第 7 章 非线性方程与方程组的数值解法

1. 7.1 方程求根与二分法 7.2 不动点迭代法及其收敛性 7.3 迭代收敛的加速方法 7.4 牛顿法 7.5 弦截法与抛物线法 7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点 7.7 非线性方程组的数值解法 第7章 非线性方程与方程组的数值解法

2. （1.1） 7.1方程求根与二分法 7.1.1引言 本章主要讨论求解单变量非线性方程 其中 也可以是无穷区间. 如果实数 满足 ，则称 是方程(1.1)的 根，或称 是 的零点.

3. 其中 为正整数，且 则称 为方程(1.1)的 重根，或 为 的 重零点， 时为单根. 若 是 的 重零点，且 充分光滑，则 若 可分解为 如果函数 是多项式函数，即 （1.2） 其中 为实数，则称方程(1.1)为 次代数方程.

4. 根据代数基本定理可知, 次方程在复数域有且只有 个根（含重根， 重根为 个根）. 时的求根公式是熟知的， 时的求根公式 可在数学手册中查到，但比较复杂不适合数值计算，当 时就不能用公式表示方程的根，所以 时求根仍用一般 的数值方法 另一类是超越方程，例如 它在整个 轴上有无穷多个解，若 取值范围不同，解也 不同，因此讨论非线性方程(1.1)的求解必须强调 的定 义域，即 的求解区间

5. 通常可通过逐次搜索法求得方程 的有根区间. 非线性问题一般不存在直接的求解公式，故没有直接 方法求解，都要使用迭代法. 迭代法要求先给出根 的一个近似，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为方程(1.1)的有根区间.

6. 由此可知方程的有根区间为 例1 求方程 的有根区间. 解 根据有根区间定义，对 的根进行搜索计算，结果如下：

7. 考察有根区间 ，取中点 将它分为 两半， 假设中点 不是 的零点，然后进行根的搜索. 不管出现哪一种情况，新的有根区间 的长度仅 为 的一半. 图7-1 7.1.2二分法 检查 与 是否同号， 如果同号，说明所求的根 在 的右侧,这时令 否则 必在 的左侧， 这时令 见图7-1.

8. 当 时趋于零. 对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续，即用 中点 将区间 再分为两半，然后通过根 的搜索判定所求的根在 的哪一侧，从而又确定一个新的 有根区间 ，其长度是 的一半. 如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间 其中每个区间都是前一个区间的一半，因此 的长度

9. 每次二分后，设取有根区间 的中点 该序列必以根 为极限. 就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必收缩于一点 ，该点显然就是所求的根. 作为根的近似，则在二分过程中可以获得一个近似根的序列

10. （1.3） 只要二分足够多次（即 充分大），便有 这里 为预定的精度. 由于

11. 只需 ，即只要二分6次，便能达到预定的精度. 在区间 内的一个实根，要求准确到小数点后第2位. （1.3） 例2 求方程 解 这里 ，而 取 的中点 ，将区间二等分，由于 ， 即 与 同号，故所求的根 必在 右侧，这时应令 ，而得到新的有根区间 如此反复二分下去, 按误差估计（1.3）式,欲使

12. 计算结果如表7-2.

13. 若 ，则以 代替 ，否则以 代替 . 二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤为： 步骤1 准备 计算 在有根区间 端点处的值 步骤2 二分 计算 在区间中点 处的值 步骤3 判断 若 ，则 即是根， 计算过程结束，否则检验.

14. 反复执行步骤2和步骤3，直到区间 长度小于允许 误差 ， 此时中点 即为所求近似根.

15. （2.1） 求 的零点就等价于求 的不动点. 选择一个初始近似值 ，将它代入(2.1)右端，即可求得 （1.1） 7.2不动点迭代法及其收敛性 7.2.1不动点与不动点迭代法 将方程（1.1）改写成等价的形式 若 满足 ，则 ；反之亦然，称 为函数 的一个不动点.

16. （2.2） 称为迭代函数. 如果对任何 ，由（2.2）得到的序列 有极限 如此反复迭代计算 则称迭代方程(2.2)收敛，且 为 的不动点， 故称（2.2）为不动点迭代法.

17. 上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式 方程 归结为一组显式的计算公式 . 方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲 线 与直线 的交点 对于 的某个近似值 ，在曲线 上可确定 一点 ，它以 为横坐标，而纵坐标则等于 过 引平行 轴的直线，设此直线交直线 于点 ， 与曲线 的交点 然后过 再作平行于 轴的直线， 就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.

18. 记作 ， 则点 的横坐标为 ， 纵坐标则等于 在曲线 上得到点列， 图7-2 按图7-2中箭头所示的路径继续做下去. 其横坐标分别为

19. 依公式 求得的迭代值 如果点列 趋向于点 ，则相应的迭代值 收敛 到所求的根 （2.3） 在 附近的根 例3 求方程 解 设将方程（2.3）改写成下列形式 据此建立迭代公式

20. （2.3） 如果仅取6位数字，那么结果 与 完全相同， 这时可以认为 实际上已满足方程(2.3)，即为所求的根. 各步迭代的结果见表7-3.

21. 仍取迭代初值 ，则有 但若采用方程（2.3）的另一种等价形式 建立迭代公式 图7-3 结果会越来越大，不可能趋于某个极限. 这种不收敛的迭代过程称作是发散的.如图7-3. 一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结果也是毫无价值的.

22. 首先考察 在 上不动点的存在唯一性. 1. 对任意 有 2. 存在正常数 ，使对任意 都有 则 在 上存在唯一的不动点 （2.4） 7.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性 定理1 设 满足以下两个条件：

23. 若 或 ，则不动点为 或 ， 以下设 及 ， 因 ， 显然 ， 由连续函数性质可知存在 , 使 , 即为 的不动点. 证明 先证不动点存在性. 存在性得证. 定义函数 且满足 即

24. 设 都是 的不动点， （2.4） 再证唯一性. 则由(2.4)得 引出矛盾.故 的不动点只能是唯一的.

25. （2.2） （2.5） （2.4） 定理2 设 满足定理1中的两个条件，则 对任意 ，由（2.2）得到的迭代序列 收敛到 的不动点 ，并有误差估计 证明 设 是 在 上的唯一不动点， 由条件，可知 ，再由（2.4）得 因 ，故当 时序列 收敛到 .

26. （2.6） 于是对任意正整数 有 （2.5） （2.4） 由（2.4）有 再证明估计式（2.5）， 反复递推得

27. （2.6） （2.5） 原则上可以用误差估计式（2.5）确定迭代次数，但由 于它含有信息 而不便于实际应用. 在上式中令 知 根据式（2.6），对任意正整数 有 在上式令 ，注意到 即得式（2.5）. 迭代过程是个极限过程. 在用迭代法实际计算时，必须按精度要求控制迭代次数.

28. 则由中值定理可知对 有 由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差 足够小即可保证近似值 具有足够精度. （2.7） 对定理1和定理2中的条件2，如果 且对任意 有 表明定理中的条件2可用（2.7）代替.

29. （2.7） 例3中，当 时， , 在区间 中， ，故（2.7）成立. 又因 ，故定理1中条件1也成立. 所以迭代法是收敛的. 而当 时， ，在区间 中 不满足定理条件.

30. （2.2） 上面给出了迭代序列 在区间 上的收敛性， 定理的条件有时不易检验，实际应用时通常只在不动点 的邻近考察其收敛性，即局部收敛性. 7.2.3局部收敛性与收敛阶 通常称为全局收敛性. 定义1 设 有不动点 ，如果存在 的某个邻域 对任意 ，迭代（2.2）产生的序列 且收敛到 ，则称迭代法（2.2）局部收敛.

31. （2.2） 总有 ， 对于任意 ， 于是依据定理2可以断定迭代过程 对于任意 初值 均收敛. 定理3 设 为 的不动点， 在 的某个邻 域连续，且 ，则迭代法（2.2）局部收敛. 证明 由连续函数的性质，存在 的某个邻域 使对于任意 成立 这是因为 此外，

32. 讨论迭代序列的收敛速度. 例4 用不同方法求方程 的根 解 这里 ，可改写为各种不同的等价形式 其不动点为 由此构造不同的迭代法：

33. 取 ，对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表.

34. 注意 . 迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法（4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 . 从计算结果看到迭代法（1）及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件.

35. 则称该迭代过程是 阶收敛的. 时称超线性收敛， 时称平方收敛. 定义2 设迭代过程 收敛于方程 的根 ，如果迭代误差 当 时成立下列 渐近关系式 特别地, 时称线性收敛，

36. 再将 在根 处做泰勒展开，利用条件（2.8）， （2.8） 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的. 定理4 对于迭代过程 ，如果 在所 求根 的邻近连续，并且 证明 由于 ，据定理3立即可以断定迭代 过程 具有局部收敛性. 则有

37. 注意到 ， 当 时有 （2.9） 上述定理说明，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取. 如果当 时 ，则该迭代过程只可能是线性收敛. 这表明迭代过程 确实为 阶收敛. 由上式得 因此对迭代误差，

38. 在例4中，迭代法（3）的 ，故它只是线性 收敛. 而迭代法（4）的 ，而 由定理4知 ，该迭代过程为2阶收敛.

39. 设 是根 的某个近似值，用迭代公式迭代一次得 其中 介于 与 之间. 假定 改变不大，近似地取某个近似值 ， 7.3迭代收敛的加速方法 7.3.1埃特金加速收敛方法 由微分中值定理，有 则有 （3.1）

40. 由于 将它与（3.1）式联立，消去未知的 ， （3.1） 在计算了 及 之后，可用上式右端作为 的新近 似，记作 . 若将校正值 再迭代一次，又得 有 由此推知

41. 一般情形是由 计算 ， （3.2） 它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快. 记 (3.2)称为埃特金（Aitken） 加速方法. 可以证明

42. 埃特金方法不管原序列 是怎样产生的，对 进 行加速计算，得到序列 . （3.3） 7.3.2斯蒂芬森迭代法 如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到 如下的迭代法： 称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法.

43. 它的理解为，要求 的根 ， 已知 的近似值 及 ，其误差分别为 过 及 两点做线性插值函数. （3.3） 令 它与 轴交点就是（3.3）中的 ，即方程 的解

44. （2.2） （3.4） （3.5） （3.3） 实际上（3.3）是将不动点迭代法（2.2）计算两步合 并成一步得到的，可将它写成另一种不动点迭代 其中

45. （3.3） （3.5） 是发散的，现用(3.3)计算，取 . 定理5 若 为（3.5）定义的迭代函数 的不动点， 则 为 的不动点.反之，若 为 的不动点， 设 存在， ，则 是 的不动点， 且斯蒂芬森迭代法（3.3）是2阶收敛的. 例5 用斯蒂芬森迭代法求解方程 解 例3中已指出, 下列迭代 计算结果如下表.

46. 计算表明它是收敛的，这说明即使迭代法（2.2）不收计算表明它是收敛的，这说明即使迭代法（2.2）不收 敛，用斯蒂芬森迭代法（3.3）仍可能收敛. 至于原来已收敛的迭代法（2.2），由定理5可知它可达到2阶收敛.

47. （2.2） 更进一步还可知若（2.2）为 阶收敛，则（3.3）为 阶收敛. 由于 , 且当 时， ， （3.3） 例6 求方程 在 中的解. 解 由方程得等价形式 ，取对数得 由此构造迭代法 根据定理2此迭代法是收敛的.

48. 这里计算2步（相当于（2.2）迭代4步）结果与 相同， 若取 迭代16次得 ，有六位有效数 字. 若用（3.3）进行加速，计算结果如下 ： 说明用迭代法（3.3）的收敛速度比迭代法（2.2）快得多.

49. 设已知方程 有近似根 （假定 )， 将函数 在点 展开，有 于是方程 可近似地表示为 （4.1） 7.4牛顿法 7.4.1牛顿法及其收敛性 牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程 逐步归结为某种线性方程来求解.

50. 这是个线性方程，记其根为 ， 则 的计算公式为 （4.2） 方程 的根 可解释为 曲线 与 轴的交点的横坐标 图7-4 这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. （图7-4).