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探索性因素分析： 主成分分析與因素分析

探索性因素分析： 主成分分析與因素分析. 相關矩陣. Observed correlation matrix 由觀察變項計算得到的相關係數矩陣 Reproduced correlation matrix 由因素導出的相關係數矩陣 Residual correlation matrix 觀察相關係數矩陣與重製相關係數矩陣的差異. 因素分析的各類矩陣. Orthogonal rotation 直交轉軸 所有的因素不具有相關的轉軸結果 Oblique rotation 斜交轉軸 因素間具有相關的轉軸結果 Loading matrix 因素負荷矩陣

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探索性因素分析： 主成分分析與因素分析

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Presentation Transcript

  1. 探索性因素分析：主成分分析與因素分析

  2. 相關矩陣 • Observed correlation matrix • 由觀察變項計算得到的相關係數矩陣 • Reproduced correlation matrix • 由因素導出的相關係數矩陣 • Residual correlation matrix • 觀察相關係數矩陣與重製相關係數矩陣的差異

  3. 因素分析的各類矩陣 • Orthogonal rotation直交轉軸 • 所有的因素不具有相關的轉軸結果 • Oblique rotation斜交轉軸 • 因素間具有相關的轉軸結果 • Loading matrix因素負荷矩陣 • 直交轉軸後各觀察變項與因素間的相關係數矩陣 • Structure matrix結構矩陣 • 斜交轉軸後各觀察變項與因素間的相關係數矩陣 • Pattern matrix型態矩陣 • 斜交轉軸後各觀察變項與因素間排除因素間相關後之相關係數矩陣 • 為斜交轉軸可以反應因素意義的係數 • Factor score coefficients matrix因素分數係數矩陣 • 用以反應因素得分的類迴歸方程式係數矩陣

  4. 因素分析的目的與問題 • 因素分析的主要目的在將繁多的變項縮減為少數的因素，找出變項背後的結構，涉及下列問題的探討 • 因素數目的決定 • 因素的內容與性質 • 因素的重要性 • 理論的檢驗 • 因素分數的估計

  5. 因素分析的限制 • 理論層次的問題 • 因素的抽取必須具有相當的理論與邏輯基礎。重要的因素必須被涵蓋，無關的測量應該被排除 • 因素背後應有特定且穩定的測量變項， 稱為marker variable，是用來定義因素的重要變項 • 因素內的複雜性需被仔細的評估。反應在與多個因素有關係的觀察變項 • 樣本的選取需能涵蓋測量變項的變異性 • 樣本間的比較亦能反應因素的特性 • 實務層次的問題 • 因素分析受到相關係數的特性所影響，任何影響相關係數的原因都可能干擾因素分析 • 樣本數、遺漏值、常態性、線性關係、偏離值 • 多元共線性(multicollinearity)與單一性(singularity)，極端的共線性與單一性對於因素分析具有影響 • 相關係數的大小：如果觀察矩陣中相關係數均小於.3，抽取因素能力低，可能需放棄使用因素分析 • 因素分析的偏離值：當某測量變項不被因素所解釋時。當僅有兩個變項所決定的因素，可能是一種不穩定的因素。

  6. 因素分析的類型 • 不同萃取方法皆產生直交的成分或因素來反應觀察相關矩陣R • 不同點在於抽取的標準不同，例如最大變異、最小殘差等 • 當樣本數大、觀察變項數目多或共同性估計相近時，各方法差異不大 • 因素分析結果是否穩定不是決定於萃取的方法而是變項間的關係 • 方法目的 • PCA：單純的化簡測量（得到成分components） • FA：尋找測量題目背後的結構與理論意涵，並利用這些潛在結構進行分析應用（得到因素factors ） • 萃取過程 • 差異在於兩者對於觀察相關矩陣的處理方式 • 也就是處理變異數上的差異 • PCA analyzes variance: 觀察變項的所有變異量均被分析（觀察相關係數矩陣中對角線總和） • FA analyzes covariance: 僅有共同變異量（shared variance）被分析（觀察相關係數矩陣中對角線以共同性來取代） • 萃取結果 • PCA： • 以最少的直交成分來解釋最大的變項變異量 • 具有單一的數學解 • FA： • 以最少的直交因素來反應相關矩陣 • 具有不同的最佳解

  7. 不同的萃取方法一 • 主成分法(Principal components) • 目的在使每一個成分能夠代表最大的觀察變異量 • 第一個主成分為觀察變項的線性整合，能夠反應最大的變異量，依序發展各主成分 • 可以得到最大的解釋變異量 • 主要因素法(principal factors) • 以共同性為分析的對象 • 因素的抽取以疊代程序來進行，起始值為SMC（squared multiple correlations），反覆帶入共同性直到無改善 • 能夠產生最理想的重製矩陣 • 映像因素萃取(image factor extraction) • 各觀察變項的變異量為其他變項的投射。每一個變項的映像分數係以多元迴歸的方法來計算，映像分數的共變矩陣被進行PCA • 類似PCA，能夠產生單一的數學解，對角線與FA相同，為共同性 • 因素負荷量不是相關係數，而是變項與因素的共變

  8. 不同的萃取方法二 • 最大概似因素萃取(maximum likelihood factor extraction) • 以因素負荷量的母數估計數為主要目的 • 計算樣本求得之觀察矩陣能夠反應母體的最大機率之負荷量 • 因素可進行顯著性考驗，適用於驗證性分析 • 也即是求取變項與因素間的最大典型相關 • 無加權最小平方法(unweighted least squares factoring) • 求取觀察與重製矩陣的殘差的最小平方值 • 只有非對角線上的數據被納入分析 • 共同性是分析完成之後才進行計算 • 一般加權最小平方法(generalized weighted least squares factoring) • 在無加權平方法下，增加權數的考量(以共同性加權) • 有較大的共同變異的變項被較大的加權 • Alpha法(alpha factoring) • 處理共同因素的信度，提高因素的類化性（generalizability） • 共同性的估計是在使因素的alpha信度達到最大

  9. Rotation 轉軸 • 轉軸的時機 • 依目的：得到最佳的結構，或保留因素的原始面貌 • 利用因素散佈圖協助判斷：觀察變項應在各軸上：接近各軸，遠離原點，形成群落 • Orthogonal rotation(直交轉軸) • Varimax:使負荷量的變異數在因素內最大（ Г =1） • Quartimax :使負荷量的變異數在變項內最大（ Г =0） • Equamax :綜合前兩者，使負荷量的變異數在因素內與變項內同時最大（ Г =.5） • Г（gamma）指標:表示簡化的程度：0表變項最簡化，1表因素最簡化，.5表兩者各半 • Oblique rotation(斜交轉軸) • 允許因素間具有相關之轉軸 • 因素間最大的相關由δ（delta）決定， 負的δ越小，表示月接近直交， δ=-4為直交， δ接近1時，因素間的相關可能最高 • Direct oblimin:使因素負荷量的差積（cross-products）最小化 • Direct quartimin:使型態矩陣中的負荷量平方的差積（cross-products）最小化 • Orthoblique:使用quartimax算式將因素負荷量重新量尺化（rescaled）以產生直交的結果，因此最後的結果保有斜交的性質 • Promax:將直交轉軸（varimax）的結果再進行有相關的斜交轉軸。因素負荷量取2，4，6次方以產生接近0但不為零的值，藉以找出因素間的相關，但仍保有最簡化因素的特性

  10. 直交轉軸概念圖

  11. 四種萃取方法之比較

  12. 因素分析的範例說明

  13. 特徵值矩陣L 相關矩陣R 特徵向量與特徵值 • 相關矩陣中的對角線代表變項的標準化的變異量（1.00） • 因素分析經由因素的萃取對於觀察變項相關矩陣進行萃取後，轉換成為特徵值（L） L=V’RV V’V=I • V稱為特徵向量 • 上式可以轉換為R=AA’，A稱為因素負荷矩陣

  14. 因素負荷矩陣 • 前式可以轉換為R=AA’，A稱為因素負荷矩陣

  15. 直交轉軸 • Varimax法：將因素負荷量的變異數最大化 • 將高相關更高，低相關更低（19度轉軸）

  16. 共同性與解釋百分比 • Communality共同性： • 變項的變異量被因素解釋的百分比 (-.086)2+(.981)2=.970 (-.071)2+(-.997)2=.960 (.994)2+(.026)2=.989 (997)2+(-.040)2=.996 3.915 SUM= 1.994 1.919 .98 %= .50 .48

  17. 重製矩陣 • 重製矩陣為由因素所推導出的相關矩陣

  18. Factor scores 因素分數 • 因素分數的產生由因素負荷量為基礎，透過迴歸分析原理來獲得一組因素分數係數，即可計算因素分數 • 因素分數係數為因素負荷量與相關係數反矩陣的乘積 • 因素分數為原始變項分數轉換為Z分數後乘以因素分數係數而得 • 各變項由因素得到的預測分數公式如下

  19. 因素數目判斷原則 • 一般原則：解釋變異量 • 因素越多，解釋變異量越大 • 因素越多，簡效性越低（模式越複雜） • 因素數目判斷方法 • 特徵值 • 大於1（表示大於1.00的原始觀察變異量） • 因素數目合理範圍為變項數除以3至除以5之間 • 陡坡檢定Scree test (Cattell, 1966) • 特徵值明顯出現變化時為合理數目 • 殘差分析 • 殘差類似於各變項間的相關在移除了因素的影響後的淨相關 • 檢驗不同因素數目下，殘差矩陣中的數值，高於.05或.10以上者過多，表示可能在其他因素 • 因素負荷量檢驗 • 單一觀察變項的因素並不恰當 • 二個觀察變項的因素在兩變項相關高（r>.7），與其他變項相關低時，為合理。 • 顯著性考驗 • 驗證性因素分析提供因素的顯著性考驗 • Bartlett檢驗考驗全部因素的顯著性意義 • 研究上的考量 • 探索性的目的，想要瞭解因素的結構時，邊緣強度的因素可以保留，以瞭解其性質 • 當研究者需要穩定的因素進行研究時，保留信度高的因素即可

  20. 因素的解釋與命名 • 因素負荷量的判斷 • .71（50％）優秀 • .63（40％）非常好 • .55（30％）好 • .45（20％）普通 • .32（10％）不好 • .32以下：不及格 • 不同轉軸法下的考量 • 直交轉軸使用轉軸後矩陣 • 斜交轉軸使用型態矩陣，以獲悉因素的意義（結構矩陣中的係數被因素間的相關擴張，導致高估）

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