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第四章 根轨迹法

第四章 根轨迹法. 4.1 根 轨 迹 方 程. 4.2 根轨迹绘制的基本法则. 4.3 广 义 根 轨 迹. 本章作业. End. R ( s ). C ( s ). (-). j . s 1. K =1/2. j0.5. . . . 0. -1. -0.5. s 2. 表示系统的闭环极点. 4.1 根轨迹方程. 4.2. 4.3. 4.1.1 根轨迹 ( root locus ) 概念. 根轨迹 ： 是指开环系统某个参数 由 0 变化到 ∞， 闭环特征根在 s 平面

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第四章 根轨迹法

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  1. 第四章 根轨迹法 4.1 根 轨 迹 方 程 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.3 广 义 根 轨 迹 本章作业 End

  2. R(s) C(s) (-) j s1 K=1/2 j0.5    0 -1 -0.5 s2 表示系统的闭环极点 4.1 根轨迹方程 4.2 4.3 4.1.1根轨迹(root locus)概念 • 根轨迹：是指开环系统某个参数 由0变化到∞，闭环特征根在s平面 上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。 动画演示 • 闭环特征方程为s2+s+K=0, 解得闭环 • 特征根表达式 • 令K（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的 • 移动轨迹即为根轨迹。 • 研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能 （稳定性、稳态性能、动态性能）

  3. 4.1.2开/闭环传递函数零极点表达式 • 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。 • 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。 • 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 • 闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。(K*→0, 开闭环极点相同。) • 根轨迹增益： • K*为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益 • 等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及m<n可知） • 根轨迹法的基本任务： • 由已知的开环零、极点分布 • 及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。

  4. 4.1.3根轨迹方程(magnitude and phase equations) 2. 将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为： 1. 由闭环特征方程得根轨迹方程为G(s)H(s)= –1 。 再把矢量方程表示为模值方程与相角方程，其模值方程和相角方程分别为：

  5. 法则5:根轨迹的渐近线:渐近线与实轴交点的坐标法则5:根轨迹的渐近线:渐近线与实轴交点的坐标 • 而渐近线与实轴正方向的夹角 • k依次取0,+1,–1,+2,–2,…一直到获得n-m个倾角为止。其中，n为开环极点数，m为开环零点数。(a可由相角方程中s得到。) MATLAB仿真-Root 4.1 4.3 4.2根轨迹绘制的基本法则 • 法则1:根轨迹的分支数:根轨迹在[s]平面上的分支数等于闭环 • 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的数目相同。 • 法则2:根轨迹对称于实轴:闭环极点若为实数，则位于[s]平面实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。 • 法则3:根轨迹的起点与终点:根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。 证1 例1a • 法则4:实轴上的根轨迹:实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、 • 极点数目之和应为奇数。 证1 例2 例1 例1b

  6. 法则6:根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk) ： • 起始角： 终止角： 例3 证2 • 法则7:分离点（会合点）坐标d： • 几条根轨迹在[s]平面上相遇后又分开的点，称为分离点。 • 分离点的坐标d可由方程 例2 证3 • 法则8:根轨迹与虚轴的交点(也可用劳斯判据)： 动画演示 例2 • 法则9:根之和： • 若n-m>=2，则有 紧转例4 例2

  7. j p02 z 03    s0  p04 p01 z 02 z01 z 05 0 z 04 p03 证明1 起点:K*=0, 式(#) ∞, 所以s=pi (i=1,2,…n) 终点:K*∞,式(#) 0, 所以s=zj (j=1,2,…m) • 由根轨迹方程： 其余n-m条终止于无穷远处:

  8. 证明2 • 由 • 假设在一开环极点pk附近取一点s1, 则 • 同理得

  9. 代入得 证明3 • 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为 • 系统闭环特征方程为 • 两式相除得

  10. 例1b 例1a 动画演示 动画演示

  11. j a j1.15 p02 j1 p01  0 -1 p03 例2 动画演示

  12. 例:某单位反馈系统， 动画演示 例3 • 开环增益为K=K＊/2 ，K的稳定域为0<K<3 .

  13. 若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。 j j4 j2.45 复数分离点  0 -2 -4 实数分离点 例4（了解即可） MATLAB仿真-Root-6 • 例:

  14. 带开环零点的二阶系统，若能在复平面上画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。带开环零点的二阶系统，若能在复平面上画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。 j s1  0 s2 例5 MATLAB仿真-Root-7 • 例: 动画演示

  15. 例6: 已知系统 ,求Ta由0→∞的闭环根轨迹。 所以 就是新的开环传函，而5Ta相当于新的开环增益。 4.1 4.2 4.3 广义根轨迹 在负反馈系统中，K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。 4.3.1 参数根轨迹(parameter root locus) • 变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹叫参数根轨迹。 • 将开环传函变形，让变化的参数处于开环增益的位置，就可以采用绘制常规根轨迹时的法则。 • 解: 原系统的闭环特征方程为 • D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0， 将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为 5s2+s+5+5Tas=0 • 解题关键：要将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位。

  16. C(s) R(s) (-) j P1  -K 0 P2 例7：求Tm从0 → ∞时的根轨迹 动画演示 原系统的闭环特征方程为 Tms2 + s + K = 0 整理可得等效开环传函 或由s2 + s/Tm + K/Tm = 0 得新的特征方程为 s2 + (s+ K)/ Tm = 0 MATLAB仿真-Root-8 则新的等效开环传函为

  17. 4.3.2 零度根轨迹(0oroot locus) 此时因为其相角遵循条件： • 如果系统的特征方程的形式为1-G(s)H(s)=0, 其根轨迹叫零度根轨迹。 零度根轨迹与180根轨迹的区别体现在： 1. 实轴上的根轨迹； 2. 渐近线与实轴的夹角； 3. 出射角与终止角。

  18. 附加开环零点的作用(参见P132) 增加极点 增加零点 MATLAB仿真-Root-9

  19. 本 章 作 业 P147 • 4-1 • 4-2(2) • 4-3(2) • 4-4 • 4-5 • 4-10(1)

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