第二章离散时间信号与系统

第二章离散时间信号与系统 （二）

抽样过程 P52 例2.11 演示

混叠 • 连续时间正弦族：可以产生相同的抽样信号！ • 混叠：由较高频的连续正弦信号和较低频的连续正弦信号抽样可以得到相同的离散时间序列。例2.12

离散时间系统 • 功能：对给定的输入序列进行处理得到输出序列 • 处理过程：从时间序号n开始，随着n值的增加，顺序产生输出序列： y[k]  y[k+1]  y[k+2] …… • 数字滤波器：处理数字信号的离散时间系统

离散时间系统举例 • 累加器 • 滑动平均滤波器 • 指数加权的移动平均滤波器 • 线形内插器 • 中值滤波器

累加器 • y[-1]称为初始条件

滑动平均滤波器 • 重复测量可以较低噪声对测量的干扰 • 在无法重复测量的情况下：利用n-M+1<=l<=n的M个检测的受到噪声影响的数据x[l]按照下式求M点均值y[n]：

滑动平均滤波器 • 误差估计：标准方差 • 有界性：原序列的取值有界 • M的大小对处理结果的影响

滑动平均滤波器 • 化简： • 例2.13

指数加权的移动平均滤波器 • 加权原则：权值的大小和距离成反比 • 加权原则的证明

线性内插器 • 用于估计离散序列中相邻的一对样本值之间的样本值得大小 • 做法： • 上抽样 • 将上抽样的零值处填入线性内插值 • 双线性内插 • 应用：图像放大

中值滤波器 • 中值的定义：在大小为2k+1的数据集合中，存在这样一个数据，有k个数据大于该数，剩下k个数据小于该数。 • 中值滤波器：在输入序列上滑动的一个长度为奇数的窗口来实现 • 使用方法 • 用途：处理加性随机突发噪声程序2_5

离散时间系统的分类 • 线性系统 • 移不变系统 • 因果系统 • 稳定系统 • 无源和无损系统本书讨论的离散时间系统

线性系统 • 叠加原理：对于线性离散时间系统，若输入为x1[n]和x2[n]，系统输出为y1[n]和y2[n]，则当输入为系统输出为： • 意义：在处理复杂序列时，可以将其砍成简单序列的加权组合，然后分别进行处理 • P59 例2.15线性系统和有条件线性系统例2.16非线性系统

移不变特性 • 若y1[n]是输入x1[n]的响应，则当输入为x[n]=x1[n-n0]时，对应的响应为y[n]=y1[n-n0] • 在离散系统中：序数n与离散时刻关联，称为时不变特性 • 意义：保证对于一个给定的输入信号，系统相应的输出独立于输入信号的时刻 • P60 例2.17 时变系统

因果系统 • 在系统中，第n0个输出样本y[n0]仅仅依赖于所有n<=n0的输入样本x[n]，而不依赖于n>n0的输入样本。 • 在因果系统中输出的变化并不先于输入的变化（输入和输出的抽样率相同） • 线性内插器定义的离散时间系统不是因果系统

稳定系统 • 系统是稳定的，当有界的输入产生有界的输出时 • BIBO：有界输入产生有界输出 • 即：当对于所有的n，有|x[n]|<Bx, 则对于所有的n，有|y[n]|<By • P61 例2.18 例2.19

无源和无损系统 • 无源离散系统：输出序列的能量不能超过输入序列的能量 • 即： • 无损系统：上式等号成立 • P62 例2.20

冲激和阶跃响应 • 单位抽样响应：输入单位抽样序列时数字滤波器的输出，简称冲激响应——{ h[n] } • 单位阶跃响应：输入单位阶跃序列时数字滤波器的输出，简称阶跃响应——{ s[n] } • LTI（线性时不变系统）数字滤波器在时域中可以通过冲激响应或阶跃响应完全描述 • P62 例2.21 例2.22 例2.23

LTI离散时间系统的时域特性 • LTI两大特性：线性和时不变 • LTI离散时间系统可以看成多个简单子系统的互连 • 讨论步骤： • 输出序列可表示成冲激响应序列与输入序列的卷积和 • 利用列表法计算有限长序列的卷积和 • 用冲激响应表示稳定性和因果性条件

输入输出关系 • 在LTI系统中：若知道了冲激响应h[n]，就可以知道系统对任意输入的输出响应 • 输入输出的卷积公式（P63推导） • P63 例2.24 • P64 例2.25 卷积和

卷积运算的性质 • 交换率 • 结合率 • 分配率

卷积运算的操作 • 将h[k]时间反转得到h[-k] • 将h[-k]平移形成序列h[n-k] • 形成乘积序列v[k]=x[k]h[n-k] • 将v[k]的全部样本值求和得到卷积和y[n]的第n个样本

冲激响应 • 在时域中，用冲激响应{h[n]}可以完全描述LTI离散时间系统的特性 • 可以利用卷积公式计算任何给定输入产生的输出 • 输入序列和冲激响应一般是有限长的 • 当冲激响应是无限序列时，利用等效系统来分析 • P64 例2.26 例2.27

用matlab计算卷积 • 函数： • conv • input • length • disp • stem

用列表法计算卷积和 • 例2.29

用冲激响应表示的稳定条件 • 离散时间系统的BIBO稳定性：对所有有界输入序列{x[n]}，系统的输出序列{y[n]}仍保持有界 • LTI系统的稳定条件： • 对复冲激响应序列也成立 • P69 例2.31 例2.33

用冲激响应表示因果性条件 • 当且仅当{h[n]}是满足下式的因果序列时，LTI离散时间系统才是因果系统 h[k] = 0，k<0

简单的互连方案 • 级联 • 并联

级联（图2.33） • 两个系统是级联的：一个LTI离散时间系统的输出作为另一个LTI离散时间系统的输入 • 级联后的冲激响应是原两个系统冲激响应的卷积 • 逆系统

并联（图2.34） • 同样的输入分别经过两个LTI离散时间系统，然后把两个输出加起来形成新的输出 • 多个并联则冲激响应为各冲激响应的和 • 若各系统是稳定的，则并联系统也是稳定的 • 若各系统是无源（无损）的，则并联系统也是

有限维LTI离散时间系统 • 可用线性常系数差分方程描述的子类： • 把y[n]表示成x[n]的函数： • 若已知x[n]和初始条件y[n0-1],y[n0-2],…y[n0-N],则可计算出所有n>=n0的输出y[n]。

全解计算 • 求解类似于常系数微分方程：齐次解和特解 • 齐次解：输入x[n]=0时为齐次差分方程的解yc • 特解：某一特定输入x[n]得到的输出yp • 全解=齐次解+特解 • 特解一般设为与特定输入x[n]有相同的形式 • 例2.37

零输入响应和零状态响应 • yzi[n]：输入x[n]为0时的解 • yzs[n]：初始条件为0并运用给定输入时的解 • 全解 = yzi[n] + yzs[n] • 例2.39

计算冲激响应 • h[n]是当输入x[n]为单位脉冲序列时系统的输出 • 此时： • 是零状态响应 • 当n>0时x[n]=0，故特解是0 • 因此：可根据齐次解得到冲激响应 • 例2.40

用matlab计算输出 • matlab函数filter • 内部变量si[n] • 初始条件： si[n]开始时刻的一组值 • 零初始条件下：y=filter(p,d,x) • 非零初始条件下：[y,sf]=filter(p,d,x,si) • 例2.43

用matlab计算冲激和阶跃响应 • 函数impz • 函数stepz • 例2.44

根据特征方程的根确定BIBO稳定性 • 观察：稳定LTI系统的冲激响应的样本随着时间序号n的变大而衰减到零值 • 观察：稳定LTI系统的阶跃响应的样本随着n变大而趋于某个恒定值 • 如何确定一个系统的稳定性？ • BIBO稳定的充要条件：特征方程的每一个根的幅度都小于1

LTI离散系统的分类 • 基于冲激响应长度的分类 • 基于输出计算过程的分类 • 基于冲激响应系数的分类

基于冲激响应长度的分类 • 有限冲激响应（FIR） • 无限冲激响应（IIR）（因果）

基于输出计算过程的分类 • 非递归离散时间系统：依靠当前和过去时刻的输入样本来计算 • 递归离散时间系统：还需过去时刻的输出样本 • 滑动平均模型(MA) • 自回归模型(AR) • 自回归滑动平均模型(ARMA)

三种模型 • 滑动平均模型(MA)： • 自回归模型(AR)： • 自回归滑动平均模型(ARMA)：

基于冲激响应系数的分类 • 实离散时间系统 • 复离散时间系统

信号的相关 • 相关性：用来确定信号间的相似程度 • 互相关：

第二章 离散时间信号与系统