一、六招破解函数最值问题

1. 六招破解函数最值及巧用数形结合妙解3类求参问题六招破解函数最值及巧用数形结合妙解3类求参问题 一、六招破解函数最值问题 函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下： 1.配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．

2. [例1]　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[例1]　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值． [思路点拨]化简后采用换元转化为二次函数的最值问题，利用配方法解决． [解]y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2. 因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.

3. [点评]　利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．[点评]　利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决． 2.换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．

4. [例2]　设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________．[例2]　设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________． [思路点拨]由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法求a＋b的最值． 答案：－3

8. [答案]9

9. [点评]利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．

10. 4.函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现． [例4]　已知函数f(x)＝xln x，则函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值为________． [思路点拨]先由条件利用导数求出函数f(x)的单调区间，再分类讨论其最小值．

13. [点评]　本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．[点评]　本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏． 5.导数法 导数法求解函数最值就是利用导数研究函数的单调性，从而确定函数最值的方法，这也是高中数学中求解最值的重要方法．利用导数求解函数最值的基本步骤是：

15. [例5]已知f(x)＝xln x. (1) 对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)＋x2－ax＋3≥0恒成立，求实数a的取值范围．

17. [点评]导数法求解函数最值的实质是利用函数的单调性确定最值．应该注意三个问题：一是函数定义域，函数与其导函数的定义域可能不一致，所以在利用导函数判断函数单调性时要注意函数定义域；二是准确求导；三是要注意极值与最值的区别，即必须把函数在区间上的极值点与函数在区间的端点值进行比较，才能确定最值． 6.数形结合法 数形结合法就是根据函数图象的直观性直接确定函数最值，或者根据函数解析式的特征利用数与形的对应，通过构造图形将其转化为几何中的有关最值求解．其基本步骤是：

20. [思路点拨]

21. 则f(x)＝|PA|－|PB|. 如图所示，显然有||PA|－|PB||<|AB|＝1，即函数f(x)的值域为(－1,1)． (2)如图所示，画出函数F(x)的图象， 由图形，可知当x＝0时，F(x)取得最 小值，此时F(x)＝x2－1，故最小值为 －1；函数的图象向右上方无限延展， 所以F(x)无最大值． [答案](1)D(2)B

22. [点评]用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征，常见的转化有两种：一是分段函数类型通常利用函数图象解决；二是利用数与形的对应，将函数最值转化为几何最值求解，通常是利用函数解析式的几何意义，如利用直线的斜率、动点到定点的距离等．在求解过程中正确作出函数图象或者准确利用代数式的几何意义，用几何知识直接确定最值是关键．[点评]用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征，常见的转化有两种：一是分段函数类型通常利用函数图象解决；二是利用数与形的对应，将函数最值转化为几何最值求解，通常是利用函数解析式的几何意义，如利用直线的斜率、动点到定点的距离等．在求解过程中正确作出函数图象或者准确利用代数式的几何意义，用几何知识直接确定最值是关键．

23. 二、巧用数形结合，妙解3类求参问题 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值． 下面就三类求参问题，谈谈数形结合思想的应用．

24. A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)

25. [解析]　画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝d(0<d<1)，如图所示，直观上知0<a<1,1<b<10,10<c<12，再由|lg a|＝|lg b|，得－lg a＝lg b，从而得ab＝1，则10<abc<12. [答案]C [点评]　通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．

29. (ⅱ)当a<0时，如图(2)知，由于h(x)在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b>0，且B⊆A，即m≥7.(ⅱ)当a<0时，如图(2)知，由于h(x)在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b>0，且B⊆A，即m≥7. 综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m＝7. 现在证明充要性： ①必要性：由求解过程知必要性成立； ②充分性：当m＝7时，A＝B，对于任意a≠0，则存在b(b≠a，且ab<0)，使得h(a)＝h(b)．