ALGORITMO DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN

1. ALGORITMO DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN • Vincula los nodos de una red valiéndose de la longitud mínima total de las ramas de conexión. Un aplicación común se presenta en la pavimentación de carreteras que unen poblaciones en forma directa o a través de otras poblaciones. Esquema de solución. Sea N = {1, 2, 3……, n} conjunto de nodos de la red Ck = Conjunto de nodos que han estado conectados de manera permanente a la iteración K. Ĉ k = Conjunto de nodos que se construirán permanentemente después de la iteración K.

2. ALGORITMO DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN Pasos a seguir : • Paso 0. Establezca Co = Ø y Ĉo = N. • Paso 1. Inicie con cualquier nodo i en el conjunto no conectado Ĉo y establezca C1={i}, lo que produce Ĉ1 = N- {i }, Establezca K=2. • Paso General. Seleccione un nodo j en el conjunto no conectado Ĉk-1, que produzca el arco más corto a un nodo en el conjunto Ĉk-1 conectado. Vincule j permanentemente a Ck-1 y elimínelo de Ĉk-1 para obtener Ck y Ĉk , respectivamente. Detengase si Ĉkestá vacio. De lo contrario establezca K=K+1 y repita el paso

3. ALGORITMO DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN Ejemplo: TV Cable Co. Proporciona servicio de cable a cinco desarrollos habitacionales. La Fg. 1 ilustra las posibles conexiones de TV a las cinco áreas con las millas de cable anexadas a cada arco. Determine la red de cables más económica. 3 2 Fg. 1 5 6 9 1 1 3 5 10 4 6 8 7 3 4

4. ALGORITMOS DE LA RUTA MAS CORTA • Determina la ruta más corta entre un origen y un destino en una red. Ejemplo de aplicaciones: RentCar está desarrollando una política de reemplazo para su flota de autos en un horizonte de planeación de 4 años. Al inicio de cada año, un auto se reemplaza o se conserva en operación durante un año más. Un auto debe estar en servicio de 1 a 3 años. La siguiente tabla proporciona los costos de reemplazo en función del año en que se adquiere u auto y los años de operación.

5. ALGORITMOS DE LA RUTA MAS CORTA 9.8 • El algoritmo de Dijkstra para determinar las rutas más cortas entre el nodo origen y los demás nodos de la red. • El algoritmo de Floyd para determinar la ruta más corta entre dos nodos cualesquiera en la red 5.4 4.0 4.3 4.8 4.9 1 2 3 4 5 6.2 8.7

6. Algoritmo de Dijkstra Pasos a seguir : Sea Ui la distancia más corta del nodo origen 1 al nodo i, y defina Dij (>=0) como la longitud del arco (i,j). El algoritmo definela etiqueta para un nodo j que sigue inmediatamente como: [uj,i] = [ui + dij, i], di >=0 • Paso 0. Etiquete el nodo origen (nodo 1) como etiqueta permanente [0,-]. Establezca i = 1. • Paso General. a) Calcule las etiquetas temporales [ ui + dij, i] para cada nodo j con dij>0, siempre que j no esté etiquetado permanentemente, Si el nodo i ya tiene una etiqueta temporal existente [uj,k] hasta otro nodo k y si ui+ dij < uj, reemplace {uj, k] con [ui + dij , i]. b) Si todos los nodos tienen etiquetas permanentes deténgase. De lo contrario seleccione la etiqueta [ui,s] que tenga la distancia más corta entre todas las etiquetas temporales. Establezca i = r y repita el paso i.

7. Algoritmo de Floyd Este algoritmo es más general que el de Dijkstra porque determina la distancia entre dos nodos cualesquiera en la red. El algoritmo representa una red de n nodos como una matriz cuadrada con n filas y n columnas. La entrada (i,j) da la matriz da la distancia dij del nodo i a l nodo l, la cual es finita si i está vinculado directamente a j, e infinita en caso contrario. Dados tres nodos, i, j y k en la figura 1. con las distancias de conexión que se muestran en los tres arcos, es más corto llegar de i a j pasando por k si: dik+ dkj <dij En este caso es óptimo reemplazarla ruta directa de i j con la ruta i k  j. Este intercambio de operación triple se aplica a la matriz de distancias por medio de los siguientes pasos: • Paso 0. Defina la matriz de distancias Do y la matriz de secuencia de nodos So (todos lod elementos en ls diagonales están bloqueados). Establezca k=1. • Paso General. Defina la fila k y la columna k como fila pivote y columna pivote. Aplique la operación triple a cada elemento dij en Dk-1, para todas las i y j. si la condición dik + dkj < dij , (i<>k, j<>k y i <>j)