ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Учитель Жданова О. А. МКОУ СОШ №1 г.Лиски Воронежской области.

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.Учитель Жданова О. А.МКОУ СОШ №1 г.ЛискиВоронежской области. 10 класс.

2. Устный счет 1) Вычислите: arcsin(-1/2) ; arсcos(-1/2 ) ; arctg(-1) ; arcctg(-1/√3) ( сформулировать определения) 2) Решите уравнения : sinх = 0 ; tgх = 2; cosх = 1; sinх =1,5 3)Выясните будет ли уравнение иметь корень а) 2 sin 3х +4 sin = 7 б) 2 cos 3х+ 4 sin = -8 4) Найдите ошибку: а) sinх =1 = 0 sinх =-1 х = 3/2π +πn ,nЄ Z . б) 2 cosх-1=0 2 cosх=1 х =π /3 +2 πn , nЄ Z Поясните, где допущена ошибка.

3. Тест №1 • Решите уравнения: • sin x =-1⁄2 sin x =1⁄2 • cos3x =√3⁄2 cos3x =-√3⁄2 • sin(x-π⁄3) =-1 sin(x-π⁄3) =1

4. Варианты ответов 1.1)(-1)ⁿπ/6+πn; ,nЄz 3. 1)-5/6π+2π n 2)(-1)ⁿ π/6+2πn; ,nЄz 2)-π/6+2 π n 3) (-1)ⁿ⁺¹π/6+πn; ,nЄz 3) -π/6+ π n 4) π/6+2πn; ,nЄz 4)5/6 π+2 π n 2.1)±10⁰+120⁰n ,nЄz 2) 10⁰+120⁰n ,nЄz 3)-50⁰+ 120⁰n ,nЄz 4) ± 50⁰+ 120⁰n ,nЄz

5. Определите тип уравнения или укажите способ решения данного уравнения. 1) 2sin²x +cos²х= 5 cosхsinx 2) cosхsin7 x = cosхsin 5x 3) sin²х +cos²2х +sin²3x= 3/2 4)sin²x -2sinx -3=0 5)sin х+ sin3x = sin5x - sin x 6)2cos²х + 3sin²х + 2cosх =0 7) 2 tgх – 2сtgх =3 8) sinx- cosх =1

6. Тема: «История, возникновение тригонометрии»

7. Тригонометрия (от греч.τρίγονο (треугольник) и греч.μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика БартоломеусаПитискуса (BartholomäusPitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

8. Древняя Греция Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) первые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.

9. Индия В Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые используются в современной науке.

10. Индийцы также знали: Формулы для кратких углов sinna , cosna, где n=2,3,4,5. Первая таблица синусов «Сурья-сиддханте» у Ариабхаты. Она приведена через 3,45. Позднее ученые составили более подробные таблицы: например Бхаскара приводит таблицу синусов через 1 . Южноиндийские математики в 16 веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа П. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18

11. Аравия. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани(850-929) и Абу-ль-ВефаМухамед-бенМухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик НасиреддинТусиМухамед (1201-1274). Кроме того, НасиреддинТуси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

12. Европа Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

13. Россия Современные обозначения синуса и косинуса знаками sinx и cosxбыли впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tangx, cotx, secx, cosecx. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга.

14. История понятия синуса В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива(ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива(ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива.

15. История понятия косинуса Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cos( =  sin( 90( - ()).

16. История развития тангенса и котангенса Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль- Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он и доказал теорему тангенсов. 

17. Практическое применение тригонометрии Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. • Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

18. Прикладная направленность тригонометрических уравнений. Спортсмен на соревнованиях , проходивших в Осло,послал копье на 90 м 86 см. На каком расстоянии приземлилось бы копье , если оно было пущено с такой же скоростью и под тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Условия свободного падения в Осло 9,819 м\, а в Токио 9,798 У g v ₀ x ℓ

19. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона . Определите кoэффициент трения. y Fтр N X mg

20. Решите уравнения • 2 sin ²x - cos x-1=0 • sin 2 х=cos x • 3sin² x+5sinxcosx+2cos²x=0 • 2cos²x-1- sin x =0 • 1+cosx + cos2x =0 • 4sin²x-5sinx cos x +cos²x= 0 |sin x|=sinx+2cosx |sin x- √2⁄2| = cos x-√2⁄2