ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Макеевская общеобразовательная школа I – III ступеней № 11 Учебный проект

1. ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Макеевская общеобразовательная школа I – III ступеней № 11 Учебный проект «Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека» Авторы проекта: Антюхова Екатерина Гиниятуллин Ринат Скобенко Владимир Гончаров Роман Михайловский Виталий Шульга Екатерина Руководитель проекта: Полищук Ирина Валериевна г. Макеевка 2011

2. Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Сегодня мы хотим поделиться с вами результатами проделанной работы, и вы сможете убедиться, что это действительно так. Введение

3. Мы считаем, что большинство физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций. Гипотеза

4. История тригонометрии Тригонометрия (от греч. trigwnon - треугольник и metrew - измеряю) По звездам вычисляли местонахождение корабля в море. Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна.

5. Арабские Зиджи Улугбек (1394-1449) - основатель научной школы в Самарканде. Первые трактаты о плоской тригонометрии (X—XI вв.).

6. Основные сочинения: • Насирэддин Туей - «Трактат о полном четырехстороннике» 1-ая и 2-ая книгивключают в себя вспомогательный материал для построения тригонометрии; в 3-ей книге введены понятия синуса и косинуса, правила решения плоских треугольников и доказательство теоремы синусов; в 4-ой и 5-ой книгахпоказаны основы сферической тригонометрии. • Иоганн Мюллер (Региомонтан) - «Пять книг о треугольниках всех видов» • Коперник - «Об обращениях небесных тел» Преобразование тригонометрии в самостоятельную часть математики Иоганн Мюллер

7. Тихо-Браге - разработал много вычислительных приемов. облегчающих задачу решения треугольников • Ретик (1551 г.) – составил таблицы тригонометрических функций, по форме и по составу близкие к ныне употребляемым • Г. С. Клюгель (1770 г.) – ввел понятие «тригонометрические функции» Г. С. Клюгель

8. Стадии развития тригонометрии: Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов. Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники. Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций. Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований. В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа.

9. Тригонометрия в физике График синусоиды

10. Математический маятник На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.

11. Формулы колебаний: где A – амплитуда колебания, - угловая частота колебания, - начальная фаза колебания, - фаза колебания. Гармонические колебания

12. Траектория пули и проекции векторов на оси X и Y Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны υx = υo cos α υy = υo sin α

13. 1. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 24,5о, находится тело массой 90 кг. Найдите, с какой силой оно стремится скатится по наклонной плоскости и какое давление оно производит на эту плоскость. 2. Силы в 40 Н и 56 Н действуют на одну и ту же точку тела под прямым углом. Найдите равнодействующую этих сил и углы, образуемые ею с каждой из составляющих. 3. Требуется найти высоту башни СК, к основанию С которой нельзя подойти. Для этого на доступной поверхности земли отметили две точки А и В, расположенные с точкой С на одной прямой, и произвели следующие замеры: АВ=12м, CВК=47о, САК=42о. Достаточно ли этих данных для нахождения высоты? 4. Найдите длину равнодействующей двух сил Р1 и Р2 образующих между собой угол q. Задачи практического содержания

14. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 24,5о, находится тело массой 90 кг. Найдите, с какой силой это тело давит на наклонную плоскость (т.е какое давление оказывает тело на эту плоскость). Задача 1: Решение: Обозначив оси Х и У, начнем строить проекции сил на оси, для начала воспользовавшись данной формулой: ma=N + mg, затем смотрим на рисунок, Х : ma=0 + mg*sin24,50 Y : 0=N – mg*cos24,50 N=mg*cos24,50 подставляем массу, находим, что сила равна 819 Н. Ответ: 819 Н

15. Силы в 40 Н и 56 Н действуют на одну и ту же точку тела под прямым углом. Найдите равнодействующую этих сил и углы, образуемые ею с каждой из составляющих. Задача 2: Решение: Т.к угол между этими силами равен 90, то отобразив проекцию равнодействующей этих сил на оси Х и У, выведем следующее выражение: F2 =F12 + F22 ; F2 =4736 H; F =69 H. Ответ: 69 Н, 450 ,450 Y x

16. Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления: n1 - показатель преломления первой средыn2- показатель преломления второй среды α-угол падения, β-угол преломления света Теория радуги sin α/ sin β = n1 / n2

17. 1.Сферическая капля 2. Внутреннееотражение 3. Первичная радуга 4. Преломление 5. Вторичная радуга 6. Входящий луч света 7. Ход лучей при формировании первичной радуги 8. Ход лучей при формировании вторичной радуги 9.Наблюдатель 10-12. Область формирования радуги. Схема образованияРадуги

18. Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром. Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы. Северное сияние

19. Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии. • Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. • Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. • Основной земной ритм – суточный. • Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

20. Модель биоритмов. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

21. Многофункциональная тригонометрия • Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. • К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус. • Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

22. Описание движения рыб в воде тригонометрическими функциями Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

23. Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики. • Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8… • диатоническая гамма 2:3:5 Возникновение музыкальной гармонии

24. У музыки есть своя геометрия Тетраэдр из различных типов аккордов четырех звуков: синий – малые интервалы; более теплые тона - более «разряженные» звуки аккорда; красная сфера- наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.

25. cos2 С + sin2 С = 1 АС – расстояние от верха статуи до глаз человека, АН– высота статуи, sin С- синус угла падения взгляда. А А С Н Н С РИС. 1 РИС. 2

26. Пример1.Решим уравнение: 2arctg (2x+1) = arccos x. Решение: 2arctg (2x+1) = arcсos x, Cos [ 2 arctg (2x+1) ] = x, arctg (2x+1)=у, Cos2y=1-tg²y/1+tg²y, 1-(tg(arctg(2x+1)))²/ 1+(tg(arctg(2x+1)))², tg(arctg(2x+1))=2x+1, (1-(2x+1)²)/(1+(2x+1)²)=(2x²+2x)/(1+2x+2x²), (2x²+2x)/(1+2x+2x²)=x, 2x³-x=0, Решение неравенств и уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

27. Корни:0, , - Произведём проверку: x=0, 2arctg (2*0+1) = arccos0, 2(π/4)= π/2. Аналогично проверяются и- , которые не дают верного равенства. Ответ: 0.

28. Пример 2. Решить неравенство:arcsin arccos ≤ Решение. f(x)=arcsin - arccos f(x) D(f)= arcsin =arccos , arcsin =Y, sinY= , arccos =Y, cosY= , sin ²Y+cos ²Y=1, ( ) ²+( ) ²=1 , (x+2) ²+(3x+1) ²=25 , x ²+x-2=0

29. x=1, x= - 2, корень x = –2 является посторонним. Подставляем х=-1 и х=1,1 в функцию, получаем следующие знаки функции на промежутках:

30. Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. • Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, архитектуре и медицине. • Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться. Заключение

31. Спасибо за внимание!