图像变换

图像变换 陈荣钦 chen_rongqin@163.com

图像变换 • 本节内容： • 图像的代数变换 • 图像的几何变换 • 图像的离散傅立叶变换 • 图像的离散余弦变换 • 图像的离散沃尔什变换 • 图像的K-L变换 • 图像的小波变换

图像的代数变换 • 代数运算包括算术运算和逻辑运算 • 算术运算： • 加法运算：C(x,y) = A(x,y) + B(x,y) • 减法运算：C(x,y) = A(x,y) - B(x,y) • 乘法运算：C(x,y) = A(x,y) * B(x,y) • 除法运算：C(x,y) = A(x,y) / B(x,y) • 逻辑运算： • 非运算：g(x,y) = 255 - f(x,y) • 异或运算：g(x,y) = f(x,y)  h(x,y) • 或运算：g(x,y) = f(x,y) v h(x,y) • 与运算：g(x,y) = f(x,y)  h(x,y)

加法运算 • 加法运算可以去除加性（Additive）随机噪声 • 加性随机噪声一般理解成背景噪声，比如闪电、雷击和大气中的电暴等等 • 对于原图像f(x,y),有一个噪音图像集 • { gi(x,y) } i =1,2,...M • 其中：gi(x,y) = f(x,y) + hi(x,y) • M个图像的均值定义为： • g(x,y) = 1/M (g0(x,y)+g1(x,y)+…+ gM(x,y)) • 当噪音hi(x,y) 为互不相关，且均值为0时，上述图像均值将降低噪音的影响

举例：加法运算 • 当M增大，即对图像相加次数增加时，去除加性（Additive）噪声的效果更加明显

加法运算 • 生成图像叠加效果 • 对于两个图像f(x,y)和h(x,y)的均值有： g(x,y) = f(x,y)/2 + h(x,y)/2会得到二次曝光的效果。 • 推广这个公式为：g(x,y) = αf(x,y) + βh(x,y)其中α+β= 1，我们可以得到各种图像合成的效果 • 也可以用于两张图片的衔接

举例：加法运算 ＋＝

减法运算 • 可以去除不需要的叠加性图案 • 设：背景图像b(x,y)，前景背景混合图像f(x,y)g(x,y) = f(x,y) – b(x,y) • g(x,y) 为去除了背景的图像 • 电视制作的蓝屏技术就基于此 g(x,y) f(x,y) 添加蓝色背景减去背景图像b(x,y)

减法运算 - = • 可以检测同一场景两幅图像之间的变化 • 设：时间1的图象为T1(x,y)，时间2的图象为T2(x,y) • g(x,y) = T2 (x,y) - T1(x,y)

乘法运算 • 用二值蒙板图像与原图像做乘法进行图像的局部显示：

非运算 255－ • 可以获得一个阴图象

非运算 • 获得一个子图像的补图像 255－

异或运算 • 0  1＝1 1  0＝1 0  0＝0 1  1＝0 • 可以获得相交子图象  =

或运算  = • 0 v 1＝1 1 v 0＝1 0 v 0＝0 1 v 1＝1 • 可以合并子图像

或运算  = • 0 v 1＝1 1 v 0＝1 0 v 0＝0 1 v 1＝1 • 模板运算：提取感兴趣的子图像

与运算  = • 0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 1 1＝1 • 求两个子图像的相交子图

与运算 • 0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 1 1＝1 • 模板运算：提取感兴趣的子图像  =

图像的几何变换 • 图像的几何变换主要包括： • 平移变换 • 旋转变换 • 镜像变换 • 水平镜像 • 垂直镜像 • 缩放变换 • 熟悉矩阵运算对于实现这些变换非常有帮助

图像平移变换 • 初始坐标为(x0,y0)的点经过平移(tx,ty)(以向右，向下为正方向)后，坐标变为(x1,y1)。这两点之间的关系是： • x1=x0+tx • y1=y0+ty • 使用矩阵的形式来表达如下：

图像平移变换 • 或许我们更加关心其逆变换： • 我们往往需要获取平移后的点(x1,y1)的颜色，而其颜色和平移前的点(x0,y0)相同 • 很显然，逆变换过程是向相反的方向平移： • 另一个需要考虑的问题是：平移之后要不要放大图像 or？？

图像旋转变换 • 图像旋转通常是指在平面内绕中心旋转一定角度

图像旋转变换 • 如何推导其旋转变换呢？ • x1=x0cosa+y0sina； • y1=-x0sina+y0cosa； • 用矩阵表示为：

图像旋转变换 • 但是请注意： • 我们旋转所在的坐标系和图像显示时对应的Windows屏幕坐标系是不一样的 • 这里xoy为旋转坐标系，x'o'y'为屏幕坐标系

图像旋转变换 • 实际上我们可以分为三步进行整个旋转变换： • 1.将坐标系x'o'y'变成xoy； • 2.将该点顺时针旋转a角； • 3.将坐标系xoy变回x'o'y' • 将上面三步变换进行合成得到三个矩阵的级联矩阵 • (x0,y0)和(x1,y1)都是x‘o’y‘坐标系中的点 • 使用wnew和hnew是因为图像放大了

图像镜像变换 • 镜像(mirror)分为： • 水平镜像 • 垂直镜像垂直镜像？水平镜像原图

图像镜像变换 • 但我们发现，经过镜像变换，图像的位置可能已经离开了屏幕范围，因此可能需要将镜像后的图像进行平移： • 水平镜像： • 垂直镜像：

图像缩放变换 • x方向缩放d1倍，y方向缩放d2倍，则： • x' = x*d1 • y ' = y*d2 • 用矩阵表示为： • 镜像变换是缩放的特例

图像频率域 正变换逆变换图像空间域图像空间域图像频域 • 处理起来 • 更有效 • 更方便 • 更快捷 • ……

图像的离散傅立叶变换 • 图像的几何变换属于空域变换 • 图像的离散傅立叶变换属于频域变换对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉

一维傅立叶变换 • 对函数f(t)进行傅立叶变换得到F(s) • 其逆变换，即将F(s)变换到f(t)为：

一维傅立叶变换 • f(t)的傅立叶变换F(s) 往往是虚数，可用复数形式表示为： • 定义幅值为： • 定义相位为：

一维傅立叶变换 相位幅值 • 用幅值和相位来表示傅立叶变换 • f(t)的能量谱：

离散傅立叶变换 • 正变换 • 逆变换：

二维傅立叶变换 • 二维信号，二维傅立叶变换定义为：

二维离散傅立叶变换 • 二维离散傅立叶变换定义为：

图像傅立叶变换 原图像幅度谱相位谱

图像傅立叶变换 • 幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多少 • 相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位置 • 通常我们只关心幅度谱 • 下面两个图对应的幅度谱是一样（这里只显示了其幅度谱，当然相位谱是不一样的）

图像傅立叶变换 • 从幅度谱中我们可以看出明亮线反映出原始图像的灰度级变化，这正是图像的轮廓边

图像傅立叶变换 • 从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也呈圆形分布

图像傅立叶变换 • 图像中的颗粒状对应的幅度谱呈环状，但即使只有一颗颗粒，其幅度谱的模式还是这样。

图像傅立叶变换 • 这些图像没有特定的结构，左上角到右下角有一条斜线，它可能是由帽子和头发之间的边线产生的 • 两个图像都存在一些小边界

图像傅立叶变换 • 图像发生旋转时，幅度谱也相应的进行了旋转

快速傅立叶变换 • 离散变换的计算量很大 • 涉及大量的复数乘法和加法 • 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）由Cooley和Tukey于1965年提出： • 将原始的N点序列依次分解为一系列短序列； • 求出这些短序列的离散傅立叶变换； • 组合出所需的变换值； • 加快离散傅立叶变换的速度 • 1D傅立叶变换计算复杂度： • 2D傅立叶变换计算复杂度： • 傅立叶变换受欢迎的原因正是FFT算法的开发

图像的离散余弦变换 • 傅立叶变换需要复数的乘法和加法运算，而复数运算比实数运算要费时得多 • 离散余弦变换是实值变换，它广泛应用于语音和图像的压缩

图像的离散余弦变换 空间域图像 DCT域图像 • DCT矩阵的左上角代表低频分量，右下角代表高频分量 • 由DCT域图像我们能够了解图像主要包含低频成份

图像的离散沃尔什变换 • 由于傅里叶变换和余弦变换的变换核由正弦、余弦函数组成，运算速度受影响，为此。我们在特定问题中往往引进不同的变换方法，要求运算简单且变换核矩阵产生方便。 • Walsh Transform中的变换矩阵简单（只有1和－1），占用存储空间少，产生容易，有快速算法，在大量数据需要实时处理的图像处理问题中，得到广泛应用

图像的K-L变换 • K-L变换也叫霍特林（Hotelling）变换，是一种基于图像统计特性的变换 • K-L变换的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零，消除了数据之间的相关性，从而在信息压缩方面起着重要作用。

K-L 变换的应用－人脸识别

图像的小波变换 • 由于傅立叶变换对瞬态或非平稳信号的局域特性无能为力，所以人们开始研究短时傅立叶变换、小波变换等方法，用于分析信号的局域时频特性 • 小波变换在图像压缩领域取得了很好的效果

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