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三垂线定理. 温州育英实验中学. ljh. 提问:. ( 1 )直线和平面垂直的定义。. ( 2 )直线和平面 垂直的判定定理. ( 3 )如何证明线面垂直? 如何证明线线垂直?. ( 4 )空间中的两条直线具有什么样的位置关系?. ljh. 自一点 P 向平面 引垂线,垂足 叫做点 P 在平面 内的 正射影 ( 简称 射影 ). 如果图形 F 上的所有点在一平面内的射影构成图形 F ’, 则叫做 图形 F 在这个平面内的射影 如果一条直线和一个平面相交 , 但不和这个平面垂直 , 那么这条直线叫做 平面的斜线
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温州育英实验中学 ljh 提问: (1)直线和平面垂直的定义。 (2)直线和平面垂直的判定定理 (3)如何证明线面垂直? 如何证明线线垂直? (4)空间中的两条直线具有什么样的位置关系?
ljh 自一点P向平面 引垂线,垂足 叫做点P在平面 内的正射影(简称射影) • 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形 F ’, 则叫做图形F在这个平面内的射影 • 如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线 • 斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。 温州育英实验中学
斜线在平面内的射影是直线;斜线段在平面内的射影是线段;垂线在平面内的射影是点。斜线在平面内的射影是直线;斜线段在平面内的射影是线段;垂线在平面内的射影是点。
正方体ABCD-A'B'C'D'的棱A'D', D'C', A'A 的中点分别为E, F, G, 请作出三角形EFG在平面ABCD及面B'BCC'内的射影。 在AC面内的射影
两条异面直线在一个平面内的射影是: A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 两条平行直线 或 两条相交直线 D. 以上都不正确 答案:除两直线平行或相交外, 还可能是一条直线及其外一点 应选D
提问: • 平面内是否存在直线与斜线垂直? • 平面内的直线与斜线的射影垂直时,直线与斜线垂直吗?
三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
已知:PO, PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A α内, 且a OA . a 在面α内 求证: a PA . 证明:
P a O a A 三垂线定理基本图形的特点分析 1:一面 2:四线 线面垂直 3:三垂直 线射垂直 P 线斜垂直 A O
D ^ H ABC PH ABC 已知 是 的垂心, 平面 , ^ AH BC D PA BC 连 交 于 ,求证: P C A H D B
P M C D A B 例2: 已知:在矩形ABCD中, AB=2BC,M是DC的中点。 PA⊥平面ABCD 则:PM ⊥ MB 吗 ? 答案:此时PM 与 MB 一定垂直!
P M C D A B 证明 取AB的中点N, 连结MN,在矩形ABCD中, ∵AB=2BC,DM=MC ∴ AB=2MN, 故AM MB, 又∵PA 平面ABCAD ∴ BM PM
课堂小结: 1.立体几何中求点线距离的一般操作程序: 一找(点到直线所在平面的垂线) 二作(过垂足作直线的垂线) 三证(证明直线与斜线垂直) 四指(指出线段的长度即为所求) 五计算(化归到直角三角形中求长度) 2.线线垂直 线面垂直 3.三垂线定理的结构 “一面四线“
例3: D1 C1 已知:长方体AC1中, BD1为体对角线, 当底面ABCD满足 条件 时, 有BD1 ⊥A1C1 A1 B1 D C A 解: B 当AC ⊥BD时结论成立。
例4:ABCD是矩形,PA 面ABC, 连结PD,PB,PC,指 出图中有哪些三角形是直角三角形,并说明理由。
变式训练: 1.如图。PA 矩形ABCD,AB = 3, AD = 4, PA = 3, 求点P到CD,BC和BD的距离。 2.正方体AC1中,下列各对直线是否垂直,为什么? (1) BD 与AC (2) D1B 与A1C1 (3) D1B 与AB1 (4) D1B 与B1C
如图,PA 垂直于以AB为直径的圆O平面,C为圆O上 任一点(异于A,B),试判断图中共有几个直角三角 形,并说明理由。 已知矩形ABCD中,AB = 3,BC = a,PA 平面ABCD,在 BC边上取点E,使PE DE,则满足条件的点E有2个时, 求a的取值范围。 思考题: 研究题:
布置作业: 课本作业:P24练习第2题;习题 9.4第5 题。