1 / 20

k 個のミスマッチを許した点集合マッチング・アルゴリズム

k 個のミスマッチを許した点集合マッチング・アルゴリズム. 阿久津達也 京都大学　化学研究所 バイオインフォマティクスセンター. 最大共通部分点集合. 点集合合同性判定. 研究の背景　（1）. 合同性判定 O( n log n ) （３ 次元以下） [ Atkinson, 1987] O( n d -2 log n ) [Alt et al. 1988] O( n ( d -1)/2 log n ) (randomized) [Akutsu, 1998]

caine
Download Presentation

k 個のミスマッチを許した点集合マッチング・アルゴリズム

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. k 個のミスマッチを許した点集合マッチング・アルゴリズム 阿久津達也 京都大学　化学研究所 バイオインフォマティクスセンター

  2. 最大共通部分点集合 点集合合同性判定

  3. 研究の背景　（1） • 合同性判定 • O(n log n)（３次元以下） [Atkinson, 1987] • O(nd-2 log n) [Alt et al. 1988] • O(n(d-1)/2 log n) (randomized)[Akutsu, 1998] • O(nd/4+O(1) log n) (randomized)[Matousek, 1998] • 最大共通部分点集合[Akutsu,Tamaki,Tokuyama, 1998] • ２次元で　O(n3.2 log n) • ３次元で　O(n4.69 log n) ⇒　二つの問題の時間計算量の間に大きな差 (両者ともパターン認識などにおける基本的問題）

  4. 研究の背景　（2） • 文字列マッチング • Exact マッチング：O(m+n) • 近似マッチング：　O(mn) • k 個の誤りのみを許した場合： O(kn) ⇒　点集合で誤りの個数を制限した場合は？

  5. 本研究の結果 • 最大共通部分点集合問題においてマッチしない点の個数を k 以下とした場合の効率的アルゴリズム • 数値列に対する近似マッチング

  6. 近似文字列マッチング • 近似文字列マッチング • 編集距離(edit distance)が最小のマッチを求める • 距離＝置換(substitution)＋挿入(insertion)＋削除(deletion) • 動的計画法により O(mn)時間（|P|=m, |Q|=n) • 距離がk以下の時、 O(kn)時間[Landau & Vishkin 1989] • 動的計画法＋suffix tree

  7. 動的計画法による近似文字列マッチ

  8. 距離がk以下の場合の近似文字列マッチ • L[d,e]： D[i,j]=eかつ j-i=d となる最大の行 i • Suffix treeを用いて 　定数時間で実行可能 　⇒　O(kn) 時間

  9. 点集合マッチング問題: LCP-kDIFF • 入力 • d-次元空間上の点集合 P ,Q (|P|=m, |Q|=n, m≦n) • 非負整数 k • 出力: 以下の等長変換T （無い場合は No） （i.e., 共通部分に含まれない点の個数が高々 k 個）

  10. 1次元の場合（1）： mmsp(pi,qj) • mmsp(pi,qj) • pi,qjから始まる合同な部分列組で最大長のもの • 補題: O(n log n) 時間の前処理により、 |mmsp(pi,qj)|は O(1) 時間で計算可能 証明：Σ={ |pi+1 – pi|, |qj+1 – qj| }として suffix treeを構成

  11. 1次元の場合（2）： アルゴリズム

  12. 1次元の場合（3）： 計算量 • 定理1: 1次元 LCP-kDiff ⇒ O(k3 + n log n)時間 • 各(pi0,qj0)あたり O(k)時間、 　全部で O(k2)個のペア　 ⇒ 　O(k3)時間 • mmspの前処理 ⇒　O(n log n)時間 • ランダムサンプリングの利用 • Pからランダムにサンプルすれば、その点は高確率でLCPに所属 ⇒ O(k)時間を節約可能 • 系1: 1次元 LCP-kDiff ⇒ 高確率で O((k2 + n) log n) 時間

  13. 2次元の場合（1）： 点の順序づけ • 点に適切な順序　⇒ suffix tree が利用可能 • pi ≺ pi’ ⇔ θ(pi) < θ(pi’)or ( θ(pi) =θ(pi’) and | pi –p0| <| pi’ –p0| )

  14. 2次元の場合（2）： 計算量 • 定理2: 2次元LCP-kDiff ⇒ O(k3n4/3+ kn2 log n)時間 • Pから O(k2) ペア　⇒ 一つのペアは LCP に所属 • (p0,p1) と合同な Q のペア (q0,q1) の個数: O(n4/3) • 各 ((p0,p1), (q0,q1)) あたり、O(k) 時間 • ランダムサンプリングの利用 • Pからペアをランダムにサンプルすれば、そのペアは高確率でLCPに所属 ⇒ O(k2)時間を節約可能 • 系3: 2次元 LCP-kDiff ⇒ 高確率で O(kn4/3 log n + n2log2n) 時間

  15. 3次元の場合（1）： 点の順序づけ • 以下の情報を用いて順序づけ • 平面 pi1, pi2, pi と、平面 pi1, pi2, pi3 のなす角度 • pi- pi1と pi2 - pi1の内積 • pi と直線 pi1 pi2 の距離

  16. 3次元の場合（2）： 計算量 • 定理3: 3次元LCP-kDiff ⇒ O(k4n1.8log n + k2n5/2 log2n) 時間 • Pから O(k3) 個の三つ組　⇒ 一つは LCP に所属 • (pi1, pi2 , pi3) と合同な Q の三つ組の個数: O(n1.8 log n) • (pi1, pi2)と合同な Q のペアの個数: O(n3/2 log n) • 各ペアについて suffix tree を構成: O(n log n) • ランダムサンプリングの利用 • Pから三つ組をランダムにサンプル ⇒ O(k3)時間を節約可能 • 系4: 3次元 LCP-kDiff ⇒ 高確率で O(k n1.8 log2n + n5/2 log3n) 時間

  17. 1次元数値列の近似マッチング　(1) • 入力： 数値列 P, Q最大誤差 ε • 出力： P との編集距離が k 以下の Qの位置 ただし、pi と qｊ がマッチ ⇔ |pi-qj|<ε

  18. 1次元数値列の近似マッチング　(2) • 誤差としてミスマッチのみを許した場合 • O(m1/2n log m)時間 [Amir, Farach, 1995] • Convolution を利用

  19. 1次元数値列の近似マッチング　(3) • Don’t careつき近似マッチング [Akutsu, 1995] • Suffix tree が利用できないので、テーブルを利用 • [Amir, Farach,1995]との組合せで、以下が成立 • 定理４：数値列の近似マッチング ⇒ O(k1/3m2/3n log m) 時間

  20. 結論 課題 • 高次元の場合の検討 • 相似マッチの場合の検討 • 誤差を許した場合の検討

More Related