Probability Distributions

1. Probability Distributions • پارامترهای ارزیابی قابلیت اطمینان توسط تابع توزیع احتمال توصیف می شوند • زمان از کار افتادن یک قطعه از سیستم از تابع توزیع احتمال پیروی می کند • عدم امکان محاسبه تعیین توزیع احتمال بر اساس دانش از هندسه قطعه یا سیستم در عمل • ارتباط بین توابع توزیع احتمال و قابلیت اطمینان چگونه است؟ • اصطلاحات توزیع ها کدامند و نقش آنها در ارزیابی قابلیت اطمینان چیست؟

2. Probability Distributions Probability Distributions describe the random behavior of a system or a component from a set of data. In some applications only one value (mean value) is sufficient. e.g. previous examples, long-term reliability evaluation In other applications the entire distribution is required. e.g. short-term or time-dependent evaluation, simulation methods Probability Density Function, f(x)- plot of Prob. vs. Random Variable x (Cumulative) Probability Distribution Function, F(x) For continuous distribution,F(x) = ∫f(x).dx Discrete distribution, F(x) = ∑f(x) f(x) = dF(x) dx

3. Probability Distributions • انواع توزیع های آماری: • ناپیوسته (دوجمله ای و پواسون) • پیوسته (نرمال، نمایی، ویبال، گاما و ریلای) • اصطلاحات توزیعها: • چگالی احتمال، تابع توزیع تجمعی • مقدار انتظاری یا میانگین، واریانس و یا انحراف معیار

4. Probability Distributions • ویژگی تابع ازکار افتادن • در لحظه صفر، احتمال شکست سیستم برابر صفر است و در زمان بینهایت این احتمال یک است. • این ویژگی تابع توزیع فراوانی تجمعی است • تابع توزیع فراوانی تجمعی به نام توزیع فراوانی از کارافتادن شناخته شده است و با Q(t) نشان داده می شود. • اگر احتمال بقا را R(t) در نظر بگیریم:R(t)=1.-Q(t) • تابع چگالی احتمال مشتق تابع فراوانی تجمعی است f(t) = dQ(t) dt

5. Q(t) = f(t)dt In reliability evaluation, the random variable is usually time (t) Failure Density Function, f(t) (Cumulative) Failure Distribution Function, Q(t) Probability of Failure Survivor Function R(t) = 1 – Q(t) Probability of Success Probability Distributions in Reliability Evaluation R(t) = f(t)dt f(t) = dQ(t) dt

6. Probability Distributions • آهنگ وقوع خطر (Hazard Rate) • تعداد از کار افتادگی در واحد زمان به تعداد عضوهای در معرض از کار افتادن Hazard Rate, l(t) = f(t) / R(t) = # of failures per unit time # of components exposed to failure

7. تابعهای کلی قابلیت اطمینان • تعیین رابطه بین توابع مختلف بدون در نظر گرفتن شکل تابع ریاضی آنها • تعداد عضوهای معیوب شده در مدت زمان t= Nf(t) • تعداد عضوهای سالم در مدت زمان t = Ns (t) • Ns (t)+ Nf(t)= N0 • قابلیت اطمینان تا زمان معین t • ـ برای از کار افتادن:

8. تابعهای کلی قابلیت اطمینان • در بیان آهنگ وقوع خطر داریم:

9. تابعهای کلی قابلیت اطمینان

10. Example using Discrete Distribution Total number of samples = N0 Number of failures at time t = Nf(t) Number of survivors at time t = Ns(t) = N0 - Nf(t) Number of failures in interval Dt = DNf(t) Failure Density Function, f(t) = DNf (t) / N0 Failure Distribution Function, Q(t) = Nf (t) / N0 (Probability of Failure) Survivor Function R(t) = Ns (t) / N0 (Probability of Success) Hazard Rate, l(t) = f(t) / R(t)

13. Example: Plots of Q(t) and R(t)

14. Example: Plots of f(t) and l(t)

15. Hazard rate Region 3 Region 1 Region 2 Operating Life De-bugging Normal operating Or useful life Wear out or Fatigue Bathtub Curve Typical Electric Component Hazard Rate as a Function of Age

16. R(t) = R(t) = # of failures per unit time = # of components exposed to failure l(t) = l(t) = or or R(t) = Time Dependent Reliability Reliability of a component for a time period t is where l(t) is the hazard rate. Proof: Dividing numerator and denominator by N0 (total # of samples), If l(t) is constant (during useful life),

17. Application of Probability Distributionsin Reliability Assessment • Poisson Distribution • Useful life of system components • Obtain expected value and distributions of failure probability • Standby & spares • Exponential Distribution • Useful life of system components • Most widely used probability distribution • Normal Distribution • Most widely used probability distribution in statistics, quality (6-s) • Reliability assessment during wear-out life of components • Uncertainty considerations (e.g. forecast uncertainty) • Weibull Distribution • Can be shaped to fit collected data • e.g wind power, repair duration

18. Poisson Distribution • برای بیان احتمال وقوع تعداد معینی از یک رخداد در یک فاصله زمانی، مشروط بر اینکه آهنگ وقوع خطر در آن فاصله زمانی ثابت باشد • وقوع رخداد تصادفی است • ویژگی خاص در پواسون شمارش وقوع رخدادها است نه عدم وقوع آن (برخلاف توزیع دوجمله ای) • در بسیاری از موارد می توان تنها وقوع رخدادها را بر شمرد. مثلاً : • تعداد دفعات رعد و برق در یک دوره زمانی • تعداد دفعات زنگ تلفن در یک فاصله زمانی • تعداد خطاهای سیستم

19. Px(t) = Probability of zero failures in time t, P0(t) = R(t) = = Poisson Distribution Can be used to evaluate the probability of an isolated event occurring a specific number of times in a given time interval, e.g. # of faults, # of lightning strokes time interval • Requirements: • Events must be random • Hazard rate must be constant Only applies to the useful life period of a system component Expression for Poisson Distribution: Px(t): probability of event occurring x times in time t : constant hazard rate (known as failure rate) Expected value of Poisson distribution, E(x) = m = lt

20. Poisson Distribution • کاربرد تابع توزیع پواسون: • در صورت شکست ناشی از وقوع عیب، مدت زمان تعمیر و تعویض آن عضو در مقایسه با مدت زمان میانگین برای از کار افتادن سیستم ناچیز باشد • در غیر اینصورت باید از شیوه های دیگری استفاده گردد

21. For a 20 year period, t = 20 yr Px(t) = Expected # of failures, E(x) = lt = 0.05 x 20 = 1.0 Failure Distribution Function Failure Density Function Poisson Distribution Example • If the average number of cable faults per year per 10 km of cable is 0.05, • evaluate the probabilities of 0, 1, 2, .. faults occurring in • 20 year period • 40 year period Failure Rate, l = 0.05 f/yr

22. Px(t) = (b) For a 40 year period, t = 40 yr Expected # of failures, E(x) = lt = 0.05 x 40 = 2.0 Poisson Distribution Example Failure Density Functions Failure Distribution Functions

23. Poisson Distribution • توزیع پواسون بعنوان تقریب مناسبی برای محاسبات توزیع دوجمله ای استفاده می شود • اگر در توزیع دوجمله ای، تعداد آزمایشها نسبت به تعداد حادثه مورد نظر خیلی بزرگ باشد می توان این تقریب ارا استفاده کرد

24. f(t) = = = l Mean or Expected value of f(x) E(x) = x.f(x)dx R(t) = Q(t) = 1 - Mean Time to Failure, MTTF = t.f(t)dt = 1/l Exponential Distribution Most widely used probability distribution in reliability assessment. • Requirements: • Events must be random • Hazard rate must be constant Only applies to the useful life period of a system component

25. R(t) = Example: Exponential Distribution Find the mean time to failure of a component which has a failure rate of 2 failures per year. Calculate its reliability for different mission times, e.g. 10, 1000, 10000 hours. MTTF = 1/l = ½ = 0.5 yrs = 0.5 x 8760 = 4380 hrs R(10)=0.997719, R(1000)=0.795877, R(10000)=0.101967

26. Failure Probability in a Time Interval • اگر احتمال خرابی از لحظه صفر ارزیابی شود؛ احتمال سلفی (priori probability) نامیده می شود • اگر قطعه ای در مدت زمان T سالم بوده باشد ، احتمال اینکه در بازه T تا T+t خراب شود، به احتمال از کار افتادن خلفی ((A Posteriori Probability موسوم است. • برای ارزیابی احتمال خلفی، باید شرط سالم بودن قطعه در بازه زمانی (0,T) را در نظر گرفت

27. A priori probability of failure in time interval t, Q(t) = 1 - Failure Probability in a Time Interval A Priori Probability: probability calculated by logically examining existing information A Posteriori Probability: conditional probability that is assigned after relevant information is taken into account. The probability of failure in the next interval t actually depends conditionally upon its behavior preceding that interval. e.g. it cannot fail in that interval if it already failed prior to that interval It is, therefore, required to determine (a posteriori) probability of a component failing in an interval t given that it has survived prior to that interval.

28. P(A|B) = = l Qc(t) = = a priori probability Q(t) But, f(t) = 1 - A Posteriori Probability Probability of component failing during t given that it has survived up to T, Qc(t) Event A: failure during t (shaded area) B: surviving up to T (colored area) Reliability evaluation in the useful life of a component is, therefore, relatively simple as exponential distribution is applicable. In the wear-out phase, conditional probability must be used.

29. 1 2 1 2 Exponential Distribution Applications Parallel Systems Series Systems

30. f(x) = Normal Distribution • Most widely used probability distribution in statistics. • Applicable in reliability assessment of components in the wear-out phase. • The Normal probability density function f(x) is perfectly symmetrical about its mean value m. Mean m: location parameter Std. Dev (spread about mean) s: scale parameter

31. Probability value between x1 and x2 (shaded area) = F(x) = dx Then f(z) = f(x)dx Probability F(z) = dz Normal Distribution Let z = (x – m) / s for which m = 0 & s = 1 The area under the normal prob. density function f(z) between z=0 and z=z1 can obtained from a table. Table gives the area to the right of the mean, z=0.

32. Normal Distribution: Example What is the probability of electric lamps failing in the first 700 burning hours, if the average life is 1000 burning hours with a standard deviation of 200 hours? Assume that the failure density function is a normal distribution. m = 1000 hr & s = 200 hr z = (x – m) / s For x = 700, z = (700 – 1000) / 200 = -1.5 From the Table: F(z) = 0.4332 for z = 1.5 Area up to 700 hours = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 which is the probability of failing in the first 700 burning hours.

33. Failure Density Function, f(t) = where, t ≥ 0, b > 0, a > 0 Weibull Distribution No specific characteristic shape, and can be shaped to represent many distributions using different values of shaping parameters, b and a.

34. Other Distribution • The Gamma Distribution • The Rayleigh Distribution • The Lognormal Distribution • The Rectangular (or Uniform) Distribution