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快速抢答！！！

1. 2. x. 1. 0. 1. 0.5. x. -1. -0.5. 0. 1. 1. x. 0. -1.5. -0.5. 0.5. 快速抢答！！！. sinc( x ) d ( x- 1) =. 0. sinc( x ) * d ( x- 1) =. sinc( x- 1). tri( x ) d ( x + 0.5) =. 0.5 d ( x + 0.5). tri( x ) * d ( x + 0.5) =. tri( x + 0.5).

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  1. 1 2 x 1 0 1 0.5 x -1 -0.5 0 1 1 x 0 -1.5 -0.5 0.5 快速抢答！！！ sinc(x)d (x-1) = 0 sinc(x)*d (x-1) = sinc(x-1) tri(x)d (x + 0.5) = 0.5 d (x + 0.5) tri(x) *d (x + 0.5) = tri(x + 0.5)

  2. 第一章 二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换三角傅里叶级数 • 恩格斯(Engels)把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论. • 他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.

  3. 第一章 二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换三角傅里叶级数 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数: 展开系数 零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开

  4. an 前3项的和 频谱图 2/p … 1/2 fn 0 1 3 -2/3p 三角傅里叶展开的例子 周期为t =1的方波函数

  5. 周期 t =1 宽度 =1/2 频率 f0 =1 三角傅里叶展开的例子 练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。

  6. 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为指数傅里叶级数: 展开系数 §1-2 二维傅里叶变换指数傅里叶级数 零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念 指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。

  7. §1-2 二维傅里叶变换指数傅里叶级数 思考题 利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系：

  8. 频率为n/t的分量 展开系数Cn §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数: n级谐波频率:n/t 相邻频率间隔: 1/t

  9. 非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数: 展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 由于t → ∞ 分立的n级谐波频率 n/t →f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t →0, 写作df, 求和→积分

  10. §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 写成两部分对称的形式: 这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换

  11. 为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)={f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或f(x,y)F(fx,fy) F.T. 积分变换: 变换核 §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件 函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数 f(x,y): 原函数,F(fx,fy): 像函数或频谱函数 傅里叶变换的核: exp(-j2pfx)

  12. 记作: f(x,y)=-1{F(fx,fy)}. 显然 -1 {f(x,y)}= f(x,y) 综合可写:f(x,y)F(fx,fy) F.T. F.T.-1 §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续) 由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换: f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y)和 fx(fy)称为一对共轭变量, 它们在不同的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.

  13. x, y,fx , fy均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy) 位相谱 振幅谱 §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续) F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 描述了各频率分量的相对幅值和相移.

  14. 则 {g(x,y)}=lim {rect(x/t)rect(y/t)} t §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T. 对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T. 例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积 可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t

  15. {rect( )} 思考题:利用 {rect(x)}=sinc(f) 计算 重要推论: {rect(x)} =sinc(fx) 则 {rect(x/t)rect(y/t)} =t2sinc(tfx)sinc(tfy) {g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) t {1} = d(fx, fy) §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 二、广义 F.T. 根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义: 按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.

  16. §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T. 依F.T.定义: 极坐标变换

  17. 则在极坐标中: 令: 则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为： §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变换

  18. 当 f 具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,q) = g(r). 依F.T.定义: 利用贝塞尔函数关系 圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变换,记为 G(r) = {g(r)}, g(r) = -1{G(r)} §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换

  19. 定义: 是圆对称函数 作变量替换, 令r’ =2prr, 并利用: §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.

  20. F.T. F.T. 例: rect (x) (实、偶) sinc(fx) (实、偶) 但是, rect (x-1) (实、非偶) 复函数 §1-2 二维傅里叶变换2-D Fourier Transform三. 虚、实、奇、偶函数的 F.T. 将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换), 然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质. 注意: 并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.

  21. 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T. F.T. {ag(x,y)+bh(x,y)}=a G(fx,fy) + bH(fx,fy) F.T.是线性变换 §1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质 1. 线性定理 Linearity 2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）

  22. g(x) 空域压缩 g(ax) a=2 1 1 x x F.T. 频域扩展 F.T. -1/2 0 1/2 -1/4 0 1/4 G(f) 1 1/2 -1 1 0 0 f -2 2 f §1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、 F.T.定理 空间缩放 注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.

  23. 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T. {g(x-a, y-b)}=G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)] {g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx-fa, fy- fb) {1}= d (fx,fy) 由 推论: {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx-fa, fy- fb) 复指函数的F.T.是移位的d 函数 §1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting 空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变. 频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.

  24. 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T. §1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理 若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)

  25. 思考题: §1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明 交换积分顺序,先对x求积分: 利用复指函数的F.T. 利用d 函数的筛选性质

  26. 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T. F.T. {g(x,y)*h(x,y)}=G(fx,fy) .H(fx,fy) {g(x,y) .h(x,y)}=G(fx,fy) *H(fx,fy) §1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、 F.T.定理 5. 卷积定理 空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积. 空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积. 将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积

  27. §1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform卷积定理的证明 交换积分顺序: 应用位移定理 应用F.T.定义

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