-1,k2-1])/h1/h2; B[1,j]=(CY[j-1]-2CY[j]+CY[j+1])/h2+(C[2,j-1]-2C[2,j]+C[2,j+1]-C[1,j-1]+2C[1,j]-C[1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1; B[k1,j]=(C[k1-1,j-1]-2C[k1-1,j]+C[k1-1,j+1]-C[k1,j-1]+2C[k1,j]-C[k1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1; B[i,1]=(CX[i-1]-2CX[i]+CX[i+1])/h1+(C[i-1,2]-2C[i,2]+C[i+1,2]-C[i-1,1]+2C[i,1]-C[i+1,1])/h1/h2, i=2,…,k1-1; B[i,k2]=(C[i-1,k2-1]-2C[i,k2-1]+C[i+1,k2-1]-C[i-1,k2]+2C[i,k2]-C[i+1,k2])/h1/h2, i=2,…,k1-1; B[i,j]=(4C[i,j]-2C[i+1,j]-2C[i-1,j]-2C[i,j+1]-2C[i,j-1]+C[i+1,j+1]+ C[i+1,j-1]+C[i-1,j+1]+C[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,…,k1-1, j=2,…,k2-1;

Двумерный рынок опционов Пример.Базисные баттерфляиBF B[1,1]=(FY[2]-FY[1])/h2+(F[2,2]-F[1,2]-F[2,1]+F[1,1])/h1/h2; B[1,k2]=U+(FX[2]-FX[1])/h1+(FY[k2-1]-FY[k2])/h2+(F[1,k2]-F[2,k2]-F[1,k2-1]+F[2,k2-1]) /h1/h2; B[k1,1]=(F[k1,1]-F[k1,2]-F[k1-1,1]+F[k1-1,2]) /h1/h2; B[k1,k2]=(FX[k1-1]-FX[k1])/h1+(F[k1,k2]-F[k1,k2-1]-F[k1-1,k2]+F[k1-1, k2-1])/h1/h2; B[1,j]=(FY[j-1]-2FY[j]+FY[j+1])/h2+(F[2,j-1]-2F[2,j]+F[2,j+1]- F[1,j-1]+2F[1,j]-F[1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1; B[k1,j]=(F[k1-1,j-1]-2F[k1-1,j]+F[k1-1,j+1]-F[k1,j-1]+2F[k1,j]-F[k1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1; B[i,1]=(F[i-1,2]-2F[i,2]+F[i+1,2]-F[i-1,1]+2F[i,1]-F[i+1,1])/h1/h2, i=2,…,k1-1; B[i,k2]=(FX[i-1]-2FX[i]+FX[i+1])/h1+(F[i-1,k2-1]-2F[i,k2-1]+F[i+1, k2-1]-F[i-1,k2]+2F[i,k2]-F[i+1,k2])/h1/h2, i=2,…,k1-1; B[i,j]=(4F[i,j]-2F[i+1,j]-2F[i-1,j]-2F[i,j+1]-2F[i,j-1]+F[i+1,j+1]+ F[i+1,j-1]+F[i-1,j+1]+F[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,…,k1-1, j=2,…,k2-1;

Двумерный рынок опционов Пример.Базисные смешанные баттерфляиBC,S,P,F  Вершинные баттерфляи: B[1,1]=(P[1,1]-P[1,2]-P[2,1]+P[2,2])/h1/h2; B[1,k2]=(S[1,k2]-S[2,k2]-S[1,k2-1]+S[2,k2-1])/h1/h2; B[k1,1]=(F[k1,1]-F[k1,2]-F[k1-1,1]+F[k1-1,2])/h1/h2; B[k1,k2]=(C[k1,k2]-C[k1,k2-1]-C[k1-1,k2]+C[k1-1,k2-1])/h1/h2; Смешанные реберные баттерфляи: B[ic,k2]=(CY[k2-1]-CY[k2])/h2-(C[ic,k2-1]-C[ic,k2]-C[ic+1,k2-1]+ C[ic+1,k2] +S[ic,k2-1]-S[ic,k2]-S[ic-1,k2-1]+S[ic-1,k2])/h1/h2; B[1,jc]=(PX[2]-PX[1])/h1-(S[1,jc+1]-S[1,jc]-S[2,jc+1]+S[2,jc]+ P[1,jc-1]-P[1,jc]-P[2,jc-1]+P[2,jc])/h1/h2; B[ic,1]=(PY[2]-PY[1])/h2-(P[ic,2]-P[ic,1]-P[ic-1,2]+P[ic-1,1]+F[ic,2]-F[ic,1]-F[ic+1,2]+F[ic+1,1])/h1/h2; B[k1,jc]=(CX[k1-1]-CX[k1])/h1-(C[k1,jc+1]-C[k1,jc]-C[k1-1,jc+1]+ C[k1-1,jc]+F[k1,jc-1]-F[k1,jc]-F[k1-1,jc-1]+F[k1-1,jc])/h1/h2;

Двумерный рынок опционов Пример.Базисные смешанные баттерфляиBC,S,P,F Простые реберные баттерфляи: B[k1,j]=(C[k1-1,j-1]-2C[k1-1,j]+C[k1-1,j+1]-C[k1,j-1]+2C[k1,j]-C[k1,j+1]) /h1/h2, j=jc+1,..,k2-1; B[i,k2]=(C[i-1,k2-1]-2C[i,k2-1]+C[i+1,k2-1]-C[i-1,k2]+2C[i,k2]-C[i+1,k2]) /h1/h2, i=ic+1,…,k1-1; B[1,j]=(S[2,j-1]-2S[2,j]+S[2,j+1]-S[1,j-1]+2S[1,j]-S[1,j+1])/h1/h2, j=jc+1,..,k2-1; B[i,k2]=(S[i-1,k2-1]-2S[i,k2-1]+S[i+1,k2-1]-S[i-1,k2]+2S[i,k2]-S[i+1,k2]) /h1/h2, i=2,…,ic-1; B[1,j]=(P[2,j-1]-2P[2,j]+P[2,j+1]-P[1,j-1]+2P[1,j]-P[1,j+1])/h1/h2, j=2,…,jc-1; B[i,1]=(P[i-1,2]-2P[i,2]+P[i+1,2]-P[i-1,1]+2P[i,1]-P[i+1,1])/h1/h2, i=2,..,ic-1; B[i,1]=(F[i-1,2]-2F[i,2]+F[i+1,2]-F[i-1,1]+2F[i,1]-F[i+1,1])/h1/h2, i=ic+1,.., k1-1; B[k1,j]=(F[k1-1,j-1]-2F[k1-1,j]+F[k1-1,j+1]-F[k1,j-1]+2F[k1,j]-F[k1,j+1])/h1/h2, j=2,..,jc-1;

Двумерный рынок опционов Пример.Базисные смешанные баттерфляиBC,S,P,F Смешанные осевые баттерфляи: B[ic,j]=(CY[j-1]-2CY[j]+CY[j+1])/h2-(C[ic,j-1]-2C[ic,j]+C[ic,j+1]-C[ic+1,j-1]+2C[ic+1,j]-C[ic+1,j+1]+S[ic,j-1]-2S[ic,j]+S[ic,j+1]-S[ic-1,j-1]+2S[ic-1,j]-S[ic-1,j+1])/h1/h2, j=jc+1,…,k2-1; B[i,jc]=(PX[i-1]-2PX[i]+PX[i+1])/h1-(S[i-1,jc]-2S[i,jc]+S[i+1,jc]-S[i-1,jc+1]+2S[i,jc+1]-S[i+1,jc+1]+P[i-1,jc]-2P[i,jc]+P[i+1,jc]-P[i-1,jc-1]+2P[i,jc-1]-P[i+1,jc-1])/h1/h2, i=2,…,ic-1; B[ic,j]=(PY[j-1]-2PY[j]+PY[j+1])/h2-(P[ic,j-1]-2P[ic,j]+P[ic,j+1]-P[ic-1,j-1]+2P[ic-1,j]-P[ic-1,j+1]+F[ic,j-1]-2F[ic,j]+F[ic,j+1]-F[ic+1,j-1]+2F[ic+1,j]-F[ic+1,j+1])/h1/h2, j=2,…,jc-1; B[i,jc]=(CX[i-1]-2CX[i]+CX[i+1])/h1-(C[i-1,jc]-2C[i,jc]+C[i+1,jc]-C[i-1,jc+1]+2C[i,jc+1]-C[i+1,jc+1]+F[i-1,jc]-2F[i,jc]+F[i+1,jc]-F[i-1,jc-1]+2F[i,jc-1]-F[i+1,jc-1])/h1/h2, i=ic+1,…,k1-1.

Двумерный рынок опционов Пример.Базисные смешанные баттерфляиBC,S,P,F  Внутренниебаттерфляи: B[i,j]=(4C[i,j]-2C[i+1,j]-2C[i-1,j]-2C[i,j+1]-2C[i,j-1]+C[i+1,j+1] +C[i+1,j-1]+C[i-1,j+1]+C[i-1,j-1])/h1/h2, i=ic+1,…,k1-1, j=jc+1,k2-1; B[i,j]=(4S[i,j]-2S[i+1,j]-2S[i-1,j]-2S[i,j+1]-2S[i,j-1]+S[i+1,j+1]+ S[i+1,j-1]+S[i-1,j+1]+S[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,ic-1, j=jc+1,…,k2-1; B[i,j]=(4P[i,j]-2P[i+1,j]-2P[i-1,j]-2P[i,j+1]-2P[i,j-1]+P[i+1,j+1]+ P[i+1,j-1]+P[i-1,j+1]+P[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,…,ic-1, j=2,…,jc-1; B[i,j]=(4F[i,j]-2F[i+1,j]-2F[i-1,j]-2F[i,j+1]-2F[i,j-1]+F[i+1,j+1]+ F[i+1,j-1]+F[i-1,j+1]+F[i-1,j-1])/h1/h2, i=ic+1,…,k1-1, j=2,…,jc-1;  Центральныйбаттерфляй: B[ic,jc]=U+(CX[ic+1]-CX[ic])/h1+(CY[jc+1]-CY[jc])/h2+(PX[ic-1]-PX[ic])/h1+(PY[jc-1]-PY[jc])/h2+(C[ic,jc]-C[ic,jc+1]-C[ic+1,jc]+ C[ic+1,jc+1]+S[ic,jc]-S[ic,jc+1]-S[ic-1,jc]+S[ic-1,jc+1]+P[ic,jc]-P[ic,jc-1]-P[ic-1,jc]+P[ic-1,jc-1]+F[ic,jc]-F[ic,jc-1]-F[ic+1,jc]+ F[ic+1,jc-1])/h1/h2;

Двумерный рынок опционов Пример.Определение оптимального портфеля при {pS,cB} pS = {0.0179918,0.0286584,0.032214,0.0286584,0.0179918, 0.0278683,0.038535,0.0420905,0.038535,0.0278683,0.0328066, 0.0434733,0.0470288,0.0434733,0.0328066,0.0328066,0.0434733, 0.0470288,0.0434733,0.0328066,0.0278683,0.038535,0.0420905, 0.038535,0.0278683,0.0179918,0.0286584,0.032214,0.0286584, 0.0179918}; cB = {0.0292284,0.0347617,0.0384951,0.0400951,0.0396728, 0.0298765, 0.0354099,0.0391432,0.0407432,0.040321,0.0291358, 0.0346691,0.0384025,0.0400025,0.0395802,0.0269136,0.0324469,0.0361802,0.0377802,0.037358,0.0232099,0.0287432,0.0324765, 0.0340765,0.0336543,0.0183025,0.0238358,0.0275691,0.0291691,0.0287469}. ξ ={5,1,30,10,4,2,25,15,3,20,6,9,29,26,8,14,7,11,24,19,28,21,27,16, 13, 12,23,18,17,22}; g = {0.00129482,0.0193656,0.0538469,0.0122107,0.000323704, 0.0856875,0.252012,0.1764,0.109733,0.00669838,0.286027, 0.68703,0.616852,0.214807,0.0399342,0.545191,0.924415, 0.842709,0.380471,0.0701487,0.458201,1.,0.758576,0.32873, 0.0278986,0.142816,0.49782,0.421249,0.129541,0.00291333}

Двумерный рынок опционов Пример.Оптимальный портфельв терминах -опционов CиопционовCXиCYпри p = pS, c = cB. G = iI,jJgijB[i,j] = 0.00129482 U+1.1119 C[1,1]-1.93761 C[1,2] +0.637968 C[1,3]-0.495872 C[1,4]+0.683605 C[1,5]+0.648179 C[2,1]+0.218282 C[2,2]-3.19406 C[2,3]+2.47241 C[2,4]-0.144813 C[2,5]-1.92342 C[3,1]+1.7962 C[3,2]+2.1911 C[3,3]-2.54095 C[3,4]+0.477073 C[3,5]+1.38265 C[4,1]-2.49407 C[4,2]+1.80581 C[4,3]+0.392654 C[4,4]-1.08705 C[4,5]-2.62027 C[5,1]+5.05454 C[5,2]-1.64117 C[5,3]+0.442252 C[5,4]-1.23535 C[5,5]+1.40096 C[6,1]-2.63735 C[6,2]+ 0.200356 C[6,3]-0.270493 C[6,4]+1.30653 C[6,5]+0.253178 CX[1]+0.34784 CX[2]+0.176474 CX[3]-1.03846 CX[4]-0.685186 CX[5]+0.946156 CX[6]+0.0451771 CY[1]+0.0410261 CY[2]-0.190294 CY[3]+0.074373 CY[4]+0.0297175 CY[5].

Двумерный рынок опционов Пример. Портфельные доходы. A=0.290693,R=0.352913,y=0.214042

Двумерный рынок опционов Пример.Определение оптимального портфеля при {pB,cB} X=Y=[-1,1]; x,s X; y,tY;p(x,y) = 13/36 - x2/6 - y2/6; c(x,y) = 37/120 - (x+1/2)2/20 - (y-1/2)2/20.|CP(s,t)| = (1-s)2(1-t)2(7-2s-s2-2t-t2)/144; |CPX(s)| = (1-s)2(8-2s-s2)/36; |CPY(t)| = (1-t)2(8-2t-t2)/36. pB = {0.0188477,0.0287737,0.0323292,0.0287737,0.0188477, 0.028107,0.0380329,0.0415885,0.0380329,0.028107,0.0330453, 0.0429712,0.0465267,0.0429712,0.0330453,0.0330453,0.0429712, 0.0465267,0.0429712,0.0330453,0.028107,0.0380329,0.0415885, 0.0380329,0.028107,0.0188477,0.0287737,0.0323292,0.0287737, 0.0188477}; cB = {0.0292284,0.0347617,0.0384951,0.0400951,0.0396728, 0.0298765,0.0354099,0.0391432,0.0407432,0.040321,0.0291358, 0.0346691,0.0384025,0.0400025,0.0395802,0.0269136,0.0324469,0.0361802,0.0377802,0.037358,0.0232099,0.0287432,0.0324765, 0.0340765,0.0336543,0.0183025,0.0238358,0.0275691,0.0291691,0.0287469}. ξ ={5,1,30,10,4,2,15,25,3,20,9,6,29,26,8,7,14,24,11,19,28,27,21,13, 16,12,23,18,22,17};

Двумерный рынок опционов Определение суррогатных вероятностей для базисных баттерфляеввзвешенным интегрированием плотности p(x,y) с их платежными функциями в качестве весовых функций; X = [a1, b1], Y = [a2, b2].

Агасандян Г.А.

Агасандян Г.А.

Presentation Transcript