重陽子を数値的に解いてみる！

1. 重陽子を数値的に解いてみる！ 第４コマ

2. 重陽子 … Deuteron Deuteron • Jπ=1+, T=0 • Binding energy = 2.22 MeV • Rrms = 1.9 fm • Electric Quadrupole • moment Qd = 0.286 fm2 Neutron Proton 二核子系、唯一の束縛状態 非常に弱い束縛状態　・・・　一核子当たり1 MeV cf) 通常の原子核では一核子当たり 約8 MeV 非常に空間的に広がっている状態　・・・　二核子間距離 4fm cf) 通常の原子核中では二核子間距離 約2fm Qdが有限（　　　の期待値）　　　　二核子間は単純な s-waveではない。

3. 重陽子を数値的に解いてみる！ 二体問題だが核構造計算をやる上でのエッセンスが詰まっている。 簡単だが、実は簡単ではない。 Deuteron Repulsive core Neutron • 重陽子は弱く束縛し、空間的に大きく広がった系 S + D 核力の斥力芯による短距離部分への影響と同時に 遠方まで広がったtailを同時に取り扱う必要がある。 Proton • テンソル力によって主に束縛One Pion Exchange …テンソル力は複雑な働き方をする。 • Spin triplet(S=1) にしか働かない。 • 軌道角運動量を混ぜる。 • S波(L=0) と D波(L=2) の混合 結合チャンネル問題(Coupled channel) 計算上 • クレプシュ・ゴルダン係数（CG係数）の練習 • ガウス基底で解く …軌道角運動量とスピンを合成して、 全角運動量を作る。 …構造計算では頻繁に使われる

4. ☆ Hamiltonian ：換算質量 ：運動エネルギー ：中心力 ：テンソル力 ：ＬＳ力 ：動径座標 r についての関数 ：演算子

5. ☆ 試行関数 S波(L=0)、D波(L=2)各々の動径波動関数 U(r), W(r) をGaussianで展開 ここで Gaussianの広がりパラメータは等比級数に取るのがミソ！

6. ☆ 対角化 重陽子の波動関数を　　　　　　　　　　　　　　　という基底で展開した。 未知係数　　　　　　　を求める。

7. ☆ 対角化 解く問題　＝　ハミルトニアンの固有値を求める 左から　　　　を掛けて 固有ベクトル 固有値 ノルム行列 ハミルトニアン行列

8. ☆ 対角化 という基底でHamiltonianを対角化するという問題になる。 未知の展開係数　　　　　　を決定。

9. ☆ 計算手順 …　二段階対角 Gaussianは直交基底ではないため、一度Gaussianから直交系を作り、 　　それを用いてHamiltonianを対角化 1. Norm行列を対角化し、直交系を作る。 と、まとめている。 2. 得られた直交系を用い、Hamiltonian行列を作る。 3. Hamiltonian行列を対角化して、エネルギー固有値、固有状態が得られる。

10. ☆ 計算手順 計算に必要なもの ノルム行列の 行列要素 ハミルトニアン行列の 行列要素

11. ☆ 各種行列要素 1. Norm matrix 2. Kinetic energy matrix

12. ☆ 各種行列要素 3. Potential energy matrix 動径方向に関する積分 角度及びスピンに関する積分 各ポテンシャルの動径成分はGaussianで記述されている。 （Tamagaki potentialなど） そうでないものは数値的にGaussianで展開しておく。 （Argonne potentialなど）

13. ☆ 各種行列要素 3. Potential energy matrix 動径方向に関する積分

14. ☆ 各種行列要素 3. Potential energy matrix 角度及びスピンに関する積分 L’ 0 2 L 0 2

15. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 0. 動径方向に関する積分 1. Norm matrix

16. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 2. Kinetic energy matrix

17. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 2. Kinetic energy matrix

18. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 2. Kinetic energy matrix

19. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix 動径方向に関する積分

20. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix 角度及びスピンに関する積分 ＬＳ 力の場合 ブラ・ケット間で J,L,S が異なる場合は 0

21. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix ここは結構 ややこしい。。。 角度及びスピンに関する積分 • 　「大学院　原子核物理」 • 　中村誠太郎監修 • 　吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著 • 　講談社サイエンティフィク • 　４章“核力の多面性”　４．５．２節 テンソル力の場合 やり方 一般には、ある状態にテンソル演算子を作用させると、 全角運動量 J は保存したまま、異なる軌道角運動量 Lの状態が混ざる。 この事実から、テンソル演算子を作用させた状態を可能な Lの状態で 展開しておいて、簡単な場合について両辺を比較して、展開係数 {aL,L’} を決定する こうして が分かる。

22. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=Jの場合） この場合、 S12が作用しても 　　１．Jは保存される 　　２．パリティは保存される …パリティ保存から L=J-2, J, J+2が許される。 　　　　　しかし L=J±2とスピン S=1を組んで Jを作ることはできない。 これらのことから L=Jのみ。 磁気量子数も露わに書くと ここで 軌道角運動量 スピン

23. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=Jの場合） テンソル演算子S12は と書けるので、 このスライド末尾の 「以下補足」を参照 軌道角運動量 スピン ここで扱いやすいケースとして を考える。 この時

24. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=Jの場合） よって スピン あとはスピン部分の計算 μ=±1の場合、σ(1)μ σ(2)-μのどちらかが スピンをアップさせる演算子になる。 しかし１，２のスピンは共にすでに ↑なので、これ以上上げることはできない。 つまり作用しても０になってしまう。 クレプシュ・ゴルダン係数の値は このスライドの最後のページを参照

25. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=Jの場合） 他方 これらを比較することで を満たすような aJ,Jは

26. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） L=J-1, L=J+1は共にスピン S=1と組んで全角運動量 Jの状態を作ることが出来る。 またパリティも同じ。 テンソル演算子によって混ざることが出来る。 ここで 係数 aL,J±1を求める手順は、先と同様に簡単な場合を考える。 ただし前回と違い、未知係数が複数あるので、複数の磁気量子数 Mを考える。

27. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○右辺

28. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○左辺 先の L=Jの時と全く同様、テンソル演算子　　　と状態　　　　　　　を書き下す。

29. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○左辺 続いてスピン部分 ・ M=1の時 先の L=Jでやっている ・ M=-1の時 M=1の時と同様、μ=0しか作用できない。 …μ=1,-1 では σμ がどちらかのスピンを 　　　更に下げようとしてしまう。 M=1の時と全く同様にして クレプシュ・ゴルダン係数の値は このスライドの最後のページを参照

30. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○左辺 続いてスピン部分 ・ M=0の時 クレプシュ・ゴルダン係数の値は このスライドの最後のページを参照 を考慮して生き残る配位を残す

31. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○左辺 ここで

32. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○左辺 ここまでスピン部分の結果をまとめると この bMを使って左辺は

33. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○以上の左辺と右辺の式を用いて。。。

34. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 ・ L=J-1 の時 ・ L=J+1 の時

35. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく

36. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく つまり

37. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 L=J±1 の各場合について、 M=±1及び M=0のクレプシュ・ゴルダン係数を代入 ・ L=J-1 の時 M=±1 M=0 ・ L=J+1 の時 M=±1 M=0

38. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 bM も代入して、整頓すると ・ L=J-1 の時 M=±1 M=0 ・ L=J+1 の時 M=±1 M=0

39. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1の場合） ○これら４つの方程式を連立させて解くと。。。 未知係数は４つ： 方程式も４本あるので求まる。

40. ☆ 各種行列要素の計算の仕方について これまでの結果のまとめ … L=J, J±1に対して、中心力 　　　、ＬＳ力　　　　、テンソル力　　　　を考える。 J-1 J J+1 L’ L J-1 J J+1

41. ☆ 各種行列要素の計算 （補足）　よく使う Gauss積分 一般に

42. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-1 ) R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968) Potential for 3E channel Core hight = 1.8 GeV

43. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-2 ) R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968) Potential for 3E channel Core hight = 0.3 GeV

44. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-1 ) 結果 基底のGaussian （ S, D状態、両方） 広がりパラメータ　最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm N=40この等比級数で用意 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

45. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-1 ) 結果 ・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分 　（1 fm以下）が強く抑制されている。 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

46. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-1 ) 結果 ・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分 　（1 fm以下）が強く抑制されている。 ・Long tailはテンソル力から。 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

47. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-1 ) 結果 ・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分 　（1 fm以下）が強く抑制されている。 ・Long tailはテンソル力から。 Wave function [fm-3/2] 各波動関数の最大値で規格化した S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

48. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-2 ) 結果 基底のGaussian （ S, D状態、両方） 広がりパラメータ　最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm N=40この等比級数で用意 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

49. ☆ 実例： Tamagaki potential( G3RS-2 ) 結果 ・S-waveの短距離部分（1 fm以下）の抑制度合いは G3RS-1に比べ弱い。 　← G3RS-2は斥力芯が低いため。 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

50. N= 5 bmin =0.1, bmax = 20 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]