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Ensino Superior. Matemática Básica. Unidade 8 – Função Logarítmica. Amintas Paiva Afonso. Logaritmos. Logaritmo. Logaritmando. Base do logaritmo. Condição de Existência. Logaritmos. Logaritmo. Logaritmando. Base do logaritmo. Logaritmos. Logaritmo. Logaritmando. Base do logaritmo.

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Presentation Transcript

  1. Ensino Superior Matemática Básica Unidade 8 – Função Logarítmica Amintas Paiva Afonso

  2. Logaritmos Logaritmo Logaritmando Base do logaritmo Condição de Existência

  3. Logaritmos Logaritmo Logaritmando Base do logaritmo

  4. Logaritmos Logaritmo Logaritmando Base do logaritmo

  5. Logaritmos Consequência da definição

  6. Logaritmos Propriedades Operátórias

  7. Logaritmos Mudança de Base

  8. Logaritmos (UDESC 2006-1) Se , e , pode-se afirmar que:

  9. Logaritmos (UDESC 2007-2) A expressão que representa a solução da equação 11x – 130 = 0 é: a) b) c) d) e)

  10. Função Logarítmica Definição Domínio Imagem

  11. Função Logarítmica Representação Gráfica

  12. Função Logarítmica Representação Gráfica

  13. Função Logarítmica Representação Gráfica

  14. Função Exponencial y = ax 0 < a  1 y = ax a > 1 y Ex: y = (1/2)x Ex: y = 2x 1 x

  15. Função Logarítmica y = loga x 0 < a  1 y y = log1/2 x 1 x y = loga x a > 1 y = log2 x

  16. Função Inversa f(x) = axf -1(x) = loga xa > 1 Crescente y y = x 1 y = ax x 1 y = loga x

  17. Função Inversa y = ax y f(x) = axf -1(x) = loga x0 < a  1 Decrescente y = x y = loga x 1 x 1

  18. Exercício (UDESC 2007-2) A expressão que representa a inversa da função é: a) b) c) d) e)

  19. Equação Logarítmica

  20. Equação Logarítmica

  21. Equação Logarítmica

  22. Exercício (UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão verdadeira é: C.E

  23. Exercício (UDESC 2006-1) Se , então o valor de x é: C.E

  24. Inequação Logarítmica C.E

  25. Inequação Logarítmica C.E

  26. Inequação Logarítmica + + + + + + – – – – – –

  27. Inequação Logarítmica C.E + + + + + + – – – – – –

  28. Inversa Funções inversas • De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo, veremos que a escolha mais conveniente é a “e”. • A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é a reflexão de y = ax com relação a reta y = x. • Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é uma função de crescimento muito lento.

  29. Exemplo Uma aplicação da função logarítmica • A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o logaritmo decimal; • Os valores desta escala são chamados de magnitudes; • Durante um terremoto um sismógrafo registra essa magnitude durante um certo intervalo de tempo;

  30. Exemplo • Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação: • Onde: Ms: magnitude na escala Richter; A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros); f: freqüência da onda (medida em hertz).

  31. Exemplo • Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse terremoto é: • Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a destruição total das construções de uma grande cidade. • Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10 vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes. • O valor acima é considerado moderado.

  32. Exemplo O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no século XX.

  33. Exemplo Funções inversas • A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25 anos. • Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg. Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos, então:

  34. Exemplo Funções inversas • Portanto, a função para este caso é: • Como a função logarítmica inversa dessa função é: • Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5 mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:

  35. Funções Logaritmos Neperianos Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo o eixo y como assíntota vertical. 1) Construir o gráfico de y = lnx;

  36. Funções Logaritmos Neperianos 2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico y = ln(x-2);

  37. Funções Logaritmos Neperianos 3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter y = ln(x - 2) -1;

  38. Métodos de Cálculo I • Assíntotas • Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:

  39. Métodos de Cálculo I • Exemplos x=a y x

  40. Métodos de Cálculo I • Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical é a função logaritmo natural y=lnx. • O eixo y funciona como uma assíntota.

  41. Métodos de Cálculo I • Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como assíntota horizontal. • Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando x  0-, t - , portanto:

  42. Exercícios

  43. Responda a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E decrescente? b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica? c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função logarítmica? d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?

  44. 2y - 1 Decrescente se Crescente se Respostas

  45. Exercícios • O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão N = 1200.20,4.t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?

  46. Exercícios • Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?

  47. Exercícios • Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento estimado para um período de 24 anos?

  48. Exercícios • Resolva a equação 3x = 5. • Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.

  49. Exercícios • Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por N = N0.er.t, em que é o número inicial (quando t = 0) e r a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa decrescimento é de 5% ao minuto?

  50. Exercícios • Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.e-r.t, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

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