1 / 156

第一节　数列的极限

第一节　数列的极限. 一、数列的极限. 设 x n = f ( n ) 是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列， x 1 , x 2 ,… x n , …, 称为一个数列. x n 称为数列的第 n 项，也称为通项,数列也可表示为{ x n } 或 x n = f ( x n ). 例. x n. x 4. x 3. x 2. x 1. x. 1. 2. 看数列 1.

candice-bowers
Download Presentation

第一节　数列的极限

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第一节　数列的极限 一、数列的极限 设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1, x2,…xn, …, 称为一个数列. xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn=f (xn)

  2. 例.

  3. xn x4 x3 x2 x1 x 1 2 看数列1. 　　从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?

  4. 注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1”就只须说明“ 当n越来越大时, | xn1 |会越来越接近于0”.而要说明“| xn1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n充分大时,| xn1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | xn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1| 会越来越接近于0.

  5. 事实上, , 给 , 很小, 要 也即在这个 , 只须n>1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有

  6. 又给 , 则从第10001项开始, 以后各项都有

  7. 一般, 任给 >0, 不论多么小, 要使 项开始, 以后各项都有 只须 . 因此, 从第 . 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时, xn会越来越接近于1.

  8. 定义:设{xn}是一个数列, a是一个常数, 若 >0, 正整数N, 使得当n>N时, 都有|xna|<, 则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a, 记作 这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的极限不存在, 或称{xn}是发散的.

  9. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, 比如, 对于刚才的数列1. 有 注1.定义中的是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了xn可无限接近于a, 另外, 又是确定的, 它不是变量.

  10. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, 注2.一般说来, N随给定的变化而变化, 给不同的 确定的N也不同,另外, 对同一个来说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, …, 均可作为定义中的N.)

  11. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, 定义中“ 当n>N时, 有| xna |<”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna|<,至于以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质. 注3.

  12. 几何意义: 由于| xna|<  a <xn< a  xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所谓xn以a为极限, 就是对任何以a为心, 以任意小的正数  为半径的 邻域,总能找到一个N, 从第N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a,  ) 内,而只有有限项落在U(a, )外部.看图. xN+5 xN+1 xN ( ) x x1 x3 x2 a a+ a-

  13. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, 例1.若xn=c (常数), 则 证:  >0. 由于|xn–1|=|c – c|= 0 取N=1, 当n>N时, 有|xn–c |=0< 故 即常数的极限就是常数本身.

  14. 例2.设q是满足 |q |<1的常数, 证明 证.若 q = 0 , 结论显然成立. 设 0 <|q |<1. 现在, xn = qn, a = 0.  > 0. (要证N, 当n>N时, 有 |qn 0| < ) 因 | xn  a | = |qn 0| = |qn | = |q| n , 要使| xn  a | <  , 只须 |q| n < 即可.

  15. 即 nln |q | < ln , 取正整数 则当 n > N 时, 有 从而有 | qn  0 | <

  16. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, 例3.证明 证: >0 (要证N, 当n>N时, 有 要使 则当n>N时, 有

  17. 例4. 证:  >0, 由于

  18. 要使 | xn  a | < , 则当 n > N 时, 有

  19. 例5. 证:(1) 设a = 1, 结论显然成立. (2) 设a > 1, 从而 > 1+ nn

  20.  >0,

  21. (3) 设 0 < a < 1, 即 >0, N, 当n>N时, 有 (因 0 < a < 1)   . 综合得

  22. 本例也可用有理化的方法处理. 注意到公式 从而 (分母都用1代). 以下同(2).

  23.  x a b b+ 第二节　数列极限的性质及收敛准则 一、数列极限性质 定理1.若数列收敛, 则其极限唯一. 证: 反设xn收敛, 但极限不唯一, 即, xna, 且xn b, (n), ab. 设b<a, 取

  24. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, 由极限定义, 1, 当n>N1时, N2, 当n>N2时, 取N=max{N1, N2}, 则当n>N时, 上两式同时成立. 从而当 n>N时, 有 矛盾, 故极限唯一.

  25. xn ( ) x M 0 M 数列的有界性. 定义:没有数列xn=f (n), 若M>0, 使得|xn|M, n=1, 2, …. 则称数列xn有界, 否则, 称xn无界. 几何意义: 由于 |xn|MMxnM xn[M, M]. 故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间[M, M]内. 看图

  26. 例1.xn=(1)n有界, 而xn=n2无界. x2n-1 x2n x1 x2 x3 x x 1 1 0 4 9 0 1

  27. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, ( ) x a–1 a+1 a 定理2.若{xn}收敛, 则{xn}有界. 证: M 设xna (n), 由定义, 对=1, 存在自然数N, 故 |xn||xna|+|a|<1+|a|. 取M=max{|x1|, |x2|,…, |xN|, 1+|a|} 当n>N时, 有|xna|<1, 则对n=1, 2, …,有|xn|M

  28. 定理2的逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 但由定义和几何意义知(1)n是发散的. 看图   ( ) x ( ) 1 1 0

  29. x b a 定理3. 证：如图

  30. … (1) … (2) 取 N = max{N1, N2}, 则当 n > N时, (1), (2)同时 成立，即 xn > yn.

  31. 推论1. (保号性定理) 若 , 而a>0 (a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0) 证: 在定理3中取 yn= 0. 则 从而 a > b = 0. 故正整数N, 当n>N时, 类似证明 a < 0的情形.

  32. 推论2. 证:反设 a<b, 由定理3, 正整数N1 , 当n > N1时, 有xn< yn. 取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 (  N)时, 有xn< yn. 此与条件矛盾.

  33. 推论3:设有数列{xn}, 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 (xn0). 且 , 则 a0 (a0).

  34. 注: 在推论3中, 即使xn>0, 也只能推出a0, 比如,

  35. (夹逼定理). 设数列{xn}, {yn}, {zn}满足正整数N, 当 n > N 时, 有 定理4. xn yn  zn …(1) 证:  > 0 , N1, 当n > N1时, 有 |xna| < . 即 a   <xn< a + … (2)

  36. N2, 当n > N2时, 有 a   <zn< a + … (3) 取 N * = max{N, N1, N2}, 则当n > N * 时, (1), (2), 有 (3)同时成立. a   <xn yn zn a +  即 | yn a | <  .

  37. 特别, 若在夹逼定理中, xn和 zn中有一个为常数列, 并满足定理条件. 定理当然成立. 即 若 a  yn zn , 夹逼定理的意义有: (1) 给出判断数列 yn存在极限的方法; (2) 给出了求 yn 的极限的方法. 这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.

  38. 例2.求 解：用夹逼定理求解， 记 考虑将 xn 适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式 由于 所以

  39. 例3.求数列 解：回忆结论 得出当 a >1 时的结论的方法是 记 得 得 现在类似，记 则

  40. 解得 易证 所以

  41. 按原来的次序，从左到右 排成一个新的数列， 二、子列 所谓数列{xn} 子列，就是从数列 x1, x2, , xn,  中任取无穷多项， 这个数列称为{xn}的子列. 比如，x2, x5, x14, , x78, 就是{xn}的一个子列 上列中n1=2, n2=5, n3=14等.

  42. 注： 易见 k  nk . 前必已从{xn}中抽出了k1项， 也即 k  nk . {xn}的第 k 项后的项中抽出，

  43. (3) 对任何两个正整数 h, k, 若 h  k, 则有 nh  nk . 反之，若 nh  nk, 则 h  k. 这是因子列次序与原数列次序相同. 在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.

  44. a 的定义是： 此时，记为 或

  45. 定理5. 由于{xn}可看作它自已的一个子列. 证：充分性. 由条件 {xn} 的任何子列都以 a 为极限， 故

  46. 必要性.

  47. 注：由定理5，若{ xn } 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则{xn}发散； 或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散. 0, 1, 0, 1,  发散. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,  发散. 推论.

  48. 三、收敛准则 若数列{xn}满足 x1x2…xn…, 则称{xn}为单调递增数列. 若x1x2…xn…, 则称{xn}为单调递减数列. 单调递增和单调递减数列统称为单调数列.

  49. 例4.xn=n2是单调递增数列, 但xn是发散的. xn=(1)n是有界数列, 但xn=(1)n也是发散的.

More Related