第六章大数定律与中心极限定理

第六章大数定律与中心极限定理 • 大数定律 • 中心极限定理

概述 大数定律是反映随机变量算术平均值与频率稳定性的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概率的理论基础。中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概率论中的重要地位。

§1、大数定律 契比雪夫定理设随机变量X1，X2，…，Xn， …相互独立，且有相同的期望μ与方差σ2，则对任意正数ε有【证】由期望与方差性质可得

由契比雪夫不等式得： 取极限并由夹挤定理得： ■

定义1设有随机变量无穷序列和常数， 如果对任意正数ε，有则称序列依概率收敛캎常数，记为定理表明：在一定条件下，n个随机变量的算术平均依概率收敛于常数，即当n充分大时它几乎为常数。

则相互独立，且均服从同一个（0-1）分布：贝努里定理设nA是事件A在n次独立重复试验中发生的频数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数ε有【证】引入随机变量

由契比雪夫定理得 ■ 定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率。在契比雪夫定理中，去除“方差存在”的条件，增加“随机变量服从相同分布”可得如下定理。

辛钦定理设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互 独立，服从同一分布且均有期望μ，则对任意正数ε 有 ■

§2、中心极限定理 列维-林德伯格中心极限定理设随机变量X1，X2， …，Xn，…相互独立、同分布，且均具有期望与方差：随机变量和的标准化则随机变量的分布函数满足

■ 即由列维-林德伯格定理可知 1、独立同分布且存在期望与方差的随机变量和近似服从正态分布： 2、计算独立同分布且存在期望与方差的随机变量和的概率的近似公式：

〖解〗设第k个元件的寿命则相互独立、服从同一个指数分布,且〖解〗设第k个元件的寿命则相互独立、服从同一个指数分布,且【例1】【例1】据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设其寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。由独立同分布的列维-林德贝格中心极限定理得 “16只元件寿命总和大于1920小时”的概率为: ■

此例中用的公式具体为

〖解〗设最多有n个数相加,且第k个数取整的误差为〖解〗设最多有n个数相加,且第k个数取整的误差为则相互独立、服从同一个均匀分布, 且【例2】] 【例2】计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且服从(-0.5，0.5)上的均匀分布,问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.99? 由列维-林德贝格中心极限定理得“n个数相加误差总和绝对值小于10”的概率为:

即查表得：故可取 ■

德莫佛-拉普拉斯中心极限定理设随机变量ηn （n=1,2,…)服从二项分布B(n,p)(0<p<1),则对任意,有【证】因为ηn可分解为n个相互独立、服从同一个 (0-1)分布的随机变量X1，X2，…，Xn之和,即标准化得 ■ 由列维-林德伯格定理即可得证.

由德莫佛-拉普拉斯定理可知 1、正态分布是二项分布的极限分布; 2、有关二项分布概率的近似计算公式：特别的，当n较大且np≥5时

【例3】 【例3】某单位设置一部电话总机,架设200部电话分机. 设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有 5%的概率使用外线.问总机需要多少条外线才能以不低于 90%的概率保证各分机要使用外线时可供使用. 〖解〗设200部电话分机同时使用外线的门数为X，则X~B(200,0.05),.又设需外线N条.由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理可得:

例3-续 查表得: 故可取N=14. ■ 注:本题也可利用二项分布的泊松近似公式.

【例4】 【例4】某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈率为0.8,医院检验员任意抽查100名服用此药的病人,如果其中多于75人被治愈,则接受此断言,否则拒绝该断言. (1)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少? (2)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少? 【例4】某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈率为0.8,医院检验员任意抽查100名服用此药的病人,如果其中多于75人被治愈,则接受此断言,否则拒绝该断言. (1)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少? (2)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少? 〖解〗(1).设100个服用此药被治愈的有X人,则X~ B(100,0.8).由拉普拉斯中心极限定理得: 〖解〗(1).设100个服用此药被治愈的有X人,则X~ B(100,0.8).由拉普拉斯中心极限定理得:

中心极限定理间关系 列维-林德伯格定理独立同分布利用正态分布计算大量随机变量和的概率证明特例德莫佛-拉普拉斯定理二项分布

第六章 大数定律与中心极限定理