第 7 章 投影变换

1. 第7章 投影变换 • 本节教学目标 • 1. 了解如何绘制投影图 • 2. 理解变换矩阵在投影变换中的作用。 • 3. 学会如何用计算机绘制投影图 • 本节教学效果 • 1. 体会，计算机图形、数学、照片效果之间的关系。 • 2. 意向，有意识地利用p、q、r来控制投影的不同效果。 • 3. 能力，能够用投影变换矩阵绘制投影图。 • 本节教学内容 • 1.一点二点三点透视投影的基本概念 • 2.透视投影中的一点透视变换矩阵的推导

2. 学习透视的意义 思考问题： • 集体照为什么会变形（视距对图象的影响） • 广角的视距短，中央变形小，边沿变形大。 • 如何照人像（长焦与广角的选取） • 应选用变形小的长焦，避免变形大的广角。 • 如何表现立体感（远近感对图象的影响） • 表现远山和近树的立体感，应使用远近感强的广角。 • 取景的角度（一点、二点、三点透视） • 一点透视：表现深邃和长远，如室内装潢和城墙。 • 二点透视：表现宏伟和宽广，如高大的建筑。 • 三点透视：表现高大和反差，如人与蚂蚁。

3. 学习透视的意义 思考问题： • 地平线的高度由什么决定（视高） • 物体在无穷远处的投影会聚成灭点，高度为视平面，地平线的高度由视高（观察点的高度）决定。 • 为什么人眼观察景物是近大远小。 • 透视效果。 • 什么是标准镜头？ • 50mm焦距镜头的远近感近似于人眼，叫标准镜头。 • 透视概念的应用 • 照相机与摄象机的使用技巧（焦距，视角，视高） • CAI画面的设计、用户界面的设计、涉及图形图象的开发等

4. 学习透视的意义 左、上、右分别是28mm广角、50mm标准、200mm长焦镜头的照片。 人与车的距离始终没有变，而临场感、立体感、远近感完全不同。

5. 画面 视平线 立体 视平面 视点 视高 站点 基面 视距 D 透视图的形成 透视投影示意图：

6. 透视图说明 1 • 在观察者与物体之间放置一透明的画面π，透视投影中心即眼睛的位置E，称之为视点。 • 视点与物体上各点的连线称为视线，如图中的EA，EB，…，它们与画面交于a，b，…各点，这些点分别称为A，B，…各点的透视。 • 将物体上各点的透视连接起来便得到立体的透视投影图。

7. 透视图说明 2 • 基面：放置物体的平面，通常为水平面。（地面，基准） • 视点：投影中心。（观察者眼睛的位置，一点或多点透视） • 站点：视点在基面上的投影。（站立的位置） • 视高：视点到基面的距离。（相机离地面的高度，俯视或仰视） • 视距：视点到画面的距离。（镜头到胶片的距离，焦距，影响远近感） • 视角：于物体最左最右轮廓相交的两条水平视线之间的夹角，一般取28°～30°。 • 水平视线：平行于基面的视线。 • 灭点：不平行于投影平面的平行线在无穷远点的透视投影。（体现为同组平行棱线延长后的交点）。 • 视平面：过视点平行于画面的交线。（灭点会聚于视平面）

8. 透视图说明 2 • 由于物体与画面的相对位置不同，物体长、宽、高三个主要方向的轮廓线有的与画面平行，有的与画面不平行，与画面不平行的某方向的一组轮廓线，其透视必交于灭点（又称主灭点）；而与画面平行的某方向的轮廓线，其透视仍互相平行，没有灭点。 • 随着物体与画面的相对位置不同透视图上的灭点数目也不同，因而透视图共有三种，即一点、二点、三点透视。

9. 透视投影1 • 透视投影 • 一点透视——有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴相交，与另外两个坐标轴平行，或曰：投影面与VHW三平面之一平行。（侧看火车出隧道） • 二点透视——有二个主灭点，即投影面与二个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。（近看宽广的城墙） • 三点透视——有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴相交，用得不多，困难于构造。（鸟瞰高大宏伟的大厦） 表现宽广 表现宏伟 表现遥远

10. 透视投影2 • 在透视投影中一组平行的线将共同消失在无穷远处， 称之为灭点。 • 若该组平行线与某坐标轴平行，则称此灭点为主灭点。 • 根据主灭点的个数确定一点，两点，三点透视。 • 一点透视展示一个方向的远近感， • 二点透视展示二个方向的远近感， • 三点透视展示三个方向的远近感。

11. z x o y 一点透视 • 一点透视 • 物体有XYZ三组棱线。物体的主要平面平行于画面时，只有与画面垂直的那一组棱线（下图的Y）透视有灭点，故称为一点透视。

12. 一点透视 • 三维变换矩阵：（见孙家广P106） • 其中： • 产生透视效果。

13. 一点透视1 • 先假设p=0，q≠0，r=0。然后对点（x,y,z）进行变换。 • 结果如下： • 对结果进行齐次化处理得：

14. Z (x,y,z) z y X x (x’,y’,z’) y2- y z’ y1 x’ y2- y1 y2 Y 一点透视2（推导P139）

15. z x o y 一点透视 • 当y的值不同时，上式会产生不同的结果： • 当y=0时，得： • 即处于y=0的平面内的x与z点，经过变换以后没有发生变化。 • 当y→∞时，得：

16. 一点透视 • 这说明当y→∞时，所有的点的变换结果都集中到了y轴上的1/q处，即所有平行于y轴的直线将延伸相交于此点（0，1/q，0），该点称为灭点，这样的一个灭点的透视变换称为一点透视。 • 有三种情况： • 如果p≠0，q=0，r=0。在x轴上的1/p处产生一个灭点，其坐标值为（1/p,0,0）。所有平行于x轴的直线将延伸交于该点。 • 如果p=0，q≠0，r=0。在y 轴上的1/q处产生一个灭点，其坐标值为（0,1/q,0）。所有平行于y轴的直线将延伸交于该点。 • 如果p=0，q=0，r≠0。在z轴上的1/r处产生一个灭点，其坐标值为（0,0,1/r）。所有平行于z轴的直线将延伸交于该点。

17. z z 1 1 x x 1 o o 1 y 观察点 图a 图b 一点透视 • 将物体放置在图（a）的+y位置，产生则图（b）的投影。 • y=0的绿线的长短没有变化， y≠0的红线变长。效果不好。 z=0的下侧面和x=0的右侧面 产生积聚性。

18. 一点透视 • 透视效果不好的原因之一是物体放在画面的前面，故得到放大的透视图。另一原因是视点在y轴上，使得z=0的下侧面和x=0的右侧面产生积聚性（重叠在一条线上）。 • 解决的方法： • 将物体沿-y方向平移，使其位于画面之后，避免透视图放大。 • 将物体沿+x方向平移，避免右侧面产生积聚性。 • 将物体沿-z方向平移，提高视点，获得俯视效果 。

19. z z z 原始图 +x平移 -z平移 x x x y y y z z -y平移 x x 新透视图符合一般视觉习惯。 y 一点透视 • 将物体沿+x，-y，-z方向平移的过程：

20. 一点透视 • 物体沿+x，-y，-z方向平移后一点透视变换矩阵T1： • 其中： • D为视距 平移 透视投影 于xoz平面

21. x 一点透视 • 改变视距D，则产生不同的远近感效果。 当：q=-0.35, D=2.85时，为蓝色效果，远近效果较弱。 。 当：q=-0.5, D=2时， 为红色效果，远近效果较强。 z z x

22. 二点透视 • 二点透视效果图

23. 二点透视 • 二点透视变换矩阵：

24. 二点透视 • 二点透视变换矩阵： • 将三维物体平移到适当的位置 • 旋转一个角度φ • 进行二点透视投影变换 • 向xOy平面进行正投影

25. 二点透视 • 两点透视（成角透视） • 效果图（陈传波P200）

26. 三点透视 • 二点透视变换矩阵：

27. 三点透视 • 三点透视变换矩阵： • 将三维形体平移到适当的位置 • 将形体进行透视投影变换 • 绕y轴旋转一个角度φ • 绕x轴旋转一个角度θ • 向xOy平面进行正投影

28. 三点透视 • 三点透视：

29. 作业 • 实验二 二维图形几何变换 • 旋转 • 平移 • 错切 • 一点透视投影（计算机图形学基础 陈传波P197）