运 筹 学

1. 运 筹 学 复旦大学 成伟华

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3. 关于作业与考试 成绩构成： 考试：85% 平时：作业+出勤 15% 课堂练习加分 考试 笔试、闭卷

4. 关于运筹学 运筹学是管理科学的重要理论基础和应用手段，是管理专业的重要专业基础课程之一。 运筹学根据管理问题的环境条件和决策要求，建立相应的数学模型，利用数学模型对实际问题进行分析和求解，经过分析和比较，得到适合实际问题的方案。 建立模型 求解模型 修改 模型 修改 模型 实际问题 数学模型 求解结果 …. 求解结果 …. 求解结果 ….

5. 引例：鸡兔同笼问题 • 问题：鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔? • 算法： • 假设鸡和兔训练有素，吹一声哨，它们抬起一只脚，(100-36=64) 。再吹一声哨，它们又抬起一只脚，(64-36=28) ，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着。所以，兔子有28/2=14只，鸡有36-14=22只…… • 评论：不明觉厉啊……

6. 引例：农场种植规划 • 某农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需要施化肥0.12、0.20和0.15吨。预计秋后玉米每亩可收获500公斤，售价为0.6元/公斤；大豆每亩可收获200公斤，售价为3元/公斤；小麦每亩可收获300公斤，售价1.80元/公斤。农场年初规划时需考虑一下几个方面： • P1：年终收益不低于850万元； • P2：总产量不低于1.25万吨； • P3：小麦产量以0.5万吨为宜； • P4：农场现有5000吨化肥，若不够，可在市场上高价购买，但希望采购量越少越好。 问农场该如何进行种植规划？

7. 运筹学是在第二次世界大战中诞生和发展起来的。由于战争的需要，英国和美国招募了一批年轻的科学家和工程师，在军队将军的领导下研究战争中的问题，例如大规模轰炸的效果，搜索和攻击敌军潜水艇的策略，兵力和军需物质的调运等等。这些研究在战争中取得了很好的效果。当时英国把这些研究成为“作战研究”，英文是Operational Research，在美国称为Operations Research。

8. 战后这些研究成果逐渐公开发表，这些理论和方法被应用到经济计划，生产管理领域，也产生了很好的效果。这样，Operations Research就转义成为“作业研究”。我国把Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地涵盖了这个词作战研究和作业研究两方面的涵义。 运筹学的内容十分广泛，包括线性规划、整数规划、动态规划、非线性规划、图论与网络优化、排队论、决策理论、库存理论等。在本课程中，结合管理学科的特点，主要介绍线性规划、整数规划、运输问题、目标规划等。

9. 你可能会产生的感受…… • 积极的 • 哇塞，数学太神奇了 • Wow，问题原来是这样来处理的啊 • 消极的 • OMG，这么多的符号数字，i、j、m、n…看着就头晕，哪里搞得清楚啊 • WK，这玩意太坑爹了，是让人来算的么？

10. 关键是要会建模！ • 诗云： 数学精微何处寻，纷纭世界有模型； 描摹万象得神韵，识破玄机算古今； 岂是空文无实效，能生妙策济苍生； 经天纬地展身手，七十二行任纵横。

12. 当然，聪明的计算机也是必须滴……

13. 你可能会遇到的问题…… 天书啊！！！泪奔ing…… Orz，我明明上课听懂了，为什么回家做题还是不会呢？ TMD，我昨天（前一阵子）明明把这个方法搞懂了，怎么今天（现在）看看又不会了呢？ Oh, nononono! 我复习的时候明明都会的啊，怎么考试的时候啥都不会了呢？

14. 目 录 第一章 线性规划 第二章 对偶问题 第三章 运输问题 第四章 目标规划 第五章 整数规划 第六章 非线性规划(*) 第七章 动态规划(*) 第八章 图与网络分析(*)

15. 第一章 线性规划 线性规划问题 线性规划模型 线性规划的图解法 线性规划解的概念 线性规划的求解思路 单纯形法

16. 1.1 线性规划问题 • 生产计划问题 • 配料问题 • 背包问题 • 运输问题 • 指派问题 • 下料问题

17. 1. 生产计划问题（Production Planning） 某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占有的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示，求使得总利润最大的生产计划。

18. 设四种产品的产量分别为x1，x2，x3，x4，总利润为z，线性规划模型为：设四种产品的产量分别为x1，x2，x3，x4，总利润为z，线性规划模型为： 目标函数 max z=5.24x1+7.30x2+8.34x3+4.18x4 s.t. 1.5x1+1.0x2+2.4x3+1.0x4≤2000 1.0x1+5.0x2+1.0x3+3.5x4≤8000 1.5x1+3.0x2+3.5x3+1.0x4≤5000 x1, x2, x3, x4≥0 约束条件 变量非负约束 这个问题的最优解为：x1=294.12件，x2=1500件，x3=0，x4=58.82件；最大利润为：z=12737.06元。 问题：1. 三个约束条件可以改为等式吗？ 2. 整数解四舍五入就可以了么？

19. 2. 配料问题（Material Blending） 某工厂要用四种合金T1、T2、T3、T4为原料，经熔炼成为新的不锈钢G。这四种原料含铬（Cr）、锰（Mn）和镍（Ni）(%)，这四种原料的单价以及新的不锈钢G所要求的Cr、Mn、Ni的最低含量(%)如下表： 要求配100公斤不锈钢G，并假定在配制过程中没有损耗。求使得总成本最低的配料方案。

20. 设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4公斤，总成本为z。设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4公斤，总成本为z。 min z=115x1+97x2+82x3+76x4 s.t. 3.21x1+4.53x2+2.19x3+1.76x4≥320 Cr的含量下限约束 2.04x1+1.12x2+3.57x3+4.33x4≥210 Mn的含量下限约束 5.82x1+3.06x2+4.27x3+2.73x4≥430 Ni的含量下限约束 x1+x2+x3+x4=100 物料平衡约束 x1, x2, x3, x4≥0 这个问题的最优解为：x1=26.58, x2=31.57, x3=41.84, x4=0（公斤）, 最低成本为z=9549.87元。 实际问题：如果某一种成分的含量既有下限又有上限怎么办？

21. 3. 背包问题（Knapsack Problem） 一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表： 求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值最高。

22. 设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3 s.t. 10x1+41x2+20x3≤50 x1，x2，x3≥0 (x1，x2，x3为整数) 这是一个整数规划问题（Integer Programming）。这个问题的最优解为： x1=1件，x2=0件，x3=2件，最高价值z=87元

23. 4. 运输问题（Transportation） 某种物资从两个供应地A1，A2运往三个需求地B1，B2，B3。各供应地的供应量、各需求地的需求量、每个供应地到每个需求地每吨物资的运输价格如下表： 求总运费最低的运输方案。

24. B1 2 3 A1 5 B2 4 7 A2 8 B3 10吨 35吨 30吨 25吨 20吨

25. 设从两个供应地到三个需求地的运量（吨）如下表：设从两个供应地到三个需求地的运量（吨）如下表：

26. min z=2x11+3x12+5x13+4x21+7x22+8x23 s.t. x11+x12+x13 =35 供应地A1 x21+x22+x23 =25 供应地A2 x11 +x21 =10 需求地B1 x12 +x22 =30 需求地B2 x13 +x23 =20 需求地B3 x11, x12, x13, x21, x22, x23≥0

27. 10吨 B1 2 35吨 3 A1 5 30吨 B2 4 25吨 7 A2 8 20吨 B3 这个问题的最优解表示如下： 10吨 30吨 5吨 15吨 最小总运费为：z=3×30+5×5+4×10+8×15=275万元

28. 5. 指派问题（Assignment Problem） 张、王、李、赵四位老师被分配教语文、数学、物理化学四门课程，每位老师教一门课，每门课由一位老师教。根据这四位老师以往教课的情况，他们分别教四这门课程的平均成绩如下表。要求确定哪一位老师上哪一门课，使四门课的平均总成绩最高。

29. 指派问题的一般特性 有n项任务由n个人完成，每项任务交给一个人，每人都有一项任务。由 i个人完成 j项任务的成本（或效益）为cij。求使总成本最小（或总效益最大）的分配方案。 设：

30. 设： max z=92x11+68x12+85x13+76x14+82x21+91x22+77x23+63x24+ 83x31+90x32+74x33+65x34+93x41+61x42+83x43+75x44 s.t. x11+x12+x13+x14=1 (1) x21+x22+x23+x24=1 (2) x31+x32+x33+x34=1 (3) x41+x42+x43+x44=1 (4) x11+x21+x31+x41=1 (5) x12+x22+x32+x42=1 (6) x13+x23+x33+x43=1 (7) x14+x24+x34+x44=1 (8) xij=0,1

31. 最优解为：x14=1，x23=1，x32=1，x41=1，max z=336 即张老师教化学，王老师教语文，李老师教数学，赵老师教语文，四门课的平均总分可以达到336分。

32. 6. 下料问题 现将1m长的钢切成A=0.4m，B=0.3m，C=0.2m长的三种钢，其中A，B，C三种钢分别需要20根、45根和50根，问如何进行切割使得需要的1m钢为最少？

33. 解：将1m的钢分别切成A，B，C三种钢的可能方案如下：解：将1m的钢分别切成A，B，C三种钢的可能方案如下： 设第 i种方案进行切割的1m钢的为 xi 根； min z = x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 s.t. 2x1+x2+x3+x4 ≥ 20 2x2+x3+3x5+2x6+x7 ≥ 45 x1+x3+3x4+2x6+3x7+5x8 ≥ 50 xi ≥ 0 (i=1,2……8)

34. 1.2 线性规划模型 min(max) z = c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ≥ (≤, ＝)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ≥ (≤, ＝)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ≥ (≤, ＝)bm x1, x2, ……, xn ≥0 (≤, Free) 线性规划模型的目标函数必须是变量的线性函数，约束条件必须是变量的线性等式或不等式。如右的问题就不是线性规划问题：

35. 模型的现实意义： 技术系数（工艺系数）

36. 线性规划模型的标准形式 目标函数为极大化，约束条件全部为等号约束，右端常数项均为非负，所有变量全部是非负的，这样的线性规划模型称为标准形式 max z = c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn =b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn =bm x1, x2, ……, xn ≥ 0 b1, b2, ……, bm ≥ 0（该条件有时不做强调）

37. 线性规划模型的标准形式用矩阵和向量表示 max z = c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn＝ b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn＝ b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn＝ bm x1, x2, ……, xn ≥0

38. 因此，线性规划模型的标准形式可以写成如下矩阵和向量的形式：因此，线性规划模型的标准形式可以写成如下矩阵和向量的形式： max z = CTX s.t. AX = b X ≥ 0

39. 线性规划模型总结 线性规划模型的结构 • 目标函数 ：max，min • 约束条件：≥, =, ≤ • 变量符号：≥0, ≤0, Free 线性规划模型的标准形式 • 目标函数：max • 约束条件 ：= • 右端常数项： ≥ 0 • 变量符号：≥ 0 max z = CTX s.t. AX = b X ≥ 0

40. 线性规划模型的标准化 • 极小化目标函数转化为极大化 • 小于等于约束条件转化为等号约束 • 大于等于约束条件转化为等号约束 • 右端常数项小于等于0的标准化 • 变量小于等于0的标准化 • 变量没有符号限制（Free）的标准化

41. 极小化目标函数转化为极大化目标函数 min z=2x1-3x2+x3 令z’=-z，z’=-2x1+3x2-x3 新的目标函数 max z’=-2x1+3x2-x3 取得极大化的最优解时，这个最优解同时使原目标函数值取得最小化的最优解。但两个问题最优解的目标函数值相差一个负号。

42. 例如，对于以下两个线性规划问题 min z = 2x1+3x2 s.t. x1+x2 ≤ 3 x2 ≤ 1 (A) x1, x2 ≥ 0 max z’ = -2x1-3x2 s.t. x1+x2 ≤ 3 x2 ≤ 1 (B) x1, x2 ≥ 0 它们的最优解都是x1=0，x2=0，但(A)的最小化的目标函数值为min z=0，(B)的最大化的目标函数值为max z’=0

43. 小于等于约束条件转化为等号约束 2x1+3x2-4x3≤5 引进松弛变量(Slack variable) x4，把松弛变量x4加在约束条件左边，就可以将小于等于约束变为等式。 2x1+3x2-4x3+x4=5 由此可以知道，松弛变量 x4≥0。如果有一个以上小于等于约束，要对于每一个约束引进不同的松弛变量。例如： 2x1+3x2-4x3≤5 3x1-2x2+5x3≤8 在两个约束中分别引进松弛变量x4，x5≥0 2x1+3x2-4x3+x4 =5 3x1-2x2+5x3 +x5=8

44. 大于等于约束条件转化为等号约束 将不等式约束变为等式约束。例如： 2x1+3x2-4x3≥5 3x1-2x2+5x3≥8 引入剩余变量x4、x5 （x4，x5≥0），在两个约束的左边分别减去剩余变量x4，x5 2x1+3x2-4x3-x4 = 5 3x1-2x2+5x3 -x5 = 8

45. 右端常数项小于等于0的标准化 当右端常数项为小于等于0时，如： 2x1-3x2+4x3≥-4 只需不等式两边同乘以-1，同时不等式改号就可以了 -2x1+3x2-4x3≤4

46. 变量小于等于0的的标准化 min z=x1+2x2-3x3 s.t. 2x1+3x2-4x3≤5 3x1-2x2+5x3≥8 x1≥0, x2≤0, x3≥0 max z’=-x1-2x2+3x3 s.t. 2x1+3x2-4x3+x4 =5 3x1-2x2+5x3 -x5=8 x1≥0, x2≤0, x3, x4, x5≥0 令 x2=-x’2，x’2≥0, 代入模型 max z’=-x1+2x’2+3x3 s.t. 2x1-3x’2-4x3+x4 =5 3x1+2x’2+5x3 -x5=8 x1≥0, x’2≥0, x3, x4, x5≥0

47. 变量没有符号限制(Free)的标准化 没有符号限制的变量，用两个非负变量之差表示。例如： min z=x1+2x2-3x3 s.t. 2x1+3x2-4x3≤5 3x1-2x2+5x3≥8 x1≥0, x2:free, x3≥0 先将目标函数转化为极大化，并在约束中引进松弛变量，把不等式约束变为等式。 • max z’=-x1-2x2+3x3 • s.t. 2x1+3x2-4x3+x4 =5 • 3x1-2x2+5x3 -x5 =8 • x1≥0, x2:free, x3, x4, x5≥0

48. 然后，令x2=x2’-x2”，其中x2’,x2”≥0。代入模型，消去x2然后，令x2=x2’-x2”，其中x2’,x2”≥0。代入模型，消去x2 max z’=-x1-2(x’2-x”2)+3x3 s.t. 2x1+3(x’2-x”2)-4x3+x4 =5 3x1-2(x’2-x”2)+5x3 -x5=8 x1, x’2, x”2, x3, x4, x5 ≥0 整理，得到标准形式： max z’=-x1-2x’2+x”2+3x3 s.t. 2x1+3x’2-3x”2-4x3+x4 =5 3x1-2x’2+2x”2+5x3 -x5=8 x1, x’2, x”2, x3, x4, x5 ≥ 0

49. 练习：将以下模型转化为标准型 min z=2x1-x2+4x3 s.t. x1+x2-x3≤3 3x1-x2+2x3≥6 x1-3x2-4x3≥-4 x1≤0, x2:free, x3≥0

50. 对于模型中只有两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解。对于模型中只有两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解。 一个线性规划问题有解，是指能找出一组xj(j=1,2……,n)，满足约束条件，称这组xj为问题的可行解。 通常线性规划问题总是含有多个可行解，称全部可行解的集合为可行域，可行域中是目标函数为最优的可行解为最优解。 图解法可以判断两个变量条件下线性规划问题的求解结果以及在存在最优解的条件下求出最优解。 1.3 线性规划问题的图解法