МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

1. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ В. В. Жук, к.ф.-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им. О. Жаутыкова,Алматы Сайт: www.zhukmath.ru, e-mail: vladimir_zhuk@mail.ru, vvzhuk@zhukmath.ru

2. Основные методы нахождения угла между плоскостями Классический (геометрический) метод Площадь ортогональной проекции Угол между нормалями Угол между плоскостью и нормалью к другой плоскости Векторный метод Теорема о трех синусах Теорема косинусов для двугранного угла Свойства трехгранных углов Метод прямоугольного тетраэдра 1 Метод прямоугольного тетраэдра 2 (А. Фельдман) 11. Координатный метод

3. 1. Классический (геометрический) метод Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABCлежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SAпирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна . Плоскость α параллельна прямым SBи АС, а плоскость β параллельна прямым SCи АВ. Найти угол между этими плоскостями.

5. 2. Площадь ортогональной проекции Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого много-угольника, умноженной на косинус угла между плоскостями много-угольника и его проекции.

6. Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABCлежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SAпирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна . Плоскость α параллельна прямым SBи АС, а плоскость β параллельна прямым SCи АВ. Найти угол между этими плоскостями.

8. 3. Угол между нормалями Точка Е – внутри двугранного у α гла величиной α. EF и EG – перпендикуляры на грани угла. Найдите угол FEG равен π– α. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.

9. 4. Угол плоскостью и нормалью к другой плоскости Угол между плоскостями равен прямому углу минус угол между одной из этих плоскостей и нормалью к другой плоскости.

10. Задача 2. На ребреС’D’ куба ABCDA’B’C’D’ отметили точку М – середину этого ребра№ Найти угол между плоскостями (ACD’)и (DCM).

11. 5. Векторный метод Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABCлежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SAпирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна . Плоскость α параллельна прямым SBи АС, а плоскость β параллельна прямым SCи АВ. Найти угол между этими плоскостями.

13. 6. Теорема о трех синусах Теорема. В одной из граней двугранного угла, равногоγ, проведена прямая, не параллельная его ребру и составляющая с ребром угол, равныйα. Еслиβ – угол между данной прямой и плоскостью грани двугранного угла её не содержащей, то .

14. Задача 3. Стороны прямоугольника равны 1 и 2. Меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости π, а диагональ прямоугольника образует с ней угол, равный β. Найти угол между плоскостью πи плоскостью прямоугольника.

15. РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 1 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ СИНУСАХ

16. 7. Теорема косинусов для двугранного угла РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О КОСИНУСОВ ДЛЯ ДВУГРАННОГО УГЛА

17. 8. Свойства трехгранных углов

18. 9. Метод прямоугольного тетраэдра 1 РАССМАТРИВАЛСЯ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЛЕКЦИИ

19. 10. Метод прямоугольного тетраэдра 2 (А. Фельдман) А. Фельдман, Метод прямоугольного Тетраэдра // Математика. 1 сентября, №7, 2012, с. 12-21

20. 11. Координатный метод Пусть плоскости заданы своими уравнениями: тогда . РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА