Kapitel 6

1. Kapitel 6 Inferens om en population Sid 151-185

2. Inferens om en population • Inferens • Dra slutsats från ett stickprov till en population • Vi vet resultatet i stickprovet (exempelvis vad medelvärdet i stickprovet är). Vad kan vi säga om (exempelvis medelvärdet) i populationen? • Två sätt att dra inferens från stickprov till population • Konfidensintervall • Hypotesprövning

3. Konfidensintervall • Konfidensintervall • Ett intervall runt en punktskattning • Vi kan med en viss säkerhet säga att den okända parametern täcks av intervallet • Konfidensgraden, 1 – a, bestäms ofta till 0.9, 0.95 eller 0.99

4. Konfidensintervall för populationsmedelvärde • Krav • OSU • Samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet går att betrakta som normalfördelad • Om  är känd fås ett dubbelsidigt konfidensintervall med konfidensgrad 1 - a: där z-värde hämtas från normalfördelningstabell (bilaga B) • Om  är okänd fås ett dubbelsidigt konfidensintervall med konfidensgrad 1 - a: där t-värde hämtas från t-fördelningstabell (bilaga B) • Tolkning: Med (1 – a)% säkerhet är populationsmedelvärdet mellan ….. och ….. • Det som står efter +- kallas felmarginalen!

5. Enkelsidigt konfidensintervall • Om vi bara vill bestämma EN gräns (övre eller nedre) så lägger vi all a i ena svansen av fördelningen • Nedre gräns: • Övre gräns: • Tolkning: Med (1 – a)% säkerhet är det sanna medelvärdet högre än/lägre än …..

6. Exempel • Ett gym erbjuder ett viktminskningsprogram. Ett OSU på 10 kunder visar följande viktminskning (i kg) efter genomgånget program: 6 3 5 8 0 2 1 7 3 2 • Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för populationsmedelvärdet. Vilka antaganden måste göras vid beräkning av intervallet? • Programansvarig påstår att folk minskar i vikt med minst 2 kg om man följer programmet. Kan vi med 95% säkerhet säga att den genomsnittliga minskningen är minst 2 kg?

7. Konfidensintervall för populationsandel • Krav • OSU • np(1-p) > 5 • Dubbelsidigt och enkelsidiga konfidensintervall med konfidensgrad 1 - a:

8. Exempel • Enligt SIFOs senaste mätning svarade 976 av 1934 personer att de skulle rösta på någon av de rödgröna partierna (S, Mp, V) i riksdagsvalet om det var val i dag. • Beräkna ett konfidensintervall (dubbelsidigt eller enkelsidigt?) så att du kan besvara frågan om minst en majoritet av svenska folket skulle rösta på någon av de rödgröna partierna om det var val i dag. • Vilka antaganden behöver du göra för att beräkna intervallet?

9. Hypotesprövning • Vi ställer upp två hypoteser • Nollhypotes: H0 • Den hypotes vi inte tror på och vill kunna förkasta • Nollhypotesen ska formuleras med ett likhetstecken • Vi kan inte få statistiskt bevis/stöd för nollhypotesen • Mothypotes: Ha • Den hypotes vi vill ha statistiskt bevis/stöd för • Om vi har tillräckligt med statistiskt bevis för att förkasta nollhypotesen kan vi tro på mothypotesen • Mothypotesen ska formuleras med ett ”ej lika med” eller ”större än” eller ”mindre än” • Hypoteserna grundar sig i hur frågeställningen ser ut och baseras ofta på tidigare resultat och (exempelvis ekonomisk) teori. Man formulerar INTE hypoteser baserat på hur resultaten från stickprovet ser ut! • Vi väljer signifikansnivå • α • Risken att förkasta en sann nollhypotes • Vanliga signifikansnivåer är 0.05, 0.01, 0.10

10. Hypotesprövning forts • Vi väljer testvariabel • Testvariabeln beräknas ofta som punktskattningen minus värdet under nollhypotesen, dividerat med medelfelet för skattningen • Vi väljer om vi ska förkasta nollhypotesen och tro på mothypotesen • Vi jämför testvariabelns värde med ett kritiskt värde från en tabell. • Om testvariabeln faller inom det kritiska området kan nollhypotesen förkastas och vi har stöd för mothypotesen • Vi drar slutsats • Om nollhypotesen förkastas kan vi säga att vi har statistiskt stöd för mothypotesen och kan tro på den • Ofta säger vi att vi har ”signifikans” eller att något är ”statistiskt säkerställt” • Om nollhypotesen inte kan förkastas säger vi att vi INTE har statistiskt stöd för mothypotesen • Vi drar slutsatsen på signifikansnivå α

11. Hypotesprövning för populationsmedelvärde • Krav • OSU • Samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet går att betrakta som normalfördelad • Nollhypotes • H0: µ = µ0 • Testvariabler • Om  är känd • Om  är okänd • Kritiska värden • För Ha: µ≠ µ0är kritiskt område både till vänster om zα/2 resp. tn-1;α/2 och till höger om z1-α/2 resp. tn-1;1-α/2 • För Ha: µ < µ0är kritiskt område till vänster om zα resp. tn-1;α • För Ha: µ > µ0är kritiskt område till höger om z1-α resp. tn-1;1-α

12. Exempel (forts.) • Ett gym erbjuder ett viktminskningsprogram. Ett OSU på 10 kunder visar följande viktminskning (i kg) efter genomgånget program: 6 3 5 8 0 2 1 7 3 2 • Hypotestesta på 5% signifikansnivå om den genomsnittliga viktminskningen i populationen är större än 2 kg. • Vilka antaganden måste göras?

13. Hypotesprövning för populationsandel • Krav • OSU • np(1-p) > 5 • Nollhypotes • H0: π = π0 • Testvariabel • Kritiska värden • För Ha: π ≠ π0är kritiskt område både till vänster om zα/2och till höger om z1-α/2 • För Ha: π < π0 är kritiskt område till vänster om zα • För Ha: π > π0är kritiskt område till höger om z1-α

14. Exempel • Enligt Statistiska Centralbyråns senaste skattning var 8.5% arbetslösa i Sverige. Skattningen beräknades på ett slumpmässigt urval av 29500 personer. • Hypotestesta på 1% signifikansnivå om arbetslösheten i Sverige är lägre än 9%. • Vilka antaganden behöver du göra?

15. Hypotesprövning med p-värde • p-värde = sannolikheten att vår testvariabel ska anta det värde som vi har observerat eller ännu mer extremt om nollhypotesen är sann • Med hjälp av normalfödelningstabellen kan vi ta reda på denna sannolikhet • Om p-värdet är litet (mindre än a) är det osannolikt att vi skulle fått det resultat vi fick på testvariabeln om nollhypotesen är sann. Vi förkastar nollhypotesen.

16. Exempel • En viss amerikansk bank tror att det genomsnittliga uttaget från bankomater är $150 och standardavvikelsen är $50. Finns det statistisk stöd för att banken har fel, om ett OSU av 36 uttag ger ett medelvärde på $160? • Genomför ett hypotestest med hjälp av p-värdesmetoden på 5% signifikansnivå. • Vilka antaganden behöver du göra? • Vad skulle p-värdet bli om vi i stället gjorde ett enkelsidigt test, och vi ville testa om det finns statistiskt stöd för att genomsnittet är högre än $150? • Vad skulle p-värdet bli om vi i stället gjorde ett enkelsidigt test, och vi ville testa om det finns statistiskt stöd för att genomsnittet är lägre än $150?

17. Relation mellan konfidensintervall och hypotesprövning • Om värdet i nollhypotesen ingår i ett konfidensintervall med konfidensgrad 1-a kan vi inte förkasta nollhypotesen på signifikansnivå a • Om värdet i nollhypotesen inte ingår i ett konfidensintervall med konfidensgrad 1-akan vi förkasta nollhypotesen på signifikansnivå a • Vid dubbelsidiga mothypoteser krävs dubbelsidiga intervall och vid enkelsidiga mothypoteser krävs enkelsidiga intervall

18. Exempel (forts) • Enligt SIFOs senaste mätning svarade 976 av 1934 personer att de skulle rösta på någon av de rödgröna partierna (S, Mp, V) i riksdagsvalet om det var val i dag. • Beräkna ett konfidensintervall så att du kan hypotestesta på 10% signifikansnivå om minst en majoritet av svenska folket skulle rösta på någon av de rödgröna partierna om det var val i dag.

19. Feltyper och styrka • Feltyper • Typ I-fel: Att förkasta en sann nollhypotes • Sannolikhet för Typ I-fel: a • Typ II-fel: Att inte förkasta en falsk nollhypotes • Sannolikhet för Typ II-fel: b • Styrka • Sannolikheten att förkasta en falsk nollhypotes