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Self-Testing/Correcting Protocols

Self-Testing/Correcting Protocols. Carsten Rebbien 225868. Inhalt. Einführung Begriffsklärung / Definitionen Byzantine Agreement / Crusader Agreement Funktionen Self-Tester für Agreement Funktion Self-Corrector für Agreement Funktion Zusammenfassung. Einführung. Testen von Programmen:

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Self-Testing/Correcting Protocols

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Presentation Transcript

  1. Self-Testing/Correcting Protocols Carsten Rebbien 225868

  2. Inhalt • Einführung • Begriffsklärung / Definitionen • Byzantine Agreement / Crusader Agreement Funktionen • Self-Tester für Agreement Funktion • Self-Corrector für Agreement Funktion • Zusammenfassung

  3. Einführung • Testen von Programmen: • Ergebnisse müssen bekannt sein • Wie bekannte Ergebnisse ermitteln? • „Von Hand“ prüfen • Programm zur Bestimmung der Ergebnisse • Programmchecker • Läuft parallel zum eigentlichen Programm • Prüft nur Korrektheit einzelner Eingaben

  4. Einführung • Selbsttestender Programmchecker (Self-Tester) • Ruft zu testendes Programm P mit Eingabe x auf • Bestimmt Wahrscheinlichkeit mit der f(x)=P(x) gilt • Selbstkorrigierendes Programm (Self-Corrector) • Korrigiert fehlerhaftes Programm, falls die vom Self-Tester errechnete Wahrscheinlichkeit niedrig genug ist

  5. Begriffe / Definitionen • Verteilte Funktion: Φ : Vn → Rn,V=R • mit Bezug auf Umgebung: f : Wn → Sn • wobei W=V (S=R) plus Charakteristika zur Etikettierung der Prozessoren • Protokoll: Implementierung von f • vollständig verbundenes Netzwerk von n Prozessoren • pro Prozessor ein Programm

  6. Begriffe / Definitionen • Orakelprotokoll P : • Protokoll P ruft Protokoll Pauf (Schreibweise: P P) • Dv: W‘keitsverteilung nach der die Eigaben vi, 1≤i≤n, bestimmt werden • Ε : Umgebung in der P läuft • P[i]: Ausgabe von Prozessor i • error(f,P,Dv ,Ε):W‘keit, dass f ¹ P • β: Zufriedenheitsparameter

  7. Begriffe / Definitionen • Self-Testing Protokoll T : • If error(f,P,Dv ,Ε)≤ε1 then Pr("i:TP[i]="PASS") ≥ 1-β • If error(f,P,Dv ,Ε)≥ε2 then Pr("i:TP[i]="FAIL") ≥ 1-β • 0 ≤ ε1 < ε2 ≤ 1 • Self-Correcting Protokoll C: • If error(f,P,Dv ,Ε)≤εthen Pr("i: CP[i]=f[i]) ≥ 1-β • 0 ≤ ε < 1

  8. Begriffe / Definitionen • „Klein-o“-Bedingung: • Berechnung erfolgt in mehreren Runden Þ Laufzeit = Anzahl der Runden • Laufzeit von TP und CP muss o(R) betragen, wenn Aufrufe von P als o(1) aufgefasst werden, R= minimale worst-case Laufzeit von P

  9. Agreement Funktion • Byzantine Agreement (BA): • Quelle s sendet Startwert vsÎ V • nach Termination geben alle korrekten Prozessoren diesen Wert wieder aus • V: Eingabemenge • B = {faulty, nonfaulty} • T = {true, false} • BA: (V ´ B)n → (V ´ T)n

  10. Agreement Funktion • Gültigkeitsbedingung: • "i bi = nonfaulty • Agreement Bedingung: • Crusader Agreement (CA): • genau wie BA • Agreement Bedingung: • falls s nicht korrekt ist, entscheiden sich nur korrekte Prozessoren, die nicht ausdrücklich wissen, dass s nicht korrekt ist, für den gleichen Wert

  11. Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für Prozessor i

  12. Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für Prozessor i

  13. Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für Prozessor i • Yl[i] :0/1-Zufallsvar. (Prozessoriwird im lten Aufruf mit fail charakterisiert) • Sei μi=E[Yl[i]], • Korollar 1: • Sei μ' ≤ μi für alle i, und sei N=1/μ'×16ln(2n/β). Dann Pr($i: Y[i] ≤ μ'/2) ≤ β • Korollar 2: • Sei μ"≥ μi für alle i, und sei N=1/μ"×4ln(2n/β). Dann Pr($i: Y[i] ≥ 2μ") ≤ β

  14. Self-Tester für Agreement Funktion (BA), für Prozessor i • Theorem 1: Der Agreement_Tester(AT) ist ein (ε/8,ε)-Self-Tester. • Beweis: • Erwartete Ausgabe: E[Y[i]]=μi=δ×error, ½<δ<1 • (error≥ε) Sei μ'= ε/2 und N=1/ε×32ln(2n/β). Laut Kor.1 ist Pr($i:Y[i]≤ε/4)≤β. Jedoch, im AT gibt Prozessor i "FAIL" aus falls Y[i]>ε/4. Also, falls error≥ε gibt der AT mit einer W‘keit von mind. 1- β "FAIL" für jeden Prozessor aus. • (error≤ε/8) Sei μ"= ε/8 und N=1/ε×32ln(2n/β). Laut Kor.2 ist Pr($i:Y[i]≥ε/4)≤β. Jedoch, falls Y[i]<ε/4 gibt Prozessor i "PASS" aus. Also, falls error≤ε/8 gibt der AT mit einer W‘keit von mind. 1- β "PASS" für jeden Prozessor aus.

  15. Self-Corrector für Agreement Funktion (BA), für Prozessor i

  16. Self-Corrector für Agreement Funktion (BA) • Proposition: Sei a ≥ ¾ und seien X1,X2,...,Xn unabhängig gleichverteilte Zufallsvariablen mit Werten 0 und 1, so dass Pr[Xi=1]≥a, i=1,2,...,N. Dann • Beweis: Chernoff-Schranken

  17. Self-Corrector für Agreement Funktion (BA) • Theorem 2: Der Agreement_Corrector(AC) ist ein ε-Self-Corrector für BA. • Beweis:Angenommen, für alle i ist bei einem einzigen Durchlauf mit einer W‘keit von höchstens ε die Ausgabe des Prozessors i P[i]¹r (P[i]¹x-r). Dann geben beide Aufrufe von P mit einer W‘keit von mind. 1-2ε ein korrektes Ergebnis zurück. Mit a=1-2ε und n Durchläufen folgt die Aussage direkt aus der Proposition.

  18. Zusammenfassung • Programmchecker • Byzantine Agreement Funktion • Selbsttestende/-korrigierende Protokolle • Self-Tester für BA • Self-Corrector für BA

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