§2. 8 微分在近似计算中的应用

§2. 8 微分在近似计算中的应用 一、近似公式公式f (x0Dx)f (x0)f(x0)Dx的应用公式f (x0Dx)f (x0)f(x0)Dx的应用公式f (x)f (0)f(0)x的应用二、误差估计绝对误差与相对误差绝对误差限与相对误差限首页上页返回下页结束 

一、近似公式 如果函数yf(x)在点x0处的导数f(x)0，且|Dx|很小时，我们有 Dydyf(x0)Dx， f(x0Dx)f(x0)dyf(x0)Dx， f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx。若令xx0Dx，即Dxxx0，那么又有 f(x)f(x0)f(x0)(xx0)。特别当x00时，有 f(x)f(0)f(0)x。下页

1. 利用f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx求函数增量的近似值例1．有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0. 01cm．估计一下每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解：已知R01cm，DR0. 01cm。 • DVV(R0DR)V(R0) • V (R0)DR4pR02DR • 43.14120.010.13(cm3)。 • 于是镀每只球需用的铜约为 • 0.138.91.16(g)。下页

2. 利用公式 f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx求函数在x0附近的值例2．利用微分计算sin 3030的近似值。 sin 3030 sin(x0Dx) sin x0 cos x0 Dx 即 sin 30300. 5076。下页

3. 利用公式 f(x)f(0)f(0)x求函数在x=0附近的值常用的近似公式(假定|x|是较小的数值)： (2)sin xx (x用弧度作单位来表达)； (3)tan xx(x用弧度作单位来表达)； (4)ex1x； (5)ln(1x)x。首页

二、误差估计 绝对误差与相对误差：如果某个量的精确值为A，其近似值为a，那么|Aa|叫做a的绝对误差。例如，如果精确值A=100，测量值a=99，则a的绝对误差为|A-a|=1，a的相对误差约为0. 01。如果精确值A=10，测量值a=11，则a 的绝对误差也为|A-a|=1，但 a的相对误差约为0. 1。提问：你认为上述测量中哪一个较理想？下页

绝对误差限与相对误差限： 如果已知a的绝对误差不超过dA:|Aa|dA，则dA叫做测量A的绝对误差限(简称绝对误差)。若已知A由函数y=f(x)确定：A=y，x的绝对误差是dx ，那么y的绝对误差dy=? 由DydyyDx，有 |Dy||dy| |y||Dx| |y|dx，所以测量y的绝对误差dy=|y|dx，测量y的相对误差为下页

例4．设测得圆钢截面的直径 D60. 03mm，测量D 面积时，试估计面积的误差。已知D=60.03，dD0. 05，所以结束

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