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La logique des diagrammes : médiatrice entre geste et formule? Guerino Mazzola U & ETH Zürich guerino@mazzola.ch www.encyclospace.org

L‘idée de l‘adjonction musique - mathématique • Carquois de Gabriel et gestes • Spectroides et formules • Esquisse de l‘adjonction • Logique

compositionde formules musique ~ ~ mathématique harmoniede gestes formule geste

h h‘ E = G W D = F V k v t t‘ w u q x = t(f) g f h x y = h(f) f y Catégorie Carquois des carquois (= graphes orientés, schémas de diagrammes, etc.) D Carquois(D, E)

: TopCarquois: X ~> 1 touche  : Top(I, X) X:  ~> (0), (1)      X X Y X X = carquois spatial de X 0 — temps I position X  f Top(X,Y)  Carquois(,): f~> „morphisme continu“

Un geste = morphisme g: D  de carquois à valeurs dans un carquois spatial touche    X Y X Un morphisem de gestes est un couple de morphismes (u, ), dont le second est continu qui définit undiagramme commutatif: temps g D position g X u  f E h  f Gestes(g, h)catégorie des gestes

g(D) D  u f(u)   E X(E) X(D) g(E) Existence de gestes naturels? Idée: position générale des vertexes, morphismes affinesdans —n

Spectroides: passage du gestuel aux formules • (P. Gabriel, théorie des représentations d‘algèbres, Springer: Enc. of Math. Sci.) • k = corps commutatif (pour nous ici k = —) k-spectroideS = catégorie, • k-linéaire: S(x,y) = k-vectoriel composition de morphismes = k-bilinéaire • objets deux-à-deux non-isomorphes • k-algèbres A des endomorphismes toutes locales, i.e., non-inversibles = idéal = Rad(A) • conditions de finitude: (dimkS(x,y) fini) dimkRad(S)/Rad2(S) fini Catégorie des k-spectroides: k-Sp

Example typique: B = k-algèbre. ModB : B-modules de k-dimension finie, Sp(ModB) Sous-catégorie pleine de ModB,Objets = modules indecomposables injectifs,un pour chacque classe d‘isomorphism. Proposition(P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“) Si tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSp(ModB) est en bijection avec le spectre de BSpec(B) = {idéaux bilatères premiers}(a.I.b  I implique a ou b I)

C? k? diagrammes formules Adjonction k-SpCarquois k-Sp(kD, S)Carquois(D, CS)

h D = F V t x y v w Le foncteur k? k-catégorie d‘un carquois Catégorie Ch(D) des chemins de D. La catégorie du carquois kD a les mêmes objets que Ch(D), i.e., les vertexes dans V. Elle a comme morphismes kD(x,y) les combinaisons k-linéaires de chemins de x à y. Un morphisme de carquois f: D  E définit foncteurCh(f): Ch(D) Ch(E),d‘où kf: kD  kE

X Example: D=kD = kX,Y = polynômes à coéfficients dans k et les indéterminées non-commutantes X, Y Y La catégorie du carquois kD donne en fait aussi lieu à une k-algèbredu carquois, dont l‘espace sous-jacent est x,ykD(x,y) tandis que l‘unité est la somme des identités des objets 1 = xex kD/J définit une catégorie/algèbre quotient, où J est un idéal engendré par des relations = formules =diagrammes de chemins commutatifs généralisés, e.g., X2 = 3 Y3 + 2 X

Objets de S v y dimk(Rad(x,y)/Rad2(x,y)) x w Le foncteur C?Carquois d‘un spectroide spectroide S CS

Foncteur display kf S Le foncteur „display“ de Gabriel (adjonction) k-Sp(kD, S) Carquois(D, CS) k-Sp(kCS, S) Carquois(CS, CS) S:kCS  S Id: CS  CS kD  kCS  S f:D  CS

formules k-Sp(kD, S) Carquois(D, CS) G g Gestes(g(D), g(CS)) ForGes(G( kD), G(S)) gestes Adjonction au niveau des gestes?

h D = F V = foncteur D: Set t Carquois = @ (= ^) La catégorie Carquois est un topos

1 = Carquois(, DE) = Carquois(E  , D) Carquois(, DE) D  E D+E 0 = Ø DE = Carquois(VE, D)

 = v w x y T classifieur de sous-objets En particulier:Un recouvrementd‘un carquoisest un fait Carquois-logique  K-nets,RNA,réseaux globauxsont des constructionsCarquois-logique

  C  = k/2  k-Sp(kD, ) Carquois(D, )Sub(D)  Sous-carquois et formules Les valeurs de vérité diagrammatique correspondent aux formules définiespar les noyeaux des flèches de spectroides associés

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