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第 6 章

第 6 章. 機率. 6.1 集合和集合運算 集合. 所謂的 集合 (set) 係指一組明確定義的對象，例如，為探討新生兒的體重分布，研究者可考慮收集所有民國 100 年出生於台北市台大醫院的新生兒體重。集合必須定義清楚，以使我們可以很容易地判斷某一對象是否屬於該集合。我們稱 集合內 (of a set) 的對象為 元素 (element, member) ，一般用小寫字母 a , b , c 等來表示，而集合則以大寫字母 A , B , C 等表示。一個集合的元素可用大括號列出，有兩種寫法。例如，定義集合 B 為 26 個英文字母所成的集合時， B 可記做

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第 6 章

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  1. 第 6 章 機率

  2. 6.1 集合和集合運算集合 • 所謂的集合(set)係指一組明確定義的對象，例如，為探討新生兒的體重分布，研究者可考慮收集所有民國100年出生於台北市台大醫院的新生兒體重。集合必須定義清楚，以使我們可以很容易地判斷某一對象是否屬於該集合。我們稱集合內(of a set)的對象為元素(element, member)，一般用小寫字母a, b, c等來表示，而集合則以大寫字母A, B, C等表示。一個集合的元素可用大括號列出，有兩種寫法。例如，定義集合B為26個英文字母所成的集合時，B可記做 B = {a, b, c , …, z} 稱為條列法(roster notation)。若寫成 B = {x| x為一英文字母} 稱為集合建立法(set-builder notation)。 Tan/管理數學 第6章 第282頁

  3. 集合 • 若a為集合A內的一個元素，寫成a A，代表「a屬於A」或「a是A的一個元素」；當a不在集合A內時，寫成aA，代表「a不屬於A」。例如A = {1, 2, 3, 4, 5} ，則3 A但6  A。 相等的集合 我們說集合A與B相等(equal) (記做A = B)，若且唯若集合A和B擁有完全相同的元素。 Tan/管理數學 第6章 第282頁

  4. 例題 1 • 定義A, B, C三個集合如下： 則A = B。又u A但uC，故知AC；同理得知BC。 Tan/管理數學 第6章 第282頁

  5. 集合 • 根據子集合的定義可推導出：A與B相等，若且唯若(1) AB且(2) B A。 Tan/管理數學 第6章 第283頁

  6. 例題 2 • 在例題1，由於集合C的每一個元素也都是B的元素，故C為B的子集合。又令 D = {a, e, i, o, x} 則因xD但x A，所以D不是A的一個子集合，亦即。 Tan/管理數學 第6章 第283頁

  7. 例題 3 • 令A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , B = {2, 4, 6} ，則(1) B A且(2) A中至少有一元素是B所沒有的(如元素1)，故知B是A的一個正子集。 Tan/管理數學 第6章 第283頁

  8. 集合 空集合是任一集合的子集合。 空集合 沒有任何元素的集合，稱為空集合(empty set)，記做 。 Tan/管理數學 第6章 第283頁

  9. 例題 4 • 列出集合A = {a, b, c} 的所有子集合。 解： A的子集合中，僅含單一元素的有 恰好包含兩個元素的有 而包含三個元素的，即為A本身。因此，其子集合共有以下8 個： Tan/管理數學 第6章 第283-284頁

  10. 集合 • 與空集合相反的，則是宇集(universal set)，它是問題設定下所有可能元素所形成的集合。宇集視討論的問題而定，它是最大範圍的集合，其他集合皆為宇集的子集合。 Tan/管理數學 第6章 第284頁

  11. 例題 5 a.若為校內男女學生的比例問題，則可設定宇集為全校所有學生所成的集合。 b.若為校內企管系的男女學生比例問題，則可設定宇集為該校企管系所有學生所成的集合。 Tan/管理數學 第6章 第284頁

  12. 集合 • 范氏圖(Venn diagrams)是用來表現集合之間關係的圖形，對解決與集合有關的問題極為有用。范氏圖以矩形表示出宇集U，U的子集合則用矩形內的區域來表示。 Tan/管理數學 第6章 第284頁

  13. 例題 6 • 請用范氏圖繪製下面的敘述： a.A與B為相等的集合。 b.集合A為B的正子集。 c.A不為B的子集合，B亦不為A的子集合。 解： 各敘述的范氏圖見圖1。 Tan/管理數學 第6章 第284頁

  14. 例題 6（續） 解（續）： Tan/管理數學 第6章 第285頁

  15. 集合運算 集合的聯集 令A與B為兩集合，則A與B的聯集(union)為所有屬於A或屬於B (包括同時屬於A, B二者)的元素所成的集合，記做A∪B，亦即 A∪B = {x| x A或xB或xA, B} Tan/管理數學 第6章 第285頁

  16. 例題 7 • 若A = {a, b, c}且B = {a, c, d}，則 A∪B = {a, b, c, d} Tan/管理數學 第6章 第286頁

  17. 集合運算 集合的交集 令A與B為二集合，則A與B的交集(intersection)為所有既屬於A又屬於B的元素所成的集合，記做A∩B，亦即 A∩B = {x| x A且xB} Tan/管理數學 第6章 286頁

  18. 例題 8 • 若A = {a, b, c}且B = {a, c, d}，則 A∩B = {a, c} Tan/管理數學 第6章 第286頁

  19. 例題 9 • 若A = {1, 3, 5, 7, 9}且B = {2, 4, 6, 8, 10}，則 A∩B =  Tan/管理數學 第6章 第286頁

  20. 集合運算 集合的餘集 若U是宇集，A為U的一個子集合，則A的餘集(complement)係U中所有不在A的元素所成的集合，記做Ac，即 Ac={x| xU, x A} Tan/管理數學 第6章 第287頁

  21. 例題 10 • 令U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}且A = {2, 4, 6, 8, 10}，則 Ac = {1, 3, 5, 7, 9} Tan/管理數學 第6章 第287頁

  22. 集合運算 餘集的性質 若U是宇集，A為U的一個子集合，則 a.Uc = b.c = Uc. (Ac)c = A d.A∪Ac = Ue.A∩ Ac =  Tan/管理數學 第6章 第287頁

  23. 集合運算 集合的運算 若U是宇集，A, B及C為U的任意子集合，則 Tan/管理數學 第6章 第287-288頁

  24. 集合運算 笛摩根定律 令A, B為兩集合，則 (A∪B)c = Ac∩Bc (1a) (A∩B)c = Ac∪Bc (1b) Tan/管理數學 第6章 第288頁

  25. 例題 11 • 請利用范氏圖證明 (A∩B)c = Ac∪Bc 解： (A∩B)c是由在U中但不在A∩B內的元素所組成，如圖5的陰影區域所示。且Ac與Bcc則分別顯示於圖6(a)及6(b)的陰影部分，可以看出它們的聯集與圖5 的陰影區域相同。 Tan/管理數學 第6章 第288頁

  26. 例題 11（續） 解（續）： Tan/管理數學 第6章 第288頁

  27. 例題 11（續） 解（續）： Tan/管理數學 第6章 第289頁

  28. 例題 12 • 令U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，且A = {1, 2, 4, 8, 9}, B = {3, 4, 5, 6, 8}，請驗證(A∪B)c = Ac∩Bc。 解： 因為A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}，故(A∪B)c = {7, 10}。又Ac = {3, 5, 6, 7, 10}且Bc = {1, 2, 7, 9, 10}，因此， Ac∩Bc = {7, 10}。今等式兩邊的結果相同，驗證了(A∪B)c = Ac∩Bc。 Tan/管理數學 第6章 第289頁

  29. 6.2 試驗、樣本空間及事件機率理論下的一些專有名詞 試驗 一項可觀察到結果的活動，稱之為一個試驗(experiment)，且其所得到的觀察成果，稱為試驗的結果(outcome)。 樣本點、樣本空間、事件 樣本點(sample point)：指一個試驗的結果。 樣本空間(sample space)：所有可能的試驗結果所成的集 合。 事件(event)：為樣本空間的某個子集合。 Tan/管理數學 第6章 第295頁

  30. 例題 1 • 針對投擲一枚十元硬幣的試驗，敘述其宇集，並寫出此試驗下的所有事件。 解： 投擲一枚十元硬幣，其結果可能是正面或是反面，令H表正面，T表反面，則宇集S = {H, T}，且S的子集合有如下幾種： , {H}, {T}, S Tan/管理數學 第6章 第296頁

  31. 機率理論下的一些專有名詞 二事件的聯集 事件E與F的聯集(union)為事件E∪F。 二事件的交集 事件E與F的交集(intersection)為事件E∩F。 事件的餘集 事件E的餘集(complement) 為事件Ec。 Tan/管理數學 第6章 第296頁

  32. 機率理論下的一些專有名詞 Tan/管理數學 第6章 第296頁

  33. 例題 2 • 在投擲單一骰子的試驗中，我們以骰子落定後朝上的一面作為觀察，則其樣本空間S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。令此試驗中的兩個事件為 E = {2, 4, 6} F = {1, 3} 試求(a) E∪F；(b) E∩F；(c) Fc，並加以說明。 Tan/管理數學 第6章 第297頁

  34. 機率理論下的一些專有名詞 互斥事件 若E∩F = ，則稱事件E與F互斥(mutually exclusive)。 Tan/管理數學 第6章 第297頁

  35. 例題 3 • 一項試驗係投擲一枚十元硬幣三次，觀察每次錢幣落定後朝上的一面，正面標示為H、反面標示為T，並依序記錄其結果。 a.試敘述此試驗的樣本空間S。 b.試敘述恰好有兩個H出現的事件E。 c.試敘述至少有一個H出現的事件F。 解： a.利用樹狀圖可以幫助我們完整列出所有的樣本 點，見圖9。 Tan/管理數學 第6章 第297-298頁

  36. 例題 3（續） 解（續）： Tan/管理數學 第6章 第298頁

  37. 例題 3（續） 解（續）： 因此， S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} b. 我們由樣本空間S中，挑出符合兩個H 出現的樣本 點，即形成事件E： E = {HHT, HTH, THH} c. 我們由樣本空間S中，挑出至少有一個H 出現的樣 本點，即形成事件F： F = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH} Tan/管理數學 第6章 第298頁

  38. 例題 4 • 在投擲一對骰子的試驗中，如以各骰子落定後朝上的一面作為觀察。 a.試敘述本試驗的樣本空間S。 b.決定事件E2, E3, E4, ... , E12，其中的下標代表兩骰 子的點數和。 解： a.對於每個試驗結果，我們以有順序的數對來表 　示：第一個數字為第一顆骰子的觀察結果，第二 個數字為第二顆骰子的觀察結果。 Tan/管理數學 第6章 第298頁

  39. 例題 4（續） 解 a（續）： 每顆骰子的觀察結果有六種可能，因此，兩顆骰子共有6．6=36 種觀察結果，詳列如下： Tan/管理數學 第6章 第298-299頁

  40. 例題 4（續） 解 （續）： b.可計算出樣本空間S中各樣本點的數對總和(即二骰子的點 數和)，整理成表1。 Tan/管理數學 第6章 第299頁

  41. 例題 5 測試新產品 • 一種為電動車研發的高安培數、高容量的新電池正在接受測試。充電完全的新電池安裝在標準規格的電動車上，以每小時55 哩的等速度前進，直到電量耗盡，並記錄車子行進的全長距離。 a.試敘述此試驗的樣本空間S。 b.試敘述測試的結果車行距離低於150 哩的事件E。 c.試敘述測試的結果車行距離介於200 至250 哩的事 件F。 Tan/管理數學 第6章 第299頁

  42. 例題 5 測試新產品（續） 解 ： a.由於車行距離d可以是任意非負的數，因此， S = {d| d 0} b.事件E為 E = {d| 0  d < 150} c.事件F為 F = {d| 200 d 250} Tan/管理數學 第6章 第300頁

  43. 6.3 機率的定義計算事件的機率 Tan/管理數學 第6章 第304頁

  44. 計算事件的機率 Tan/管理數學 第6章 第305頁

  45. 計算事件的機率 • 這些簡單事件的機率值P(s1), P(s2), ... , P(sn) ，應符合以下性質： • 0  P(si)  1 i = 1, 2, ... , n • P(s1), P(s2),  , P(sn) = 1 • P({si}∪{sj}) = P(si) + P(sj) (ij) i = 1, 2, ... , n; j = 1, 2, ... , n Tan/管理數學 第6章 第305頁

  46. 計算事件的機率 均勻樣本空間的事件機率 若 S = {s1, s2, ... , sn} 為一試驗的樣本空間，且知每一個試驗結果發生機率都 相同，則各簡單事件的機率為 Tan/管理數學 第6章 第306頁

  47. 例題 1 測試新產品 • 承第6.2 節的例題5，經200 回的測試後，收集的資料整理於表4： a.為此試驗敘述一個適當的樣本空間S。 b.求出此試驗的經驗機率分配。 Tan/管理數學 第6章 第306頁

  48. 例題 1 測試新產品（續） 解 ： a.根據表4第一欄電動車的行駛距離，將第一段範圍 (即50哩以下)記做s1，第二段範圍(即50哩以上， 100哩以下)記做s2，以此類推，直至s6，則可得樣 本空間 S = {s1, s2, s3, s4, s5, s6} Tan/管理數學 第6章 第306頁

  49. 例題 1 測試新產品（續） 解 （續）： b.我們利用相對次數來計算各簡單事件si的經驗機 率。對s1而言， Tan/管理數學 第6章 第307頁

  50. 例題 1 測試新產品（續） 解 b（續）： 利用類似的方法，可求得所有簡單事件的經驗機 率，整理成表5： Tan/管理數學 第6章 第307頁

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