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非线性数据结构 -- 图

非线性数据结构 -- 图. 概念 有向图、无向图、网 存储 邻接矩阵、邻接表 遍历 深度优先、广度优先. 2.5 图的逻辑结构. 图是对结点的前趋和后继个数不加限制的数据结构 , 用来 描述元素之间“多对多”的关系。. 一 . 图的定义. 1. 定义 : 图 G =(V ， E) 其中： V: 顶点的非空集合 E: 顶点的偶对 --- 边的集合 例 V={v1,v2,v3,v4} E={ （ v1,v2),(v1,v3), （ v2,v1),(v2,v3), （ v2,v4),(v3,v1), （ v3,v2),(v4,v2)

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Presentation Transcript

  1. 非线性数据结构--图 • 概念 • 有向图、无向图、网 • 存储 • 邻接矩阵、邻接表 • 遍历 • 深度优先、广度优先

  2. 2.5 图的逻辑结构 • 图是对结点的前趋和后继个数不加限制的数据结构,用来描述元素之间“多对多”的关系。

  3. 一. 图的定义 • 1. 定义:图 G =(V，E) 其中：V:顶点的非空集合 E:顶点的偶对---边的集合 • 例 V={v1,v2,v3,v4} E={（v1,v2),(v1,v3), （v2,v1),(v2,v3), （v2,v4),(v3,v1), （v3,v2),(v4,v2) } v1 v2 o o o o v4 v3 G1

  4. 2. 有向图、无向图 • 无向图: 图中顶点的偶对是无序的，称此图为无向图，其偶对用(vx，vy)表示。 • 有向图: 图中顶点的偶对是有序的，称此图为有向图,偶对用<vx,vy>表示。 • G2=（V，E） V={ 1,2,3,4} E={〈1,2>,<1,3> ,<3,4>,<4,1>} 1 2 G2 3 4

  5. 3. 边和弧 • 边:无向图中顶点的偶对，写成（Vx，Vy）或（Vy，Vx）。 • 弧:有向图中顶点的偶对,〈Vx,Vy〉表示从Vx到Vy。 • 弧头:弧的终点 • 弧尾:弧的起点 弧 〈Vx，Vy〉 弧尾Vx 弧头Vy

  6. Vx Vy Ｖx、Ｖy互为邻接点 Vx Vy Ｖy是Ｖx的邻接点 4. 邻接点 • 顶点:图中的结点 • 邻接点: • 无向图中，若边(Ｖx,Ｖy)E， 则Ｖx、Ｖy互为邻接点。 • 有向图中，若弧(Ｖx,Ｖy)E， 则Ｖy是Ｖx的邻接点。

  7. 1 2 G2 3 4 5. 顶点的度 • 无向图:顶点的度是连接该顶点的边的条数。 例如，G1中V2的度为3，V4的度为1。 • 有向图 1)入度:以某顶点为弧头的弧的数目。 G2中顶点1的入度为1。 2)出度:以某顶点为弧尾的弧的数目。 顶点1的出度为2。 3)顶点的度=入度+出度。顶点1的度=2+1=3。 v2 o v1 o G1 o o v4 v3

  8. 6.路径、长度 • 路径 图中从顶点Vx到顶点Vy的顶点序列称为从Vx到Vy的路径,路径可能是不唯一的。 例如:G1中V1到V3的路径为:(V1V2V3)或(V1V3) G2中，1到4的路径为<134>。 • 长度 路径上边或弧的数目。 例如，G1中V1到V3的长度为1或2； G2中1到4的长度为2。 o o v2 v1 1 2 G2 G1 o 3 4 o v4 v3

  9. 7.网、权 • 权 若图的边或弧带有与之相关的数，称此数为该边或弧的权。 权通常用来表示从一个顶点到另一个顶点的距离或费用。 • 网 带权的图称为网。 5 V1 V2 3 2 G5 V3 V4 7

  10. 2.6 图类的存储结构 常用的存储结构： • 邻接矩阵表示法 • 邻接表表示法

  11. 一.邻接矩阵 • 图为V和E的集合,因此: • 用一个一维数组存放所有顶点； • 用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。 • 邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵。

  12. 1.无向图邻接矩阵 • 定义 设图G=(V,E)是有n(n1)个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有下述性质的对称阵： 1 (Vi，Vj） E A[i][j]=A[j][i] = 0 (Vi，Vj） E G1的邻接矩阵为： v1 v2 o o o o v3 v4 G1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 3 4 G.nodes = A=G.edge = 4x4

  13. 2.有向图邻接矩阵 • 定义 设图G=（V，E）是有n（n  1）个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有下述性质的nxn的方阵： 1 〈Vi，Vj> E A[i][j] = 0 〈Vi，Vj> E 例如，G2的邻接矩阵为： 1 2 3 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 G.nodes= A= G.Arc= 4x4 1 2 G2 3 4

  14. 3.借助邻接矩阵求顶点的度 • 无向图 • 第i行（或第i列）的元素之和是顶点Vi的度。例，G1中V2的度是3。 • 有向图 • 第i行的元素之和为顶点Vi的出度；第j列的元素之和为顶点Vj的入度。例，G2中，V2的出度为0，V1的入度为1。 G1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 A= G.Arc= 1 2 G2 3 4

  15. 4.网的邻接矩阵 • 定义： Wij （Vi,Vj）或〈Vi,Vj〉 E A[i][j] =  （Vi,Vj）或〈Vi,Vj〉 E 5 V1 V2 3 2 G5 V3  5  3   2        7  V4 V1 V2 V3 V4 7 G.nodes= A=G.Arc= 4x4 G5的邻接矩阵。

  16. 二. 邻接表 • 图的链式存储结构 • 1) 为每个顶点建立一个单链表， • 2) 第i个单链表中包含顶点Vi的所有邻接顶点。

  17. adjvex data nextarc 指向Vi的下一个 邻接点的指针 顶点Vi的邻接点 与边或弧有关的权值 Vexdata firstarc 存放Vi信息 指向Vi单链表的第一个结点 二. 邻接表 • 结点组成： • 每个链表附设一个头结点，结构为：

  18. V1 V2 V3 V4 NULL NULL NULL NULL V2 V2 V3 V3 1. 无向图的邻接表 V2 V2 V1 V4 V1 顶点Vi的度恰好就是 第i个单链表中的结点数。 v1 v2 o o G1 o o v3 v4

  19. 2.有向图G2的邻接表 1 2 3 4 3 NULL 2 1 2 NULL G2 NULL 4 3 4 1 NULL

  20. 2.7 图的遍历 • 图的遍历 从指定顶点出发访问图中每一个顶点，使每个顶点都被访问且只被访问一次 • 常用的遍历方法： • 深度优先遍历法 • 广度优先遍历法

  21. 一. 深度优先遍历法 • 算法： • 1)访问图中某个指定顶点V0； • 2) 从V0出发，访问与V0邻接的顶点V1后，再从V1出发，访问与V1邻接且未被访问过的顶点V2。重复上述过程，直到不存在未访问过的邻接点为止。 • 3)回退到尚未访问过的顶点,从该顶点出发，重复1)、2)，直到全部被访问过的邻接点都被访问为止。

  22. V1 V4 V3 V2 V5 V6 G6 深度优先遍历法举例 遍历过程 访问顶点 所过边 • 起点V1 V1 • V1的第1个邻接点V3 V3 （V1，V3） • V3的第1个邻接点V1已访问，取下 • 一个邻接点V5 V5 （V3，V5） • V5的第1个邻接点V3已访问，取下 • 一个邻接点V2 V2 （V5，V2） • V2的两个邻接点均被访问， • 回退到V5，V5的邻接点均被访问， • 回退到V3，V3的邻接点均被访问 ， • 回退到V1，V1的另一个邻接点V4 • 未被访问 V4 （V1，V4） • V4的第一个邻接点V1已被访问， • 另一个邻接点V6未被访问 V6 （V4，V6） • V6的邻接点被访问，回退到V4 • V4的邻接点均被访问 • 回退到V1，返回到出发点，遍历结束。

  23. 二. 广度优先遍历算法 • 先访问第1个顶点所有邻接点后，再访问下一个顶点所有未被访问的邻接点。 • 算法 • 1) 访问某个指定顶点V0； • 2) 从V0出发，访问V0的各个未曾访问的邻接点W1，W2，…,Wk;然后,依此从W1,W2,…,Wk出发访问各自未被访问的邻接点。 • 3) 重复2)，直到全部顶点都被访问。

  24. 广度优先遍历法举例 遍历过程 访问顶点 所过边 • 起点V1 V1 • 访问V1的未被访问过 • 的所有邻接点 V3,V2,V4 (V1,V3) • (V1,V2) • (V1,V4) • 访问V3的未被访问过 • 的所有邻接点 V5 (V3,V5) • 访问V2的未被访问过 • 的所有邻接点 无 • 访问V4的未被访问过 • 的所有邻接点 V6 (V4,V6) • 所有顶点已被访问,结束 V1 V4 V3 V2 V5 V6 G6

  25. 2.8 树的应用----Huffman树 • Huffman树的概念 • 构造Huffman树 • Huffman编码

  26. 一. Huffman树的概念 • 树的带权路径长度定义为： n WPL = ∑ wklk k = 1 其中： n 是树中叶结点的个数 wi 是第i个结点的权值 li 是第i个结点的路径长度 Huffman树也称为最优树，是带权路径最短的一类二叉树。

  27. Huffman树举例 • 以下三棵树带权路径之和： （c） （a） （b） 2 c 7 a 7 5 2 4 4 5 a b c d d b 2 WPLa =7x2+5x2+2x2+4x2 = 36 c 4 d 7 5 b a WPLb =7x3+5x3+2x1+4x2 = 46 WPLc = 7x1+5x2+2x3+4x3 = 35 √ • 按哈夫曼树构造二叉树，应用于实际问题，可提高处理效率。

  28. 二. 构造Huffman树 • 算法: • 1）将n个带权值wi（i≤n）的结点构成n棵二叉树的集合T={T1，T2，……，Tn}，每棵二叉树只有一个根结点。 • 2）在T中选取两个权值最小的结点作为左右子树，构成一个新的二叉树，其根结点的权值取左右子树权值之和； • 3）在T中删除这两棵树，将新构成的树加入到T中； • 4）重复2）、3）步，直到T中只含一棵树为止，该树就是Huffman树。

  29. 构造Huffman树举例 • 以权值分别为7，5，2，4的结点a、b、c、d构造Huffman树。 （1）T= { a b c d } （2）T= { a b T3 } （3）T= { a T2 } （4）T={ T1 } 11 T2 6 T3 5 6 2 4 b c d 2 4 11 c d T2 T1 5 6 b T1 18 7 11 T1 a T1 18 5 18 b 6 11 7 T2 11 a 7 2 a T2 4 c d 5 6 b T1

  30. 三. Huffman编码 • 编码：用二进制数的不同组合来表示字符。 • 前缀编码：一种非等长编码。任一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀。 编码：A（0） B（10） C（110） D（111） 方法约定： 1）左分支为‘0’ 2）右分支为‘1’ 3）由根到叶路径上字符组成的二进制串就是该叶结点的编码。 1 0 a 0 1 b 0 1 c d • Huffman编码：一种前缀编码。以给定权值的结点构造Huffman树，按二进制前缀编码的方式构成的编码

  31. 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 3 1 0 2 2 2 1 0 a 1 0 c b d 例：设要传送的电文是：abaccda ，有4个字符abcd，可分别编码为00、01、10、11，则电文是：00010010101100，共14位，可采用哈夫曼编码缩短长度： 字母abcd出现频率分别为：3、1、2、1。 W={3 1 2 1} 3 1 2 1 W={3 2 2} W= {3 2 2} W={3 4} 前缀编码 abaccda 0110010101110 a b c d 0 110 10 111 P.31

  32. 作业、思考题 1、思考题： 3、4、18 2、第2章作业 8、13、20

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