第二章力系的基本運算 內容大綱

1. 第二章力系的基本運算內容大綱 2.1 概論 2.2 向量類別 2.3 力 2.4 共點力系 2.5 力對點的力矩 2.6 力對軸的力矩 2.7 力偶

2. 概論

3. 概述 • 由於力為向量，故力的運算必須以向量的方式處理。 • 本章將先介紹向量類別，再介紹力矩及力系合力的觀念。 • 本章將利用力的分解與笛卡爾向量式的方法來解決有關質點平衡 (equilibrium of a particle)的問題。由簡入繁，首先探討共點共面力系的平衡問題，再討論三維共點力系的平衡問題。

4. 向量類別 • 向量分類： • 固定向量 ：作用點固定的向量 • 滑動向量 ：作用線固定的向量 • 自由向量 ：作用點與作用線均不固定的向量

5. 力(force) • 力是物體間的交互作用 • 會造成物體的變形 • 對物體的運動造成影響 • 力之種類 • 接觸力 • 分佈力 • 力之三要素 • 大小 • 方向 • 作用點

6. (a) (b) Example • Figure (a) shows the man pulls the cord with a force of 350 N. Represent this force, that acts on point A as a Cartesian vector and determine its direction.

7. ANSWER • Figure (b) shows the forceF. The direction of this vector,u is determined from the position vector,rwhich extends from A to B. • The coordinates of A (0, 0, 7.5m) and B (3m, -2m,1.5m) are shown in Figure (a). • The position vector can be formed by subtracting the corresponding x,y and z coordinates of A from those of B.

8. 靜平衡 • 若一質點保持靜止不動，或維持等速直線運動，則此質點處於平衡狀態。通常物體保持靜止不動時，我們稱之為靜平衡。若欲維持平衡狀態，則必須符合牛頓第一運動定律，即作用於質點上的合力為零，此條件可以用數學式表示為 F = 0 • 其中 F 為作用在質點上所有力量的向量和 • 式 F = 0 不僅是平衡的必要條件，也是平衡的充份條件，這可從牛頓的第二運動定律F = ma 得知。 • 若力系滿足式 F = 0，則可得 ma = 0，此質點的加速度 a = 0，所以質點會維持等速運動或靜止不動。

9. 共點力系

10. 共點力系 • 質點平衡必須滿足 F = 0 • 若將質點上的作用力都分解成 i、j、k 方向上的分量如上圖，則上式可寫成 Fx i + Fy j + Fz k = 0 • 若滿足式 F = 0 時，則也必須滿足下列三個純量方程式 Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0

11. 力對點的力矩

12. (a) (b) 定義 • 若 F 與 O 點位於一陰影面，如下圖(a)，則繞 O 點或通過 O 點且與平面垂直的軸，其力矩MO本質上為一向量，因其具有大小與方向。 • 力矩大小： 力矩MO的大小可表示成 MO = Fd • 其中 d 為力臂，或力的作用線與支點 O 間的垂直距離，而力矩的單位為力與距離之積，即 N  m或lb  ft。 • 力矩方向 ： MO的方向依右手定則而定，將右手指依力將造成之旋轉方向彎曲，如上圖(a)，則右手大姆指的指向即為力矩的作用線之指向，且與 F 及 d 所在平面垂直。力矩 MO可視為滑動向量，可在其作用線上任意移動。 

13. (a) (b) • 三維空間中 MO 將以一曲線附一箭頭表示，以便與施力向量區分，如圖(a)。 • 力學中許多問題皆為共面力系，故可視為二維平面問題。將圖(a)以平面視之可得圖(b)。 • 此處將力矩 MO以逆時針旋轉的曲線表示，代表 F 的作用，箭頭指出旋轉的方向。應用右手定則，彎曲右手手指，則姆指將指向紙外。值得留意，此彎曲或旋轉方向通常可藉力繞 O 點之軌道表示，如圖(b)所示。 • 二維問題中經常須求取力對一點的力矩。力對軸所產生的力矩必與 F 及 d 所在平面垂直，且與此平面交於 O 點，如圖(a)。

14. 共平面力系之力矩合成 • 若有一系統數力在x-y平面上，則各施力對O 點所產生之力矩，其方向恆指向z 軸，如下圖。由於各個力矩向量皆共線，則系統之力矩總合可簡單的利用純量加法來運算，即 MRO = Fd • 上式左側逆時針曲線代表正負之規定，當力矩的方向指向正z軸，其值為正；反之，當力矩指向負z軸，其值為負。

15. (a) (b) 向量法 • 力 F 對 O 點的力矩，或對穿越 O 點的一軸且垂直於 O 及 F 所在平面的力矩，如下圖(a)，可用向量的向量積表示 MO = r  F • 上式 r 表示由 O點至 F 作用線上的任一點A 的位置向量。

16. (a) (b) 力矩大小 • 由 r  F 的定義知其之夾角取決於 r與F尾端交角，故 r 可視為一滑動向量，即可以正確的決定，如圖(b)。其力臂d = r sin，故由式C =A  B = (AB sin) uC MO = rF sin = F(r sin) = Fd • 與式 MO = Fd 相同。

17. (a) (b) 力矩方向 • 力矩的方向可利用向量積的右手定則決定。將位置向量平移至虛線位置，彎曲右手手指，由 r 旋向 F，右手姆指的指向即 MO的方向，如圖(b)，手指彎曲的方向即表示力對物體造成的旋轉方向。由於向量的向量積不具有交換律，故式 MO = r  F中 r 與 F 的順序不可更換。

18. (a) (b) Example • For each case illustrated in Figure (a) to Figure (e), determine the moment of the force about point O.

19. (c) (d) 4 (e)

20. (a) Example • A 200 N force acts on the bracket as shown in Figure (a). Determine the moment of the force about point A.

21. (b) Answer I: • The moment arm d can be found by using the trigonometry as shown in Figure (b). From the right triangle BCD, we can see that • CD = d = 100 cos 45° = 70.71 mm = 0.07071m • Therefore, • MA = Fd = 200N (0.07071 m) = 14.1 N.m  • By applying the right hand rule,MA is directed in the +k direction since the force tends to rotate counter-clockwise about point A. Hence, representing the moments in Cartesian vector form, we have • MA = { 14.1 k} N.m

22. (c) Answer II: • According to Varigon’s theorem, the 200N force can be resolved into its x and y components as shown in Figure (c). • In accordance with this theory, the moments of F computed about point A is equal to the sum of moments produced by the two force components. By assuming that the counter-clockwise rotation as positive, i.e in the +k direction, we can apply equation • MA = Fdand we will get •  + MA = ( 200 sin 45°N )( 0.20 m ) – ( 200 cos 45°N )( 0.10 m ) • = 14.1 N.m  • Therefore, • MA = { 14.1 k} N.m

23. 力的可傳遞性 • 考慮如圖所示，A 點作用力 F對 O 點之力矩為 MO = rA F • 然而，位置向量 r 可由 O 點指向 F 力作用線上任意點。因此，F 力可作用在 B 或 C 點且對 O 點可有相同力矩，即 MO = rB F = rC F • 故 F 可視為一滑動向量，且可作用在其作用線上任何點而對 O 點均有相同力矩，此即為 F 力之可傳遞性 (transmissibility)。

24. 直角分量法 • 若將 r 及 F 表示成直角分量，如下圖，則從式 MO = r  F 可得 • 其中 rx、ry、rz為由 O至力量作用線上任一點的位置向量在 x、y、z 的分量；Fx、Fy、Fz為力量在x、y、z方向的直角分量。

25. (a) (b) • 由圖(a)可得上式三個分量的物理意義。如 MO的 i 分量由 Fz及Fy對 x 軸的力矩，力作用於 D、E 點上，故對 A 點得 ryFz，且由右手定則知其為 i 的正向，同理 Fy產生 rzFy(i)，而 Fx並不會對 x 軸產生力矩，因其與 x 軸平行。

26. 力系統的力矩合成 • 一系統的數力對O點的力矩合成，可利用上式各別計算，再利向量的基本加法求得最後結果。此結果可寫成 MRO = (r  F)

27. 力矩原理 • 說明力對一點的力矩等於此力各分量對此點的力矩和。 • 若 F 可寫成 F = F1 + F2，其中 F1、F2為 F 之分量，由下圖得 MO = r  F1 + r  F2 = r  ( F1 + F2 ) = r  F

28. Varignon’s Theorem • The moment about a give point O of the resultant of several concurrent forces is equal to the sum of the moments of the various moments about the same point O. • Varigon’s Theorem makes it possible to replace the direct determination of the moment of a force F by the moments of two or more component forces of F.

29. The moment of F about O, Rectangular Components of the Moment of a Force

30. Rectangular Components of the Moment of a Force The moment of F about B,

31. 力對軸的力矩

32. (a) (b) (c) 力對點或軸的力矩 • 一力對一點或一軸的力矩將造成物體繞此點或軸旋轉的傾向。 • 如水平力 Fx與扳手的握把垂直，並與 O 點距離 dy，由下圖(a)觀察知此力欲使圓管繞 z 軸產生旋轉，故此力造成對 z 軸的力矩 (MO)z。 • 當力量愈大，或距離 dy愈長時，其效果愈顯著。由 Fx所造成旋轉的傾向，有時稱為扭力，但通常稱為力矩 (MO)z。z 軸與包含 Fx及 dy之陰影面 (x-y面) 相垂直，而此面與z軸交於 O 點。

33. (a) (b) (c) • 若一力Fz施於扳手如下圖(b)，此力將無法使圓管繞 z 軸旋轉，而有欲使之繞 x 軸旋轉，雖然此刻無法實際使圓管旋轉，卻有旋轉之傾向 (MO)x，如前述力與 dy所在之陰影面必與力矩旋轉軸成垂直。又若施力 Fy如下圖(c)，無法造成旋轉的傾向，因此力通過 O 點，故不可能造成旋轉。

34. 力對軸的力矩 • 之前介紹力對一點的力矩恆與力及力臂所在的平面垂直。某些問題必須求得此力矩在一特定軸的分量，而此軸通過某定點。欲解答這問題可分為純量法及向量法兩種方法。

35. (a) (b) 純量法1 • 利用一個例題予以說明，如下圖(a)，彎管位於 x-y 平面，受垂直向下之 F = 20N力施於 A 處。此力對 O 點力矩 MO = (20N) (0.5m) = 10 Nm，方向由右手定則決定。

36. (a) (b) 純量法2 • 此力矩欲使彎管繞 Ob 軸旋轉，現在欲決定對 y 軸的分量 My，由下圖(a)，以使彎管繞 y 軸旋轉，由圖知 My = (3/5) (10Nm) = 6 Nm，並依向量的分解可得知其方向。依上述方式需先求對 O 點之力矩後再求分量兩步驟，但是亦可直接求解。如欲直接求解，需先知 F 與 y 軸的距離，由下圖(a)知距離為 0.3m，故對 y 軸的力矩為 My = 0.3 (20N) = 6 Nm，方向則依右手定則決定。

37. (a) (b) 向量法 • 上述範例方可用向量法求解，首先求取力對O點的力矩 MO = rA F = (0.3i + 0.4j)  (20k) = {8i + 6j} Nm，如圖(b)，利用投影的觀念，其單位向量 u = j，故 My = MO u= (8i + 6j)  j = 6 Nm。

38. Moments • Recall that when the moment of a force about a point is calculated, the moment and its axis are always perpendicular to the plan containing the moment and moment arm

39. For example: • For this case, the moment due to the 20N force about point O, is equal to:

40. Example Cont’d • The component of this moment acting about the y-axis is given by:

41. Solving directly… • This problem could have been solved directly by noting that the perpendicular distance from the line of action of the F to the y axis is equal 0.3m, hence

42. 利用向量分析法求力對軸的力矩之優點，乃為不需求取力臂的長度。故先求力對定點O的力矩再求定軸的分量之兩過程將再詳細的介紹。利用向量分析法求力對軸的力矩之優點，乃為不需求取力臂的長度。故先求力對定點O的力矩再求定軸的分量之兩過程將再詳細的介紹。

43. 圖中受 A 點的作用力 F，欲使物體繞 aa‘ 軸旋轉。此旋轉的傾向是由 Ma在 aa’ 軸的分量。 • 欲求 Ma須先求取 F 對轉軸上任一點 O 的力矩，依 MO = r  F，其中r由 O 指向 A 之位置向量。 • 由於 MO之方向沿 bb'，而 bb' 軸與r和F所在平面垂直，MO在 bb' 的分量可用Ma表示。其大小為 Ma = MOcos = MO ua，其中 ua為 aa' 軸的單位向量。合併上述兩步驟得 Ma= (r  F)  ua，且向量的純量積適用交換律，故 Ma = ua (r F)

44. Ma = ua (r F) 上式利用三向量的基本乘法可寫成 其中： • uax、uay、uaz為aa‘ 軸方向單位向量之直角分量 • rx、ry、rz為由aa‘ 軸上任一點O至力的作用線上任一點的位置向量之直角分量 • Fx、Fy、Fz為力的直角分量

45. 力偶

46. 力偶之定義（ Couples ） • 所謂力偶即兩平行力具有相同的大小，相反的方向，且兩者相距d，如下圖。由於兩力的合力為零，故力偶對物體的影響僅為旋轉。例如，當車輪轉向時，作用在方向盤上的力偶。

47. 力偶矩(Moment of a couple) • 由力偶所造成的力矩稱為力偶矩為兩力所造成力矩之和，對空間任一點 O，考慮兩向量 rA與 rB由O 點至 –F 與 F 的A、B點，對O點的力矩為 又由三角形法則知 rA + r = rB或 r = rB – rA • 此結果顯示偶矩為自由向量，因 M 僅與兩力間的位置向量有關，而與O 點的 rA、rB無關，此觀念亦與過去所介紹力與定點的力矩不同。 M = rA (–F) + rB F = (rB – rA) F M = rF

48. 純量法 • 如圖所示，力偶矩的大小為 M = Fd • 其中 F 為力的大小，d 為力與力之間的垂直距離，力偶矩的方向則依右手定則中當手指朝旋轉方向彎曲，而大姆指之指向即為力偶矩之方向，且力矩必與二力新構成平面垂直。

49. A 向量法 • 力偶矩方可表示為向量積，應用下式： • 上式的應用很簡單，僅須將一力對另一力上的某一點取力矩即可，如圖中對A點的力矩 –F 之值為零，而 F 的力矩即為上式，但須注意 r 與 F 作向量積。 M = rF

50. (a) Example • Determine the moment of a couple acting on the member shown in Figure (a).