§7 ． 8 空间直线及其方程

1. §7．8 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量、 直线的对称式方程、 直线的参数方程 三、两直线的夹角 两直线的夹角及夹角余弦、 两直线平行与垂直的条件 四、直线与平面的夹角 直线与平面的夹角、 夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件 五、杂例 平面束

2. z  1 L  2 O y x 一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面1和2的交线． 如果两个相交平面1和2的方程分别为 A 1xB 1yC 1zD 10和A 2xB 2yC 2zD 20， 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组．因此， 直线L可以用上述方程组来表示． 上述方程组叫做空间直线的一般方程．

3. z O y x 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量． s

4. z M0 O y x 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量． 确定直线的条件： s 当直线L上一点M0(x0，y0，x0) s{m，n，p} 和它的一方向向量 为已知时，直线L的位置就完全确定了．

5. z M0 O y x 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量． 确定直线的条件： s 当直线L上一点M0(x0，y0，x0) s{m，n，p} 和它的一方向向量 为已知时，直线L的位置就完全确定了．

6. 那么向量 z {xx 0，yy 0，zz 0}， M M0 O y x 直线的对称式方程： 设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s{m, n, p} 为已知， 再设点M (x, y, z) 为直线L上的任一点， 与L的方向向量 s平行． 所以两向量的对应坐标成比例， 由于 s{m，n，p}， s 从而有 此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．

7. 方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向 数，而向量的方向余弦叫做该直线的方向余弦． 直线的参数方程： 设  t， 那么 这个方程组就是直线的参数方程．

8. 例1用对称式方程及参数方程表示直线 解 令x1，有 解此方程组，得y0，z2， 于是得直线上的一点(1，0，2)． 平面x + y + z + 1=0和2x-y + 3z + 4= 0的法线向量分别为 n1{1，1，}，n2{2，1，3} 所求直线的方向向量可取为 sn1 n2 4ij3k．

9. 例1用对称式方程及参数方程表示直线 解 令x1，有 解此方程组，得y0，z2， 于是得直线上的一点(1，0，2)． 平面x + y + z + 1=0和2x-y + 3z + 4= 0的法线向量分别为 n1{1，1，}，n2{2，1，3} 所求直线的方向向量可取为 sn1 n2 4ij3k． 所给直线的对称式方程为 令 得所给直线的参数方程为

10. 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角． 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1{m1，n1，p1}和n2{m2，n2，p2}， 那么L1和L2的夹角j 就是(s1,^s2)和(s1,^s2)p (s1,^s2)两者中的锐 角，因此cos j |cos(s1,^s2)|． 直线L 1和L 2的夹角j可由 cos j 来确定．

11. 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线L 1、L 2互相垂直相当于 m 1m 2n 1n 2p 1p 20； 两直线L 1、L 2互相平行或重合相当于

12. 例2 解 两直线的方向向量分别为 s1{1，4，1}和s2{2，2，1}． 设两直线的夹角为j ，则 cos j

13. 角j(0j< )称为直线与平面的夹角， 规定直线与平面的夹角为 ． 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时， 直线和它在平面上的投影直线的夹 当直线与平面垂直时， )j

14. 直线与平面的夹角为j，那么j| (s,^n)|， 设直线的方向向量和平面的法线向量分别为 s{m，n，p}，n{A，B，C}， 因此 sin j | cos(s,^n) |． 按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 sin j

15. 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线 向量平行，所以，直线与平面垂直相当于 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向 量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平 面上相当于 AmBnCp0．

16. 例3求过点(1，2，4)且与平面2x3yz40垂直的直线的例3求过点(1，2，4)且与平面2x3yz40垂直的直线的 方程． 解 平面的法线向量{2，3，1}可以作为所求直线的方向向 由此可得所求直线的方程为 量．

17. 五、杂例 例4求与两平面 x4z3 和 2xy5z1 的交线平行且过点 (3，2，5)的直线的方程． 解 平面x4z3和2xy5z1的法线向量分别为 n1{1，0，4}，n2{2，1，5}， 两平面交线的方向向量为 sn1 n2 (4i3jk)， 此向量可作为所求直线的方向向， 于是所求直线的方程为

18. 例5 解 所给直线的参数方程为 x2t，y3t，z42t， 代入平面方程中，得 2(2t)(3t)(42t)60． 解上列方程，得t1． 将t1代入直线的参数方程，得所求交 点的坐标为 x1，y2，z2．

19. L P M 例6求过点(2，1，3)且与直线 垂直相交的直线的方程．

20. 将参数方程代入平面方程，得 ． 将 代入参数方程， 例6求过点(2，1，3)且与直线 垂直相交的直线的方程． 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为 3(x2)2(y1)(z3)0． 再求所作平面与已知直线的交点， 令 =t x13t，y12t，zt． 得参数方程 得

21. 例6求过点(2，1，3)且与直线 垂直相交的直线的方程． 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为 3(x2)2(y1)(z3)0． 再求所作平面与已知直线的交点， 所求直线的方程为

22. 平面束： 设直线L的一般方程为 考虑三元一次方程： A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0， 即 A 1lA 2)x(B 1lB 2)y(C 1lC 1)zD 1lD 20， 对于任何一个l值，上述方程都表示一个平面，而且这些平面都 也就是说，这个方程表示通过直线L的一族平面． 通过直线L． 另一方面，任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平 面族中． 通过定直线的所有平面的全体称为平面束． 方程 A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0就是通过 直线L的平面束方程．

23. A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0． L

24. L 垂直于 的平面 投影直线  例7求直线 在平面xyz0上的投影直线 的方程．

25. 例7求直线 在平面xyz0上的投影直线 的方程． 解 设过已知直线的平面束的方程为 (xyz1)l(xyz1)0， 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0， 其中l为待定的常数．这平面与平面xyz0垂直的条件是 (1l)·1(1l)·1(1l)·10， 即l1． 将l1代入平面束方程得投影平面的方程为 2y2z20， 即 yz10． 所以投影直线的方程为