КОМБИНАТОРИКА

1. Математический клуб КОМБИНАТОРИКА «КЕНГУРУ» Выполнил: ученик 10 «А» класса МБОУ СОШ №77 города Хабаровска Афанасьев Максим Проверил: учитель математики Ким Марина Геннадьевна

2. Старинные задачи Комбинаторика как раздел математики со своим набором понятий, со специальными методами решения задач стала формироваться довольно поздно, - примерно в XVII веке. Но отдельные задачи, в которых требовалось подсчитать число каких-то комбинаций, встречаются в древних рукописях, которые датируются XII – XIII веками до нашей эры. Предлагаю вам познакомиться с некоторыми из этих самых задач.

4. Рисуем, рисуем, рисуем… • Наверно, многие уже заметили, что комбинаторную задачу часто можно решить различными способами. Иногда эти способы могут отличаться очень сильно. Поэтому, при изучении комбинаторики надо стараться больше обращать внимания на общие подходы, чем на конкретные правила или формулы. • А для того, чтобы понять конструкцию, очень полезно научиться ее рисовать. Ведь недаром известная поговорка гласит: «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать» • Далее рассмотрим несколько задач.

5. Задача:Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга? Решение: • Каждая ладья держит под боем все клетки той вертикали и той горизонтали, на которых она стоит. И еще одну клетку она занимает сама. Поэтому, на доске остается 64-15=49 свободных клеток, на каждую из которых можно безопасно поставить вторую ладью. • Теперь остается заметить, что для первой (например, белой) ладьи мы можем выбрать любую из 64 клеток доски, а для второй (черной) – любую из 49 клеток, которые после этого останутся свободными и не будут под боем. Это значит, что мы можем применить правило умножения: общее количество вариантов требуемой расстановки равно 64∙49=3136. • При решении этой задачи условие помогает наглядно представить себе возможные варианты взаимногорасположения фигур.

6. Задача:Сколько различных наборов, можно составить из элементов данного множества А, содержащего n элементов? Замечание: Будем учитывать само множество А, а также пустое множество. Решение: • Дадим номер каждому элементу множества А, тогда каждому его подмножеству (то есть, набору его элементов) можно составить кортеж длины n, состоящий из нулей и единиц. На место с номеромiв этом кортеже будем ставить 1, если элемент с этим номером вошел в набор, и 0, если этот элемент не вошел в набор. • А для подсчета всех таких множеств можно использовать правило произведения: у нас есть nмест (позиций в кортеже), и каждое из них можно заполнить ровно двумя способами (нулем или единицей). Всего у нас получится 2∙2∙ … ∙2∙2= различных кортежей, а значит, и различных подмножеств у множества А равно • Составление кортежа, подходящего к данной задаче, тоже делает ее условия более наглядными.

7. Даем имена • Бывает так, что комбинаторная задача решается гораздо легче, если удается как-то по-новому описать те предметы, которые требуется пересчитать. Или заменить исходное множество другим, в котором столько же элементов, но по каким-то причинам пересчитывать их легче. • Никаких специальных правил для этих замен нет – только догадки и опыт. Рассмотрим несколько примеров.

8. Задача:200 команд участвуют в турнире по пляжному волейболу. По правилам в турнире не должно быть ничьих, и каждая проигравшая команда из турнира выбывает. Сколько партий надо сыграть, чтобы определить единственного победителя? Решение: • Конечно, можно сказать, что сначала все команды разобьются на пары и сыграют 100 игр, по результатам которых останется 100 команд. Эти 100 команд снова разобьются на пары, и так далее… • Но можно заметить, что в таком турнире ровно один победитель и 199 проигравших, причем в каждой игре есть ровно один проигравший, и ни одна команда не может проиграть дважды. Значит, число партий в турнире в точности равно числу проигравших команд, то есть 199.

9. Задача:Сколько чисел можно составить, используя каждую цифру из набора 1, 1, 1, 7, 4 ровно по одному разу? Решение: Заметим, что все такие числа отличаются от друг друга только тем, какие позиции в них занимают цифры 4, 7. Если мы пронумеруем разрядные позиции слева направо, то каждому такому числу можно сопоставить упорядоченную пару таких номеров: на первом месте номер позиции, которую заняла цифра 4, а на втором – цифра 7. Этот способ показывает, что нужных чисел столько же, сколько и двузначных чисел с различными цифрами из списка 1, 2, 3, 4, 5, то есть, 5∙4=20

10. Перестановки, сочетания и размещения

11. Перестановки Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называютсяперестановками. Pn = n!

12. Задача:Сколько различных маршрутов может выбрать пешеход, если он должен пройти 9 кварталов, из них 3 на запад и 6 - на юг? Формула, с помощью которой мы будем решать данную и последующую задачи: Решение: Нам надо составить цепочку из 9 отрезков пути, отрезки бывают двух сортов(3 проходят в западном направлении, и 6 – в южном). Мы можем применить формулу для количества перестановок с повторениями для n=9, s=2, k1=3, k2=6, получим

13. Задача: В классе 12 девочек и 10 мальчиков. Сколькими способами можно построить их в одну шеренгу так, чтобы в ней все отдельно взятые девочки и все отдельно взятые мальчики стояли по росту. Решение: Поскольку порядок расстановки мальчиков между собой уже определен (по росту), нам остается только определить, на каких местах будут стоять девочки, а на каких - мальчики. Значит, мы опять можем применить формулу для перестановок с повторениями. В этот раз n=22, s=2, k1=12, k2=10, всего получаем

14. Сочетания • В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. • Число всех выборовkэлементов из n данных без учета их порядка называютчислом сочетаний из n элементов по k.

15. Задача: В магазине есть пирожные 5 сортов. Каким числом способов можно выбрать 9 пирожных так, чтобы в наборе было хотя бы по одному пирожному каждого сорта? Формула, с помощью которой мы будем решать данную задачу: Решение: Будем считать, что 5 пирожных (по одному каждого сорта) уже выбрано. Тогда задача сводится к выбору оставшихся 4 пирожных пяти сортов. Количество вариантов в этом случае равно

16. Размещения • В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размещением (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества. • (n,k)-выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка неупорядоченная. • число (n,k) – размещений без повторений

17. Задача: В геометрии принято обозначать вершины многоугольника буквами латинского алфавита. Сколькими способами можно обозначить таким образом вершины треугольника? А пятиугольника? (Напомним, что в латинском алфавите 26 букв.) Решение: Ясно, что перед нами размещения из 26 по 3 (для треугольника) и из 26 букв по5 (для пятиугольника). Итак, для треугольника получаем А для пятиугольника-

18. Список использованной литературы и сайты, которыми я воспользовался: • Математический клуб «Кенгуру» Выпуск №18 (6-8 классы). • http://cl27033.tmweb.ru/kangaroo/ • http://mathkang.ru/ • http://natalymath.narod.ru/combinatory.html