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第一节 机械求积

第一节 机械求积. 主要内容. 求积公式的构造方法之一 代数精度 插值型求积公式. 一、 数值求积的基本思想. 1 、定积分的计算. 当 f ( x ) 是闭区间上的连续函数时，如何计算下列定积分？. 积分中值定理. 底为 而高为 的矩形面积恰好等于所求曲边梯形的面积 。. 问题 ：如何确定 ？. y. I ( f ). x. O. 上述公式的几何意义. 2 、定积分常用的近似公式. 左矩形. 右矩形. 矩形. 中矩形. 辛浦生（ Simpson ）.

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Presentation Transcript

  1. 第一节 机械求积 主要内容 求积公式的构造方法之一 代数精度 插值型求积公式

  2. 一、数值求积的基本思想 1、定积分的计算 当 f(x)是闭区间上的连续函数时，如何计算下列定积分？ 积分中值定理

  3. 底为 而高为 的矩形面积恰好等于所求曲边梯形的面积 。 问题：如何确定 ？ y I(f) x O 上述公式的几何意义

  4. 2、定积分常用的近似公式 左矩形 右矩形 矩形 中矩形 辛浦生（Simpson）

  5. 一般地，在积分区间[a,b]上n+1个节点 处的高度为 ，通过加权平均的方法，近似得出平均高度，于是有 形如上式（4）的求积公式称为机械求积公式，其中 称为求积节点， 称为求积系数。 A x k k 3、一般方法

  6. 利用公式（4）进行定积分计算的方法称为机械求积方法。利用公式（4）进行定积分计算的方法称为机械求积方法。 特点： 具有通用性好，即求积系数仅仅与节点有关，而与被积函数的具体形式没有关系。

  7. 二、求积公式的代数精度 如果在求积公式（4）中，对于任意不高于m次的多项式都准确地成立，而对于 都不能准确地成立，则称该求积公式的代数精度为m.

  8. 数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。 如果机械求积公式对 均能准确成立， 但对 不准确，则称机械求积公式具有 次代数精度。 事实上，令求积公式对 准确成立，即 得 可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。

  9. 例1： 的代数精度是m=1. 当 ，原式恒成立； 当 ，原式不成立。 分析：对于 ，有

  10. 设已给出 在节点的函数值，作Lagrange插值多项式 三、插值型求积公式 式中 为Lagrange插值基函数。 对其进行积分，有

  11. 其中： 依据公式（5）所确定的求积系数的求积公式，称为插值型求积公式。

  12. 四、求积公式的余项 如果求积公式是插值型，则有 于是插值型余项为

  13. 小 结 定理1形如（4）的求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：插值型的。 机械求积公式具有通用性好，即求积系数仅仅与节点有关，而与被积函数的具体形式没有关系。 作业：P94 2、3、6

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