鮫島 俊之 蓮見 真彦

1. 物理学基礎及び演習 電気電子工学科　１年次E2クラス 鮫島 俊之　蓮見 真彦

2. members 鮫島俊之（さめしまとしゆき） 名古屋大学・静岡大学・工学博士・ソニー・Max Plank Institute・東京農工大学・教授 講義担当 蓮見真彦（はすみまさひこ） 東京大学・理学博士・理化学研究所・東京農工大学・ 学習支援室長 演習担当

3. members TA 電気電子工学科・鮫島研究室 11257088元木孝優城 11257040 齋藤祥介 11257090 安田圭佑 11257047 鈴木秀尚 11257032 木村駿介

4. Introduction １．教科書　タイトル：新・基礎 力学 (ライブラリ新・基礎物理学) 　　　　　　　　出版社：サイエンス社 ISBN：978-4781910970 ２．講義ノートはホームページからダウンロード 　１）http://www.tuat.ac.jp/~sameken/ 　２）講義ノートのメニューバーをクリック 　３）2014年 物理学及び演習 (1年次後期) のコーナーの物理 (ppt)をクリック

5. Introduction ３．演習と宿題は学習支援室ホームページからダウンロード 　１） http://www.tuat.ac.jp/~gakusyu/ 　２）演習問題　及び　宿題　をクリック

6. Introduction ４．必修科目 ５．成績評価：　絶対評価 S：100〜90，A：89〜80，B：79〜70，C：69〜60， D：59〜0 Ｓ〜Ｃは単位認定される。E1クラスと同一評価、 演習30点 宿題20点 中間試験＋期末試験　50点

7. Introduction ６．物理授業用ノートを用意すること ７．講義・演習・宿題の流れ 講義：毎回所定のテーマの解説をする。3章から予定 演習：前回答案返却→前回問題解説→今回問題配布・実施→今回答案回収 宿題：前回答案提出（前日水曜日13時までに学習支援室） →演習後今回問題配布

8. Introduction 本日は 電気電子工学科4年生卒業論文中間発表会 皆さんを招待する。 課題 発表会に参加して質問しレポートを出すこと そして宿題

9. 1. 運動の表し方（１） １．１　位置と座標系 １．２　二次元極座標と孤度法 １．３　位置ベクトルと変位ベクトル １．４　ベクトルの基本的性質

10. 宿題を取り組んでみよう 宿題６の応用：t=0で原点を通り、速度 でx軸上を移動する物体の運動を論じよ。 解析の方針： １．まず大まかに特徴を調べる。 ２．次に数学的解を求める。 ３．最後にきちんと解の特徴をチェックする。

11. １．１　位置と座標系 質量mの質点Ｐの位置ｒは三次元直交座標系（デカルト座標系）を用いて表すことができる。 もし位置に時間変化がある場合、時間の関数を用いて、 と書く。二次元表現で表現できる場合 もある。 一次元表現もある Z P m 0 Y X

12. １．１　位置と座標系 問：農工大小金井キャンパスは緯度35.699o,経度139.158oにある。農工大小金井キャンパスの地球中心からの位置を直交座標表示してみよう。地球は真球で半径を6378.137kmとする。

13. １．２　二次元極座標と孤度法 PからＸ－Ｙ平面に下ろした垂線の足をＱとする。 OXとOQが挟む角をθ、OZとOPが挟む角をφ、 OPの長さをrとすると、 であるから、 となり、三次元直交座標の成分は 　を用いて表される。 Z P m φ O Y θ Q X

14. １．２　二次元極座標と孤度法 　　　　　　　　を極座標という。 2次元表現もある。 φが常に90°なら 物体はＸ－Ｙ平面内にあり、 　　　　　　　である。 農工大小金井キャンパスは緯度35.699o,経度139.158oにあるから、極座標なら農工大小金井キャンパスの地球中心からの位置は、 となる。

15. １．２　二次元極座標と孤度法 Ｘ－Ｙ平面内、半径aの円の位置の極座標表現は、 　　　　　　　と書くことができる。

16. １．３　位置ベクトルと変位ベクトル 位置Ｐは基準点からの成分表示で表される。 数学のベクトルの性質を持っている。 大きさがあり、向きがある。 位置Ｐ点が少し動いてＰ’になったとしよう。 足し算可能（もちろん引き算も可能）

17. １．３　位置ベクトルと変位ベクトル のようなものを変位ベクトルと呼ぶ。 大きさが小さければ、 と書いたりする。 問　Ｘ－Ｙ平面内、半径rの円の位置がθ＝0からθまで動く時に描く軌跡の円弧の長さを求めよ。 θ＝0からΔθまで少し動いたとき、ベクトルは

18. １．３　位置ベクトルと変位ベクトル 変位ベクトルは 大きさは、 三角関数には以下の性質がある。

19. １．３　位置ベクトルと変位ベクトル Δθは小さいので、2次までの近似とすると、 である。よって円弧の長さは、 円周の長さは、

20. １．４　ベクトルの基本的性質 １．ベクトルは成分表示される量 ２．ベクトルは加算的である。 ３．掛け算は２種類ある １）内積(inner product, scalar product) 　 ベクトル・ベクトル＝スカラー

21. １．４　ベクトルの基本的性質 ２）外積(outer product, vector product) 　　　　　ベクトルｘベクトル＝ベクトル 外積のXYZ成分はYZ→ZX→XYの順番に並べて 行けば簡単に求められる。

22. １．４　ベクトルの基本的性質 位置ベクトルは： 位置の時間微分は速度である。 速度の時間微分は加速度である。 Z P m 0 Y X

23. １．４　ベクトルの基本的性質 位置ベクトル 速度ベクトル 加速度ベクトル

24. 数学の勉強：指数関数 aは実数 定義： 指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。 　　　　　　　　　　　　である。Multiplication rule 　　　　　　　　　　　　である。Powerrule 　　　　　　　　　　　　である。ordinary differential equation a, b はどんな数でも成り立つ。 Euler's formula

25. 数学の勉強：指数関数 aは実数 定義： と置く 上下を見比べれば

26. 数学の勉強：指数関数 である。　　　定義を使って、

27. ２．運動の表し方（２） ２．１　速さ ２．２　速度 ２．３　加速度 ２．４　等加速度運動 ２．５　等速円運動

28. ２．速さ、速度、加速度 位置ベクトルは： 位置の時間微分は速度である。 速度の時間微分は加速度である。 Z P m 0 Y X

29. ２．速さ、速度、加速度 位置ベクトル 速度ベクトル 加速度ベクトル

30. ２．速さ、速度、加速度 位置 速さ 加速度の大きさ

31. 2.4. 等加速度運動 位置ベクトル　 の軌跡をとる物体の速度と加速度ベクトルを求めよ。 物体の運動を説明せよ。 速度ベクトル 加速度ベクトル ・時刻ゼロでの速度ベクトル、加速度ベクトルの向きを求めよ。 ・十分時間が経ったときの位置、速度、加速度ベクトルの向きを求めよ。

32. 2.5. 等速円運動 問　半径rの円周上を角速度ωで運動する質量mの 物体の座標ベクトルの成分を 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と書くとき、 物体の線速度ベクトルの成分を求めよ。 物体の加速度ベクトルの成分を求めよ。 物体の座標ベクトルの成分を と複素指数表示するとき、物体の線速度を求めよ。 物体の加速度を求めよ。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

33. 2.5. 等速円運動

34. 2.5. 等速円運動 周期Ｔ

35. ３．　力と運動 ３．１　ニュートンの第一法則 ３．２　ニュートンの第二法則 ３．３　ニュートンの第三法則 ３．４　いろいろな力

36. ３．　力と運動 問：　+x方向に磁束密度Bで磁場が働いている。また、荷電粒子が+y方向に速度vで運動している。 (1)磁束密度B,粒子の速度vをベクトル表示せよ。 (2)磁束密度　の中を速度　で運動する荷電粒子には 　　　　　　　　　　　　　　　　（１） という力が働く。qは帯電粒子の電荷量である。この式（１）を用いて、荷電子が受ける力の大きさと、その方向を求めよ。

37. ３．　力と運動 問 (1) (2) ∴粒子は-Z方向にvBの大きさの力を受ける。 このように、外積は ３次元ベクトルを考えた時に初めてでてくる不思議な掛け算である。

38. ３．　運動の３法則 １．慣性の法則 ２．運動の法則 ３．作用反作用の法則（運動量保存則） Law of action and reaction (Principle of Momentum Conservation) 問．上記3法則について皆さんの体験を述べよ。 the principle of inertia Equation of motion

39. ３．　運動の３法則 ちから　　　がある。これはベクトルである。 ベクトルだからこう考えることができる。 　　　　　　　　のとき　　　　　　　　　である。 力のつり合い状態という。 このとき運動の形態は維持される。

40. ３．　運動の３法則 N 床に質量mの箱が静止している。 箱には重力Fg=mgが働いている。 箱が動かないとき、箱が床に置か れた事により発生する垂直抗力Ｎ と重力が釣り合っていると考える。 静止形態は維持される。 身の回りに沢山の類似例がある。 実は目に見えないが大気もこんな状態である。 気流を考えなければ空気が地表にのっかっており、 重力と垂直抗力が釣り合っている。 Fg

41. ３．　運動の３法則 10339.29 問 大気1気圧はパスカル表示で 101325 Pa(=N/m2)である。 重力加速度gは9.806 m/s2である。 地表に乗っかっている大気の 単位１ｍ2あたりの質量を求めよ。 大気 地表 TA1

42. ３．　運動の３法則 床に静止している質量mの箱を 図のように水平に押す。 箱が動かないとき、 力Ｆに抗して摩擦力Ｒが働き 二つの力は釣り合っている。 摩擦力は箱が床に置かれた事により発生する垂直抗力Ｎを使って、 と表す。

43. ３．　運動の３法則 N 疑問：垂直抗力は上向きだった。 しかしＲは横向き（力の向きの反対 向き）だった。上向きの力から なぜ横向きの力が生じるのだろう？ 　　　　　は明らかに大きさに限界がある。 よって非常に大きな力を加えれば、 　　　　　　　　　　　　　　となって物体は動き始める。 Fg

44. ３．　運動の３法則 力は運動量の時間微分　　　　　　　と表す。 だから力を時間積分すると運動量の変化になる。 これを力積という。

45. ３．　運動の３法則 v v 問　同じ質量ｍの物体が速さvで真正面 衝突する。 衝突前の全運動量は である。衝突後も運動量は不変である。 衝突後の運動の形態はどうなるか？ 問　同じ質量ｍの物体二つがばね 常数kで繋がっている。外力を受けず 重心が静止した状態で振動するとき、 全運動量はいくらか。 角振動数ωはいくらになるだろうか。 TA2 m m m m k TA3

46. ３．　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 問：質量Mの太陽の周りを回転運動する、質量mの地球を考えよう。 地球と太陽の間に働く万有引力以外に外力は無く、重心が静止しているとき、全運動量はいくらか。 運動量が保存する作用反作用 のルールにてらして地球と太陽 の運動を考えよ。 M=2.0x1030kg m=5.9x1024kg r=1.5x1011m ｒ O M TA4

47. いろいろな力 万有引力 弾性力　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘは変位 粘性抵抗力 力のモーメント　　　　　　　　　　　角運動量 こりおり力 mr2ω

48. ３．　運動の３法則 問　質量Mとｍの物体二つがばね 常数kで繋がっている。外力を受けず 振動するとき、角振動数ωはいくらに なるだろうか。 　　　　　　　　　になる。ここで、 である。換算質量という。Reduced mass M>>mの場合は？　　　　　　　　M=1.5mの場合は？ M m m m 1.5m k k k TA5 壁

49. ３．　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 問：地球と太陽の間に働く万有引力のみにより質量Mの太陽と質量mの地球が回転運動している。重心が静止しているとき、作用反作用のルールに基づけば、運動は 天動説的だろうか？それとも 地動説的だろうか？ M=2.0x1030kg m=5.9x1024kg r=1.5x1011m ｒ O M TA1

50. ４．いろいろな運動（１） ４．１　放物運動 ４．２　空気抵抗 ４．３　束縛運動 ４．４　単振動