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多媒体技术基础. 四川大学 计算机学院 陈 虎 huchen@scu.edu.cn. M s ( f ). …. f. -2 f s - f s - f H 0 f H f s 2 f s. f s - f H. f s + f H. M '( f ). f. - f H 0 f H. M s ( f ). M s ( f ). …. …. …. …. -2 f s - f s 0 f s 2 f s. f. f.
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多媒体技术基础 四川大学 计算机学院 陈 虎 huchen@scu.edu.cn
Ms(f) … f -2 f s- f s-fH 0 fHfs 2fs fs-fH fs+fH M'(f) f -fH 0 fH Ms(f) Ms(f) … … … … -2fs-fs 0 fs 2fs f f -2 f s- f s-fH 0 fHfs 2fs fs-fH fs+fH M'(f) M'(f) f f -fH 0 fH -fH 0 fH 复习 低通信号的抽样定理: 一个频带限制在0~fH内的低通信号m(t),如果抽样频率fs≥ 2fH,则可以由抽样序列无失真地重建原始信号m(t) 。 fs≥2fH fs=2fH fs<2fH 抽样频率fs对频谱Ms(f)的影响
量化 • 模拟信号数字化中的量化: 在实际中,信号的波形都是典型的连续幅度和连续时间,因此模数(A/D)变换用来产生波形的离散表示形式。经过抽样后的样值在幅度上仍然是连续的,幅度量化过程是用来把可能的幅度数目限制到有限个数目。由于幅度量化在很大程度上决定了系统总失真,以及把波形传送到接收端所必需的比特率。因此,量化是数字通信中关键的过程。
量化 • 量化在多媒体领域常有两种用途 • 一是将模拟信号转变成数字信号,以便于随后进行数字处理,一般采用线性量化器,量化区间均匀划分,以区间的中间值做量化输出值。 • 另一种用途是数据压缩,如在 DPCM 系统中对预测误差的量化,这种场合常用不均匀量化。 • 量化类型 • 标量 (Scalar) 量化:对每一个样值做独立的量化。 • 矢量 (Vector) 量化:由 K 个样值构成 K 维空间的一个矢量,然后对其进行一次性量化。
量化 • 量化实质上可以看作是一个映射的过程。将所有取值落在 Ri范围内的输入信号映射到一点 yi上。
信号实际值 q6 信号量化值 d5 d4 量化误差 q5 d3 m(6T) mq(6T) d2 q4 t d1 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T q3 q2 q1 m(t) - 信号实际值 - 信号量化值 量化 • 量化过程
量化 • 量化器的设计要求,通常设计量化器有下述两种情况: • 给定量化分层级数 L,满足量化误差 D 最小。 • 限定量化误差 D,确定分层级数 L,满足以尽量小的平均比特数,表示量化输出,即码率 R 最小。 • 标量量化又可分为: 均匀量化、非均匀量化和自适应量化
uo(v) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 aM v ui (v) -5 -4 –3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 量化特性 e(v) 2 1 0 -1 -2 aL ui (v) -5 -4 –3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 量化误差 均匀量化 限幅区 mM dM-1 dk+1 dk d2 d1 d0 mk qM qM-1 qk q2 q1 q0 qk … … 量化间隔都相等的量化称为均匀量化 … … 正常量化区 量化值 判决电平 限幅区
u(v) aM 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 t 信号幅度在 [aL,aM]之间 aL v 2 e(v) 1 0 -1 量化误差 t 均匀量化 正常量化区
u(v) aM 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 t 信号幅度进入限幅区 aL v 2 e(v) 1 0 -1 量化误差 t 均匀量化 限幅区
均匀量化 • 均匀量化的数学表示 量化间隔: 量化区间端点: 若量化输出电平qi取为量化间隔的中点,则 i = 0, 1, …, M
量化误差 • 输入 x 与输出y 之间的误差是量化过程中所固有的,称为量化误差。 • 量化误差 (噪声)是数字小信号失真的主要来源。 • 量化处理是多个对一个的处理过程,是个不可逆过程,有信息丢失,或者说,会产生量化噪声。 • 不同于信道噪声或热噪声,量化噪声不是随机引入的,一般说来,它与被量化的信号相关。 • 度量量化误差时,首先需要一个衡量的标准,比如,均方误差准则(MSE)、绝对值误差准则等。我们下面的讨论都基于广泛使用的均方误差准则。
均匀量化 • 均匀量化的平均信号量噪比 ▼量化噪声功率的平均值Nq: ▼ 信号mk的平均功率:
颗粒失真和过载失真 • 颗粒失真(Granular Noise): 均匀量化误差与输入信号的关系如图。处在均匀量化范围内的量化误差大小为 [-0.5△, +0.5△],称之为颗粒失真,或者颗粒噪声,表示为 Dgran
颗粒失真和过载失真 • 平均颗粒失真: 代入 得
颗粒失真和过载失真 • 若输入信号 x 先经过归一化处理,使其范围在 x∈[0,1] ,即 b-a =1 ,则上面等式成为: • 信噪比为:
颗粒失真和过载失真 • 说明: • 量化级数每增加 1bit,则步长减小一半,均方量化噪声减为 ¼,SNR 增加 6dB。 • 人眼视觉对图像中变化不大、较为均匀的区域(低频)比较敏感,而对细节(高频)部分的敏感程度相对较弱。因此,通常对图像信号中的低频部分采用较大的量化级数。
颗粒失真和过载失真 例:8 1, 2, 3 bits/pixel 1 比特量化: [0, 127] 64 [128, 255] 196 3 比特量化 2 比特量化: 边界:{[0, 64, 128, 196, 255} 重构水平{32, 96, 160, 224 变暗、只保留轮廓
颗粒失真和过载失真 • 输入信号幅度为无界(-∞,∞) 时 • 在两个区间(-∞, x1] 和 [xL-1,∞)产生过载失真Dol • 在其它的L-2个区间 (x1, xL-1) 产生颗粒噪声,即量化失真大小在 [-0.5△, +0.5△]内的误差。 • 一般而言,颗粒失真幅度相对较小、产生的概率随着输入样值的不同而不同;过载失真幅度大,但只要设计合理,其产生的概率很小。 • 假设输入随机信号零均值、对称量化器,则该均匀量化器的噪声 D 为:
非均匀量化 • 非均匀量化的目的 提高小信号的输出信号量噪比。 • 非均匀量化的原理 量化间隔随信号抽样值的不同而变化。信号抽样值小时,量化间隔v也小;信号抽样值大时,量化间隔v也变大。
y 1 0 x 1 e(x) 量化误差 x 非均匀量化 非均匀量化特性曲线
y 非均匀量化特性曲线 x e(x) 量化误差 x 非均匀量化
y y 10 8 5 1 x t y t 5 1 8 10 压缩特性曲线 t t 非均匀量化 • 非均匀量化的实现原理 扩张特性曲线
非均匀量化 • 常用的压扩方法 A压缩律(A律):主要用于英国、法国、德国等欧洲各国和我国大陆; 压缩律(律):主要用于美国、加拿大和日本等国。
y 1 A=87.6 A=1 -1 0 x 1/A 1 -1 非均匀量化 • A压缩律(A律) • 压缩规律: A---压缩率 我国大陆:A = 87.6
y 各段斜率 1 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 段号 斜率 8 7 1 16 6 2 16 5 3 8 4 4 4 3 5 2 2 6 1 1 x 7 1/2 1/8 1/4 1/2 1 1/16 1/32 1/64 1/128 8 1/4 非均匀量化 • 13折线压缩特性 - A律的近似 A=87.6时的A律压缩特性
非均匀量化 • A=87.6 A律与13折线压缩特性比较
y x 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 200 100 m=0 m=0 30 100 30 200 x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 压缩特性 扩张特性 非均匀量化 • 压缩律 • 压缩规律:
非均匀量化 • 15折线压缩特性 - 律的近似
非均匀量化 • 15折线压缩特性
非均匀量化 • 15折线压缩特性与13折线压缩特性比较 • 15折线特性第一段的斜率(255/8)大约是13折 • 线特性第一段斜率(16)的两倍,15折线特性 • 给出的小信号的信号量噪比约是13折线特性的 • 两倍。 • 对于大信号而言,15折线特性给出的信号量噪 • 比要比13折线特性时稍差。 • 恢复原信号大小的扩张原理,完全和压缩的过程相反。
SNR(dB) 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 20lgy/x(dB) 非均匀量化 • 非均匀量化和均匀量化比较 电话传输标准对通信系统的要求是:在信号动态范围大于40dB的条件下,信噪比不应低于26dB。 均匀量化11位码字 非均匀量化7位码字 26 均匀量化7位码字
Lloyd-Max 标量量化器 • 问题:信号 x的概率密度函数为 p(x),设计一个L个输出电平的量化器,以均方误差作为评判标准,使其最小:
Lloyd-Max 标量量化器 • 结果:Lloyd-Max 最佳均方量化器(MMSE,Lloyd 1957; Max 1960) • L-1个判决电平(门限)精确地位于输出电平之间的中点→最近邻 • L个 输出量化电平位于 pdf 函数在两个连续判决门限之间的质心
Lloyd-Max 标量量化器 证明: • 根据量化失真度量公式,得
Lloyd-Max 标量量化器 • 现在要对此多元方程求 D 的极小值,根据拉格郎日极值定理,分别对 xi 及 yi 求偏导,并使之为 0,得:
Lloyd-Max 标量量化器 • 求解上述方程得:
最佳均方量化器的三个主要特点: 设 y=Q(x),量化误差 ε= y-x = Q(x) –x,则 Lloyd-Max 标量量化器 量化误差的均值为 0,量化误差无直流分量 量化误差和重建信号不相关,正交 方差为输入输出信号方差的差值,方差减少
说明: (1)E[ε]=0,量化误差没有直流分量。用 ε= x-Q[x] = x – y替换,得到 E[x] = E[y] 。这表明MMSE量化器的输出电平 y 是输入电平 x 的的无偏估计。 (2) E[Q(x)ε]=0,量化误差正交于量化器的输出电平。 (3) E[ε2]=σε2 = σx2- σy2 ,做数学代换得到 。 Lloyd-Max 标量量化器
Lloyd-Max 标量量化器设计 • 基本思想:前面介绍的最佳量化器条件,即最小均方误差(MMSE)量化器的最近邻条件和质心条件。 • 给定 xi,可以计算对应的最佳 yi • 给定 yi,可以计算对应的最佳 xi • 显然,判决电平 xi和量化电平 yi的求解是一个相互依赖的过程。 • 问题:如何同时计算最佳的 xi和 yi? • 答案:迭代,或查表法
Lloyd-Max 标量量化器设计 • 迭代法就是选择参量,以同时达到最佳分区(最邻近条件)和最佳码表(质心条件)的算法。Lloyd-Max 迭代算法的具体步骤如下:
Lloyd-Max 标量量化器设计 • Lloyd-Max 算法举例I • x 是均值为 0,方差为1 的高斯分布,即 x~N(0,1) • 设计一个 4 个索引的量化器,使得失真 D*最小 • 用 Lloyd-Max 算法得到最佳量化器 • 判决电平(边界):-0.98, 0, 0.98 • 量化(重建)水平:–1.51, -0.45, 0.45, 1.51
在两种情况下,经过 6 次迭代后, Lloyd-Max 标量量化器设计 • 收敛情况 初始化A:判决边界为:–3, 0, 3 初始化A:判决边界为:–1/2, 0, 1/2
Lloyd-Max 标量量化器设计 • Lloyd-Max 算法举例 II • x 是均值为 0,方差为 1 的 Laplacian 分布 • 设计一个 4 个索引的量化器,使得失真 D*最小 • 用Lloyd-Max算法得到最佳量化器 • 判决电平(边界):-1.13, 0, 1.13 • 量化(重构)水平:-1.83, -0.42, 0.42, 1.83 一个好的预测器输出的预测差值信号通常满足 0 周围高峰值的分布,如 Laplacian分布
Lloyd-Max 标量量化器设计 • 收敛情况 初始化A:判决边界为:–1/2, 0, 1/2 初始化A:判决边界为:–3, 0, 3 • 在两种情况下,经过 6 次迭代后, Laplacian 分布的尾巴更长,外侧步长大;同时,内侧步长小,因为在中心附近概率大。
Lloyd-Max 标量量化器设计 • 当真实的数据方差和假设的方差不匹配时造成的影响 当输入方差小于假定方差,SNR下降很快。均方量化噪声MSQE减小,因为过载噪声减小。但是由于输入方差小,SNR中的信号/噪声比率减小很快。 当输入方差大于假定方差,均方量化噪声MSQE相应增大,但是由于输入信号的能量增大,信号/噪声比率减小缓慢。 4比特 Laplacian 最优量化器
判决门限 输出电平 Lloyd-Max 标量量化器设计 • 当信号 x的概率密度函数 p(x)不是均匀分布时,需要采用上述的反复迭代方法设计最佳均方量化器。 • 这种迭代过程是比较麻烦的, Max 已经针对不同分布的 p(x),计算出了最佳量化电平和判决电平。在某些情况可以直接套用。
Lloyd-Max 标量量化器设计 • 已知输入信号 x的概率密度函数 p(x) 为高斯分布、拉普拉斯分布或均匀分布,且均值 E[x]=0 ,标准方差 σx = 1 时,得到最佳量化器量化电平 yk (k=1,2,.,L) 标准表。 • 问题:当随机变量 x’ 的均值 μ= E[x’ ]≠0 ,标准差 σx’≠ 1 时,如何由标准表转换出相应的量化电平 ? • 具体步骤如下图:
当信号 x的概率密度函数 p(x)在整个范围内是均匀分布时,即 p(x)为某个常数 c 时,上述 Lloyd-Max 最佳均方量化器变为均匀量化器,其输出的量化电平为: Lloyd-Max 标量量化器