確率･統計 Ⅰ

1. ここです！ 確率･統計Ⅰ • 確率論とは • 確率変数、確率分布 • 確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均 • 確率変数の平均（続き）、確率変数の分散 • 確率変数の共分散、チェビシェフの不等式 • ベルヌイ試行と二項分布 • 二項分布（続き）、幾何分布など • 二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布 • 正規分布とその性質 • i.i.d.の和と大数の法則 • 中心極限定理 • 統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係） • 統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定） 第10回 i.i.d.の和と大数の法則

2. i.i.d.の和と大数の法則 • i.i.d.の和 • 大数の法則

3. どんな分布でもよい （連続分布でもよい） i.i.d.とその和 互いに独立で、同じ分布をもつ確率変数の列を i.i.d.と呼ぶ。 X1, X2, …, Xn を i.i.d. とし、 X= X1 + X2 + … + Xnとおく。 ［ 各 Xi が確率 pで値1, 確率 q =1-p で値0をとるときの Xの分布が二項分布である。］

4. i.i.d.の和が二項分布になるのは、Xiの分布が Xi 0 1 という特別の場合。 このとき、 確率 q p 一致（結果的に） i.i.d.の和として見た二項分布の平均と分散 だから、和 X については…：

5. i.i.d.の和として見た二項分布の平均と分散

6. i.i.d.の和の平均と分散 一般には、 E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 とするとき、

7. X= X1 +…+ Xn E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 二項分布 q p X= X1 +…+ Xn 0 1 E(Xi) = p, V(Xi) =pq E(X)=np, V(X)=npq i.i.d.の和の平均と分散のまとめ E(X) = nμ V(X) = nσ2 特に

8. i.i.d.の和と大数の法則 • i.i.d.の和 • 大数の法則

9. n → ∞ 大数の法則 問題： n→∞のとき Xはどうなるか？ たとえば Xが二項分布の場合 平均 np → ∞（どんどん右へ） 分散 npq → ∞（広がっていく） 一般の場合も平均 nμ, 分散 nσ2だから同様に発散。 では nで割って X / nを考えたら？

10. X = X / n = (X1+…+Xn) / nとおくとき、 X / nの平均と分散 (ただし、X1, …, Xnはi.i.d.で、E(Xi)=μ, V(Xi)=σ2 )

11. X の分布が、μ= E(Xi) に“近づく” 大数の法則 n→∞のとき これは次のことを意味する： （「大数の法則」）

12. X = X/ n の意味は 「相対度数」 （確率 p の事象が起きた回数の割合） 大数の法則 ●特に Xが二項分布の場合 Xは成功度数だから だから、「大数の法則」は次のことを意味する： 一回の成功確率が pの試行を繰り返していくと、成功の相対度数が pに “近づく”

13. p=0.5 n=50の二項分布の相対度数 X のグラフ 大数の法則（例） P(X/n = r’)

14. p=0.5 n=200の二項分布の相対度数 X のグラフ 大数の法則（例） P(X/n = r’)

15. p=0.5 n=2000の二項分布の相対度数 X のグラフ 大数の法則（例） P(X/n = r’)

16. 正確な大数の法則 厳密な数学の定理としては、 大数の弱法則 (ベルヌーイの大数の法則) 大数の強法則 の２つがある。

17. X1, …, Xnを i.i.d. とし、 X= X1 + … + Xn , X = X/ n= (X1 + … + Xn) / nとおくと、 次の事実が成り立つ： 大数の弱法則 任意のε>0 に対して ここで μ=E(Xi) .

18. X1, …, Xnを i.i.d. とし、 X= X1 + … + Xn , X = X/ n= (X1 + … + Xn) / nとおくと、 次の事実が成り立つ： 大数の強法則 ここで μ=E(Xi) . また、V(Xi) は有限とする。

19. p=0.5 の二項分布の相対度数 X の n=102～104 における実験値 対数目盛り 103=1000 104=10000 大数の強法則（例）

20. p=0.5 の二項分布の相対度数 X の n=102～105 における実験値 対数目盛り 103=1000 104=10000 105=100000 大数の強法則（例）

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