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微積分. Chapter4 積分. 積分. 4.1 面積和距離 4.2 定積分 4.3 定積分的計算 4.4 微積分基本定理 4.5 變數變換法. 4.1 面積和距離. 微積分 , 4.1, 頁 4-2. 微積分 , 4.1, 頁 4-3. 微積分 , 4.1, 頁 4-3. 微積分 , 4.1, 頁 4-3. 微積分 , 4.1, 頁 4-3. 微積分 , 4.1, 頁 4-3. 微積分 , 4.1, 頁 4-4. 微積分 , 4.1, 頁 4-5. 微積分 , 4.1, 頁 4-5.
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微積分 Chapter4 積分
積分 • 4.1 面積和距離 • 4.2 定積分 • 4.3 定積分的計算 • 4.4 微積分基本定理 • 4.5 變數變換法
4.1 面積和距離 微積分, 4.1, 頁4-2
2 定義 若S為連續函數 f 的曲線下方的區域，則 S 的面積A為近似矩形的面積的極限： 微積分, 4.1, 頁4-7
表示到i=n結束 表示相加 表示從i=m開始 微積分, 4.1, 頁4-7
4.2 定積分 微積分, 4.1, 頁4-13
對給定的一個函數f、區間的一個分割P及每個區間中選取的樣本點，所有子區間長度與樣本點的函數值的乘積總和對給定的一個函數f、區間的一個分割P及每個區間中選取的樣本點，所有子區間長度與樣本點的函數值的乘積總和 稱為一個黎曼和(Riemann sum)。 微積分, 4.2, 頁4-13
2 定積分的定義 若 f 為定義在[a, b]上的一個函數，當極限 存在時，就稱為 f 從a到b的定積分。這個極限存在時，我們就說 f 在[a, b]是可積 (integrable)的。 微積分, 4.2, 頁4-14
注意1積分符號∫是萊布尼茲首先發明的，它是把S拉長得到的，因為積分其實就是總和的極限。在 中，f (x)為被積函數(integrand)，a 和 b 為積分極限(limits of integration)，其中 a 是下極限(lower limit)， b 則是上極限(upper limit)。 的每一部分要放在一起才有意義，dx自己是沒有意義的。求積分的計算過程也稱為積分(integration)。 微積分, 4.2, 頁4-14
3 定理 如果 f 在[a, b]可連續，或者只有有限多的跳躍不連續點，則 f 在[a, b]也是可積的；也就是說定積分 存在。 微積分, 4.2, 頁4-15
4 定理 如果 f 在[a, b]可積，則 其中 而 微積分, 4.2, 頁4-15
中點法則 其中 而 的中點 微積分, 4.2, 頁4-20
積分的性質 假設下列的積分都存在，則 其中c是一常數 其中c是一常數 微積分, 4.2, 頁4-21
5. 微積分, 4.2, 頁4-23
b b b b ò ò ò ò f(x) dx≧0 a a a a f(x) dx≧ g(x)dx m(b-a) ≦f(x) dx≦ M(b-a) • 積分的比較性質 6.若a≦ x ≦b 時，f(x) ≧0，則 7.若a≦ x ≦b 時，f(x) ≧g(x)，則 8.若a≦ x ≦b 時，若m≦f(x)≦M 時，則 微積分, 4.2, 頁4-23
4.2 習題 • 15.f 的圖形如圖所示。把下列的積分看成面積來計算 (a) (b) (c) (d) 微積分, 4.2, 頁4-25
4.2 習題(續) 微積分, 4.2, 頁4-25
4.3 定積分的計算 • 取值定理 若 f 為定義在[a, b]上的一個連續函數，則 其中F是 f 的一個反導數，也就是說F’= f。 微積分, 4.3, 頁4-26
我們用一個新的記號∫f(x)dx來表示 f 的反函數，稱為 f 的不定積分(indefinite integral)。 表示 微積分, 4.3, 頁4-28
定積分和不定積分是完全不同的，定積分 是一個數值，而不定積分∫f(x)dx 則是一組函數。 微積分, 4.3, 頁4-28
] b b = f ò ò ( f ( x ) dx x ) dx a a • 兩者之間的關係來自於取值定理 ：如果 f 在[a, b]是連續的，則 微積分, 4.3, 頁4-28
+ n 1 x = + ¹ - n x dx c ( n 1 ) + n 1 • 不定積分公式表 ò ò = + cos xdx sin x C 微積分, 4.3, 頁4-29
