Miksing i smelte

1. Miksing i smelte • Smelte renner i et rør • Uansett om det er laminær eller turbulent strømning er det en grenseflate der strømningshastigheten er nær 0 • Ved grenseflaten smelte-fast stoff vil hastigheten av smelten være meget lav • To mekanismer er operative: konveksjon og diffusjon

2. StørkningLokal økning av element B nær grenseflaten • En stav størkner i Z-retning. Størkningsfronten er for Z=0 • I den initielle fasen blir det bygget opp et lag med B-atomer som beveger seg i Z-retning • Størkningsfronten beveger seg mot negative Z-verdier • Smelten får en konsentrasjon CB foran fronten • Effektiv partisjonskoeffesient: ke = CSi/CB

3. Opphopning av atom B foran størkningsfront Cli Cl Z

4. Størkning Utredning om effektiv partisjonskoeffesient I • Anta at en stav størkner i Z-retning, og at størkningsfronten er ved Z=0. Smelten som strømmer mot observatøren, har en fluks av størrelse: -RCl der Cl er konsentrasjonen av tilsatselementet og R er hastigheten til størkningsfronten. Den totale fluksen som skyldes diffusjon og konvektiv strøm: 1) J= -RCl-D(dCl/dZ) • Kontinuitetsligningen gir: 2) -J/Z = Cl/t Dermed får man et uttrykk tilsvarende Fick’s annen lov: 3) D2Cl/Z2 + RCl/Z = Cl/t • Etter at den første gradienten har passert grenselaget, er det minimal endring i konsentrasjonsprofilen. Det vil si at endringen i smeltens konsentrasjon er minimal: Cl/t =0 • Eksperimenter har vist at dette er en god approksimasjon. Således er: 4) d2Cl/dZ2 + (R/D) dCl/dZ = 0

5. Utredning om effektiv partisjonskoeffesient II CB

6. Utredning om effektiv partisjonskoeffesient III • Integrasjon av denne ligning mellom Z=0 (størkningsfronten) og et punkt Z gir: ln (dCl/dZ) – ln (dCl/dZ)Z=0 = - ZR/D eller 5) • I det vi antar at konsentrasjonsgradienten er konstant ved størkningsfronten, kan ligningen integreres fra størkningsfronten til et punkt Z: 6) Cl0 – Cl(Z) = - (D/R) * (dCl/dZ)Z=0* [ekp (-ZR/D) – 1] • For verdien Z=  har konsentrasjonen av smelten fått en fast verdi Cl =CB Det gir: 6b) Cl0 – CB = - (D/R) * (dCl/dZ)Z=0* [ekp (-R/D) – 1]

7. Utredning om effektiv partisjonskoeffesient IV • Nå er fluksen som går inn i strøkningsfronten lik den som går ut. Den som går inn er: R*Cl0 • Den som går ut er summen av strømmen som går inn i fast fase pluss diffusjon inn i smelten. (Vi neglisjerer diffusjon i fast fase): RCs0 – D (dCl/dZ)Z=0 • På grenseflaten er konsentrasjonen av fast stoff gitt ved: 7) Cs0 = k0 * Cl0 • Det gir for fluksen på størkningsfronten ved Z=0: R*Cl0 – R*Cs0 + D (dCl/dZ)Z=0 = 0 eller R* Cl0 (1-k0) – D (dCl/dZ)Z=0 = 0 • Ligningen kan så omformes til: 8) -(D/R)* (dCl/dZ)Z=0 = Cl0 (1-k0)

8. Utredning om effektiv partisjonskoeffesient IV • Dermed kan ligning 6b omformes til: 6c) Cl0 – CB = - Cl0 (1-k0) * [ekp (-R/D) – 1] • Således er sammenhengen mellom de to konsentrasjonene i smelten: 9) CB = Cl0 * ( 1 + (1-k0) * [ekp (-R/D) – 1]) eller 9b) CB = Cl0 * (k0+ (1-k0) * ekp (-R/D) ) • Nå er den effektive partisjonskoeffesienten definert ved: • 10) ke = Cs0 /CB = k0 * Cl0/CB • Ved innsetning av ligning 9b i ligning 10, blir den effektive partisjonskoeffesient: • 11) ke = k0 / [k0+ (1-k0) * ekp (-R/D]

9. Utredning om effektiv partisjonskoeffesient V Ingen konsentras- jons gradient

10. Den effektive partisjonskoeffesient VI • Når størkningsfronten beveger seg meget langsomt, er R liten: R/D << 1 Da vil ke≈ k0, og det er tilnærmet komplett miksing i smelten foran fronten For større verdier av R vil det bygge seg opp diffusjonsprofil på størkningsfronten. La R/D være slik at ke≈ 2 k0.. Da vil massebalansen bli tilsvarende komplett miksing untatt at partisjonskoeffesienten = ke. Således om vi antar at den totale mengden av B-atomer i grenseområde er konstant, er

11. StørkningDen effektive partisjonskoeffesient VII

12. Ulike typer av størkning ke=1 ke=k0 c) 1>ke>k0

13. Ulike størkninger • Ved hurtig størkning er R stor og ke≈1 • Da kan man få støpt ut et materiale med omtrent konstant konsentrasjon: C0 • I praksis viser det seg vanskelig å få en flat størkningsfront med mindre legeringen inneholder mindre enn ca 1 % B-atomer. • Ved sonerensing får man følgende konsentrasjonsprofil om rensingen foregår i en sone som er l bred og har en effektiv partisjonskoeffesient ke: (9.30)

14. Formen til størkningsfronten • En stav størkner (mot høyre i Z-retning). • Smelten er underkjølt: dS/dZ >0 • Da kan det bli dannet dendritter

15. Formen til størkningsfronten En tupp på fronten beveger seg med en hastighet V: T ved tuppen er nær størknings- temp. Tf  Vtip>Vfront Ustabil front; vekst av dendritter

16. Størkning i legering A-B Z Størkningstemperaturen foran fronten stiger fordi konsentrasjonen av B avtar Siden varme trekkes ut gjennom fast stoff, øker temperaturen i Z-retning Smelten er underkjølt i det skraverte område! Temperaturgradienten i smelten: Gi (dTf/dZ)i

17. Størkning i legering A-B • Hvis Gl (dTf/dZ)i, er det ingen superkjøling, og fronten kan bevege seg som en plan front • For systemet A-B er liquiduslinjen: Tf = TA + m*Cl (m<0 for eutektiske systemer) (TA=smeltepunktet til A) Den kritiske gradienten ved størkningsfronten er når Gl = (dTf/dZ)i = m*(dCl/dZ) i henhold til fasediagrammet for A-B Det er vist tidligere for størkningsfronten at: • -(D/R)* (dCl/dZ)Z=0 = Cli (1-k0) Ligningene gir: GCr = - (mR/D)* Cli * (1-k0)

18. Størkning i legering A-B • Siden partisjonskoeffesienten er lik: k0 = Cs /Cl, er: • En forutsetning var at egenvekten til smelten var lik egenvekten til krystallene (fast stoff) • Den generelle utledningen gir: • Der  = egenvekt og Xsi er fraksjonen av atom B i fast fase

19. Stabilitet til plane størkningsfronter • Hva skjer om du har en tupp i fronten? Vil den vokse? • Hastigheten vil være proposjonal med den kinetiske underkjølingen: • V Tf (tupp) – Ti (tupp) • To effekter: (1) endring i fri energi pga. overflatespenninger (2) sideveis diffusjon av B-atomer

20. Effekt av krumning til dendritt-tupper 2r • Endring i overflateenergi: G ≈ * Vm/r Endring i tuppens Tf(tupp): - G / Sf Hvis dendritt-tuppen lengre og smalere dvs. radius r reduseres, vil: Tf synke og V Tf (tupp) – Ti (tupp) bli mindre Pertubasjonen har en tendens til bli borte og en planar front blir mer stabil

21. Effekt av sideveis diffusjon • Dess tynnere og lavere r-verdi en dendritt-tupp er, dess mer av B-atomer kan diffundere til siden istedenfor foran tuppen • Tuppen vil derfor få en lavere konsentrasjon av B og • Tf vil øke V Tf (tupp) – Ti (tupp) vil øke Sideveis diffusjon minker stabilteten til en plan front

22. Stabilitet til strøkningsfronter • Stabilitetsanalyser av fronter må ta hensyn til krumning til dendritter og sideveis diffusjon (m*C) • Sekerka gjorde slike analyser i 1963-1968 og fant at en planar front var stabil når: (9.35) der S er tilnærmet en konstant avhengig av overflateenergien  , s og l er termisk ledningsevne til henholdsvis fast stoff og smelte s / s er tilnærmet 2 for metaller og 0,5 for halvledere S ≈ 1 for legeringer som inneholder mer en noen få prosent av B. Ligning 9.35 har vist seg gyldig for ikke-metalliske systemer. Det har vært vanskelig å vise dets komplette gyldighet for metaller

23. Størkning av legeringer Legeringene deles opp i tre typer: (1) C < Cα (2) Cα<C<CE og C≈CE Masse eksperimenter har blitt utført der Gl, R og Cs har blitt systematisk variert.

24. Lavt legerte legeringer; C0<Cα Typer av størkningsfronter: • G  GCr Planar størkningsfront • G noe mindre enn GCr Cellulær størkningsfront • G << GCr Dendrittisk grenseflate

25. Medium legerte legeringer; Cα< C0<CE • Legeringene får en struktur som er en blanding at to faser α og  • Mange legeringer vil få en eutektisklignende struktur • Studier har vist at cellulær størkning forekommer ikke i alle legeringer. Fronten bryter sammen til dendrittisk vekst når hastigheten blir for lav for planar front • Kritisk gradient tilfredsstiller ikke alltid nevnte ligninger for planar front

26. Medium legerte legeringer; Cα< C0<CE • Anvender normale verdier for størkning: D ≈ 10-5 cm2/sek m < -1° C/sek R> 2,5 x 10-3 cm/sek Av tabellen fremgår det at for høye konsentrasjoner, må smelten størkne med en eventyrlig høy hastighet for å få planar størkning

27. Størkning • Planar størkning oppnås kun ved lave størkningshastigheter og for lave konsentrasjoner under 1 Wt% • Gradienter i støp er vanligvis mindre enn 3 – 5 °C/cm I kommersiell praksis størkner legeringene med en dendrittisk størkningsfront