Čísla

1. Přirozená čísla Nula Celá čísla Iracionální Komplexní čísla čísla Racionální čísla Reálná čísla Čísla • Množiny a podmnožiny čísel Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. Přirozená čísla • Čísla vyjadřující počet objektů. Nula se mezi ně obvykle nepočítá; • pokud ano, je třeba to zdůraznit. • Značí se písmenem N, pokud do nich zahrneme nulu, tak N0. • Množinu N lze seřadit podle velikosti, má minimum, nikoliv však • maximum. • Na množině N jsou definovány operace +, -, x, /. Vůči - a / množina • není uzavřená (tj. rozdíl či podíl dvou přirozených čísel nemusí být • přirozené číslo). • Pro účely zkoumání dělitelnosti je výhodné zapisovat přirozená čísla • (popř. i celá) ve tvaru • kde k je dělitel, p zbytek.

3. Přirozená čísla • Př.: pro která přirozená n je výraz • dělitelný třemi? • Víme-li, že přirozené číslo dělitelné třemi lze zapsat jako 3k, pak stačí, • abychom položili do rovnosti • a po úpravě zjistíme, že n musí být

4. Metoda matematické indukce • Často je třeba ukázat platnost nějakého výroku pro všechna přirozená • čísla. Vzhledem k nekonečnému počtu čísel z N je samozřejmě ne- • možné dokazovat platnost výroku pro každé číslo zvlášť. Stačí ale, • pokud • a) dokážeme, že výrok platí pro n = 1 • b) dokážeme platnost implikace • výrok platí pro číslo n => výrok platí pro číslo n + 1 • Pak víme, že výrok platí dle a) pro n = 1. Platí-li ale pro n = 1, pak dle b) • platí i pro n = 1 + 1 = 2. Platí-li ale pro n = 2, pak opět dle b) platí pro • n = 2 + 1 = 3 a tak dále až do nekonečna. • Pomocí tohoto principu a všeobecného povědomí o tom, že do jakkoliv • nacpaného autobusu MHD se vždycky vejde ještě jeden člověk navíc, • lze ukázat, že každý autobus je černá díra.

5. Příklad Metoda matematické indukce Ukažte, že pro libovolné přirozené n platí a) Ukážeme tvrzení pro n = 1 b) Předpokládejme, že pro Sn je rovnost splněna. Je za tohoto předpokladu splněna i pro Sn+1?

6. Víme z předpokladu b) Metoda matematické indukce Dosadíme :

7. Příklad Příklad Příklad DÚ Matematická indukce Ukažte, že pro libovolné přirozené n platí Ukažte, že pro každé přirozené n > 2 platí Ukažte, že pro každé přirozené n > 4platí Indukcí dokažte malou Fermatovu větu : nechť n je libovolné přirozené číslo, p libovolné prvočíslo. Pak rozdíl np – n je dělitelný prvočíslem p.

8. Celá čísla • Čísla vyjadřující počet objektů i nedostatek. Značí se písmenem Z • Množinu Z lze seřadit podle velikosti, nemá minimum ani maximum. • Na množině Z jsou definovány operace +, -, x, /. Vůči / množina • není uzavřená (tj. podíl dvou celých čísel nemusí být celé číslo). • Definujeme, že celé číslo a je násobkem čísla b, pokud existuje takové • celé číslo x, aby platilo a = b.x . O číslu b pak říkáme, že je dělitelem • a. Z této definice je zřejmé, proč není definováno dělení nulou. Výraz • a/0 by znamenal hledání takového x, aby • a = x.0 • což nelze pro nenulové a, zatímco výraz 0/0 by znamenal hledání tako- • vého x, aby • 0 = x.0 • Takových x je ale nekonečný počet – této rovnici vyhovuje každé x.

9. Racionální čísla • Čísla vyjadřující podíly. Značí se písmenem Q. • Množinu Q lze seřadit podle velikosti, nemá minimum ani maximum. • Na množině Q jsou definovány operace +, -, x, /. Vůči všem těmto • operacím je množina Q uzavřená. Takovýmto číselným množinám se • říká číselné těleso. • Každé racionální číslo je možné vyjádřit ve tvaru • kde a a b jsou nesoudělná (tj. nemají společného dělitele). Celá čísla • jsou speciálním případem (podmnožinou) racionálních. Například

10. Iracionální čísla • Existují čísla, která nelze podílem vyjádřit (iracionální).To je například √2. • Důkaz provedeme sporem. To znamená, že daný výrok znegujeme a • negaci pak vyvrátíme (dostaneme se s ní do sporu). Tím dokážeme • původní tvrzení. Zde předpokládáme, že √2 je iracionální. Negace tohoto • výroku tvrdí, že • kde a a b jsou nesoudělná čísla. Upravme tento výraz a umocněme jej: • Jelikož a2 je zde zapsáno ve tvaru a2 = 2k, znamená to, že a2 je dělitelné dvěma. • Co z toho můžeme vyvodit pro a ?

11. Iracionální čísla a2 je dělitelné 2 tehdy a jen tehdy, je-li a dělitelné dvěma, neboť je-li součin dvou čísel celý, pak i činitelé jsou celá čísla. Proto musí být a je tedy dělitelné dvěma : a = 2l . Dosadíme-li ale toto do původního vzorce 2b2 = a2 , získáme a ze stejného principu vyplyne, že i b je dělitelné dvěma. To je ale ve sporu s před- pokladem, že a a b jsou nesoudělná čísla. Negace je vyvrácena, původní výrok dokázán. Obdobně lze postupovat pro libovolné √m , kde m je prvočíslo.

12. Iracionální čísla • Iracoinální čísla nejde zapsat zlomkem a jako desetinná mají nekonečný • počet míst za desetinnou čárkou, jako například • není možné taková čísla vypsat celá, pouze je zaokrouhlit na určitý počet dese- • tinných míst, nebo definovat pomocí limit či nekonečných součtů, např.

13. Reálná čísla • Množina iracionálních čísel se značí I. • Na množině iracoinálních čísel jsou definovány standardní operace +, -, • x, /. Množina není uzavřena vůči odčítání a dělění • . Množina tedy není číselným tělesem. • Sjednocením racionálních a iracionálních čísel jsou čísla reálná, znač. R. • Množina reálných čísel je uzavřená vůči operacím +, -, x, / a je tedy čísel- • ným tělesem. • Důležité podmnožiny reálných čísel se značí • Množina reálných čísel je kontinuum, tj. mezi libovolnými dvěmi reálnými • čísly je nekonečně mnoho dalších. Tuto vlastnost mají i množiny Q a I. Kladná čísla Nezáporná čísla Záporná čísla

14. Komplexní čísla • Při výpočtu rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost • řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice • nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť • V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako • existující. Obvykle se značí i= √-1 a nazývá se komplexní jednotka. • Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají • čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně.

15. Komplexní čísla • Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. • 3 + i, 2 – 5i, -3 + 4i, -6 – 5i a podobně. • Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím • (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět • komplexním číslem. • Rovnice má řešení • Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose • přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. • Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- • vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!

16. Přirozená čísla Nula Celá čísla Iracionální Komplexní čísla čísla Racionální čísla Reálná čísla Shrnutí • Přirozená čísla, značí se písmenem N (N0) • Metoda matematické indukce • Celá čísla (Z) • Racionální čísla (Q) • Iracionální čísla (I) • Reálná čísla (R, R+, R-) • Komplexní čísla, i = √-1, značí se C