Variables aleatòries

1. Variables aleatòries Curs 2013-14 URV

2. Variable aleatoria • La variable aleatòria es defineix com una aplicació entre el conjunt espai mostral i els nombres reals. • Les variables aleatòries poden ser discretes o contínues Curs 2013-14 URV

3. Tipus de variables aleatòries teòriques • Variables aleatòries discretes • Variable binomial • Variable de Poisson • Variables aleatòries contínues • Variable normal • Variable t de Student-Fisher • Variable de χ2 • F de Snedecor Curs 2013-14 URV

4. Variable aleatòria discreta Curs 2013-14 URV

5. Variables aleatòries discretes • Funció de probabilitat: • Es una funció que associa a cada resultat possible de la variable discreta X la probabilitat de aquest resultat • P(x)=P(X=x) • Funció de distribució de probabilitat • F(x)=P(X≤x) Curs 2013-14 URV

6. Valor esperat i variància d’una variable aleatòria discreta • Valor esperat • Es representa mitjançant E[X] ó μ i es equivalent a la mitjana aritmètica de les variables estadístiques. • Variància • Es representa mitjançant VAR[X] o σ2i és equivalent a la variància de les variables estadístiques. • Desviació típica • es representa per σ i és la arrel quadrada de la variància. Curs 2013-14 URV

7. Experiment aleatori: llençar tres monedes • Mitjana o esperança • Mitjana o esperança • Variància • Desviació típica Curs 2013-14 URV

8. Propietats de l'esperança i la variància d'una variable aleatòria discreta Propietats de l'esperança Propietats de la Variància Curs 2013-14 URV

9. Variables aleatòries discretes teòriques • Variable Binomial • Variable Poisson Curs 2013-14 URV

10. Variable aleatòries discretes Variable binomial Curs 2013-14 URV

11. Un experiment binomial es aquell que compleix aquestes característiques: N proves idèntiques A cada prova dos resultats possibles (Èxit o fracàs) La probabilitat d’èxit (p) o fracàs (1-p) es constant a cada prova El resultat de cada prova es independent al de altres proves El nostre interès estarà en la variable aleatòria X, el nombre d'èxits a n proves Variable aleatòria binomial Curs 2013-14 URV

12. Qualsevol variable aleatòria X que representi el nombre d'èxits en n proves idèntiques i independents, amb probabilitat d'èxit p constant d'una prova a l'altre, se'n diu una variable aleatòria binomial amb paràmetres n i p. Variable aleatòria binomial X~B(n,p) Curs 2013-14 URV

13. Exemples • Un laboratori afirma que un medicament causa efectes secundaris en una proporció de tres de cada cent pacients. Es tracten 5 pacients. La variable aleatòria X : nombre dels que han patit efectes secundaris és una variable aleatòria Binomial. • efectes secundaris • n = 5 • són independents • p=0’03 • La variable X : nombre de cares que surten al llençar 8 vegades una moneda trucada de la que sabem que la probabilitat que surti cara és 0’45 , és una variable aleatòria Binomial • cares • n = 8 • són independents • p=0’45 Curs 2013-14 URV

14. S'estima que el percentatge de fumadors en una població determinada és del 35%. D'una mostra de 10 individus d'aquesta població n'esbrinem els que són fumadors. La variable X nombre de fumadors és una Variable aleatòria Binomial. • fumador • n = 10 • són independents • p = 0’35 • Suposem que la distribució per gèneres és igualment probable, la variable X : nombre de nenes nascudes en famílies de 7 fills, és una variable aleatòria Binomial . • nena • n=7 • són independents • p = 0’5 Curs 2013-14 URV

15. Variable aleatoria binomial • Funció de probabilitat • Esperança o mitjana • Variància Curs 2013-14 URV

16. Variable aleatòria binomial Exercici • Una determinada malaltia te una prevalença del 20% • Agafem una mostra de n=4 persones • Quina es la probabilitat de tindre com a molt un malalt? • X: Nombre de malalts • X~B(4,0.20) • P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) • Els valors de P(X=0) i P(X=1) els trobem mitjançant TAULES Curs 2013-14 URV

17. Curs 2013-14 URV

18. Variable aleatòria binomial Exercici • Una determinada malaltia te una prevalença del 20% • Agafem una mostra de n=4 persones • Quina es la probabilitat de tindre com a molt un malalt? • X: Nombre de malalts • X~B(4,0.20) • P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = = 0.4096 + 0.4096 = 0.8192 Curs 2013-14 URV

19. Variable aleatòries discretes Variable de Poisson Curs 2013-14 URV

20. El nombre de successos que ocurreixen en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson si La probabilitat de un succés es la mateixa en tot l’interval La probabilitat de un succés no depèn dels successos ocorreguts amb anterioritat Variable aleatòria de Poisson Curs 2013-14 URV

21. Variable aleatòria de Poisson • Es una variable observada en una unitat de temps, volum, superfície, etc. • nombre de glòbuls blancs en una gota de sang • nombre d'emissions radioactives d'una planta nuclear en un període de tres mesos • nombre d’altes voluntàries que han tingut lloc per dia en l’hospital • nombre d’infectats per SIDA per comunitat autònoma Curs 2013-14 URV

22. Variable aleatòria de Poisson X~P(λ) • La variable X de Poisson queda caracteritzada amb un únic paràmetre λ (Nombre mig de successos en un interval) • E(X)=λ • V(X)=λ • La seva funció de probabilitat és: Curs 2013-14 URV

23. Variable aleatòria de Poisson La mitjana del nombre de leucòcits pot ser de 6000 per mm3 de sang. En una mostra de 0’001 mm3 de sang definim la variable aleatòria X : nombre de leucòcits. • Calcula : • Leucòcits que cal esperar trobar en aquesta mostra. • Probabilitat de trobar-hi com a màxim 2 cèl·lules Curs 2013-14 URV

24. El nombre de successos que ocurreixen en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson Leucòcits que cal esperar trobar en aquesta mostra de 0’001 mm3 1 mm 6000 0,001 mm λ λ = 6000(0’001) = 6 E[X] = λ = 6 Per a una persona sana esperem trobar una mitjana de 6 leucòcits per 0’001 mm3 Variable aleatòria de Poisson Curs 2013-14 URV

25. Probabilitat de trobar-hi com a màxim 2 cèl·lules P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1)+P(X=2) Si busquem a les taules a λ = 6 i a les columnes 0,1 i 2 trobem: P(X=0) = 0’0025 P(X=1) = 0’0149 P(X=2) = 0’0446 P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1)+P(X=2) = = 0’0025 + 0’0149 + 0’0446 = = 0’0620 Variable Aleatoria de Poisson Curs 2013-14 URV

26. Exemple en que la variable aleatòria generada es pot considerar com variable de Poisson • En les mateixes condicions que la variable binomial si • la característica és poc freqüent (p<0.05) • mostres grans (n≥30) La variable X segueix el model de distribució de Poisson • Una població amb una prevalença de diabetis d'un 2%. La probabilitat de trobar 0, 1, 2, 3, 4,... diabètics en una mostra de 100 individus : B(100, 0’02) Binomial (100,0’02) Poisson (2) Curs 2013-14 URV