Матеріали до уроків

1. Алгебра Матеріали до уроків 9 клас За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк

2. Готуємося до уроку Мультимедійні технології на уроках алгебри Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей“Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. 2011 рік

3. Зміст Дл Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії

4. Тема 6 Арифметична та геометрична прогресії • Числові послідовності. Властивості числових послідовностей • Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії • Сума перших n членів арифметичної прогресії • Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії • Сума перших n членів геометричної прогресії • Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума • Розв’язування вправ

5. Пункт 10.3. Як рахував Гаусс. Розповідають, що незвичайні здібності видатного німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855) почали виявлятися вже в ранньому віці. Якось він здивував учителя, миттєво обчисливши суму перших ста натуральних чисел. Він, очевидно, помітив, що в послідовності 1; 2; 3; 4; ...; 97; 98; 99; 100 сума першого і останнього числа дорівнює 101 (1 + 100 = 101), другого і передостаннього — теж 101 (2 + 99 = 101), третього від початку і третього від кінця — теж 101 (3 + 98 = 101) і т.д. Всього таких сум можна утворити 50 (остання — 50 + 51). Отже, сума перших ста натуральних чисел дорівнює 101 • 50 = 5050. Сума перших n членів арифметичної прогресії Пригадайте 1). Який вигляд має формула загального члена арифметичної прогресії? 2). Як виразити через а1і dчлен арифметичної прогресії, номер якого дорівнює n-k?

6. Німеччина Карл Гаус ( 1777 – 1855 ) «Математика – царицявсіх наук, арифметика – цариця математики» Німецький математик, астроном, геодезист, фізик, вважається «королем математики». Народився 30 квітня 1777 року в герцогстві Брауншвейг у сім’їсадівника. Видатніматематичні здібності проявив вже у ранньомудитинстві.

7. Доведення Нехай маємо скінченну арифметичну прогресію a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an. Запишемо у загальному вигляді два довільні члени прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, наприклад, стоять на наk-мумісцівід початку івідкінця. На k- мумісцівід початку прогресіїзнаходитьсячлен ak. Тепер встановимо номер члена, який стоїть на k-мyмісці від кінця прогресії. Перед цим зауважимо, що сума номерів крайніх членів і членів, рівновіддалених від крайніх, на 1 більша від кількості nчленів прогресії і дорівнює n + 1. a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an Властивість арифметичної прогресії ak+ an-k+l =a1 + an. Послідовність перших ста натуральних чисел є скінченною арифметичною прогресією, перший і останній члени (або інакше, крайні члени) якої дорівнюють відповідно 1 і 100, а різниця d = 1. Вона має властивість, яку і помітив Гаусс: сума будь-яких двох її членів, рівновіддалених від крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів (у даному випадку 101)

8. Справді, сума: номерів першого (a1) і останнього (an) членів дорівнює 1 + n; другого (а2) і передостаннього (an-1) — 2+ n - 1 = n + 1; третього (а3) і третього від кінця (an-2) — 3 + n -2 = n +1 іт.д. Отже, сума номерів членів прогресії, що стоять на k-му місці від початку і на k-му місці від кінця, теж має дорівнювати n+ 1 Порядковий номер члена, що стоїть на k-му місці від початку, дорівнює k. Щоб знайти номер члена, що стоїть на k-му місці від кінця прогресії, треба від n + 1 відняти k: n+1 - k = n-k+1. Знайдемо суму членів akі аn-k+1, скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії. Маємо: ak = a1 + d(k - 1), аn-k+1= а1 + d(n - k + 1 - 1) = a1+ d(n - k); ak+ an-k+1 =a1+ d(k- 1) + a1+ d(n-k) = = a1 + al + d(k-1 + n-k) = a1+ а1+d(n-1) = a1+ an. Властивість арифметичної прогресії ak+ an-k+1 =a1 + an

9. Доведену властивість можна використати для встановлення формули обчислення суми nперших членів арифметичної прогресії. Нехай треба знайти суму членів арифметичної прогресії: a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an. Позначають таку суму зазвичай Sn. Запишемо цю суму двома способами: у прямому і зворотному порядку розміщення доданків. Маємо: Sn= a1 +a2+a3+ …+an-2 +an-1 +an. Sn = an + an-1 + an-2+... + a3 + a2 + a1, Додамо почленно ці дві рівності. Маємо: 2Sn= (а1 + аn) + (a2 + аn-1) + (a3 + an-2)+ ... +(an-2+ a3)+ (аn-1 + a2)+(аn + а1). За доведеною властивістю кожна із сум у дужках дорівнює а1 + аn Кількість таких сум дорівнює n. Отже, 2Sn = (а1 + аn)n. Звідси: Формула суми перших n членів арифметичної прогресії

10. Враховуючи те, що аn = а1+d(n - 1), формулу суми членів арифметичної прогресії можна записати і в такому вигляді: За встановленою формулою суму ста перших натуральнихчисел можна обчислити так: Формула суми перших n членів арифметичної прогресії

11. Яку властивість скінченної арифметичної прогресіївикористовують для встановлення формули суми n перших її членів? • Запишіть у зошиті два варіанти формули суми nперших членів арифметичної прогресії. В якому випадку, на вашпогляд, доцільніше використовувати один з них, а вякому випадку — інший? Запитання для самоперевірки

12. Уснівправи Первинне закріплення вивченого матеріалу 1. В послідовності (хn): 3; 0; -3; -6; -9; -12;... вкажіть перший, третійішостий члени. 2. Послідовність (аn) задана формулою аn =6n -1. Знайдітьa1, а2, a3 ; а20, а100, аk.

13. Уснівправи Первинне закріплення вивченого матеріалу 3. Назвітьп’ять першихчленівпослідовності (сn), якщо: с1 = 32; сn+1 = 0,5сn 4. Продовжітьданупослідовність: а)1; 5; 9; 13; 17; … б)1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;… 32;16; 8; 4; 2; …

14. Уснівправи Первинне закріплення вивченого матеріалу 5. Відомо, щоа1 = 1, d = 1. Задайте цюпрогресію 6. Відомо, щоа1 = 1, d = 2. Задайте цюпрогресію

15. Уснівправи Первинне закріплення вивченого матеріалу 7. Послідовність(аn) – арифметичнапрогресія, в якій а1 = 4; d = 2. Знайдіть 50-ий член цієїпрогресії.

16. Уснівправи Первинне закріплення вивченого матеріалу 8. Бригада стіклодувіввиготовила в січні 80 виробів, а кожного наступногомісяцявиготовляла на 17 виробівбільше, ніж за попередній. Скількивиробіввиготовила бригада в червні?

17. 1. Дайте означення арифметичної прогресії. Відповідь:Арифметичноюпрогресієюназиваєтьсячисловапослідовність, кожний член якої, начинаючиз другого, дорівнюєпопередньому, до якогододаєтьсяодней те ж число.

18. 2. Що називають різницею арифметичної прогресії? Як позначають? Відповідь:це число, яке показує на скількикожнийнаступний член більшийабоменшийпопереднього. Позначають буквою d.

19. 3. Назвати формулу n-ого члена арифметичної прогресії.

20. 4. Які властивості арифметичної прогресії? • Відповідь: Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів.

21. 4. Які властивості арифметичної прогресії? • Відповідь: Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.

22. 6. Які бувають арифметичні прогресії? Відповідь: Якщо в арифметичній прогресії різниця d > 0, то прогресія є зростаючою. Якщо в арифметичній прогресії різниця d <0, то прогресія є спадною. Якщо в арифметичній прогресії d = 0, то прогресія є сталою.

23. Перевір себе! Які із послідовностей є арифметичними прогресіями? 3, 6, 9, 12,….. 5, 12, 18, 24, 30,….. 7, 14, 28, 35, 49,…. 5, 15, 25,….,95…. 1000, 1001, 1002, 1003,…. 1, 2, 4, 7, 9, 11….. 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,…. d = 3 d = 10 d = 1 d = - 1

24. Обчислиусно! Знайти різницю арифметичної прогресії: 1; 5; 9……… 105; 100…. -13; -15; -17…… 11; ; 19,….

25. Істинне чи хибне твердження 1. В арифметичній прогресії 2,4; 2,6;… різниця дорівнює 2. 2. Четвертий член арифметичної прогресії 0,3; 0,7; 1,1,… дорівнює 1,5 3. 11-ий член арифметичної прогресії, для якої дорівнює 0,2

26. Здогадайся: Між числами 6 і 21 вставте 4 числа так, щоб разом з даними числами вони утворили арифметичну прогресію. Розв’язання: = 6, = 21, d = (21 – 6)/ (6 – 1)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21.

27. Висновок Формула суми n перших членів арифметичної прогресії.