1 / 25

Riemannsommen

Riemannsommen. De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is te benaderen met behulp van rechthoeken. Daartoe verdeel je het interval [1, 5] in even lange deelintervallen. Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte ∆ x = 1. Voor de hoogte van de rechthoeken kun je

caryn-erickson
Download Presentation

Riemannsommen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Riemannsommen • De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is • te benaderen met behulp van rechthoeken. • Daartoe verdeel je het interval [1, 5] in even lange deelintervallen. • Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte ∆x = 1. • Voor de hoogte van de rechthoeken kun je • de kleinste functiewaarde op het deelinterval nemen, • je krijgt dan de ondersom, zie figuur b • de grootste functiewaarde op het deelinterval nemen, • je krijgt dan de bovensom, zie figuur c • de functiewaarde van een willekeurig getal xk van • het deelinterval nemen, zie figuur d • In het algemeen wordt de som van de oppervlakten • van rechthoeken genoteerd als • Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en bovensom zijn Riemannsommen. • Er geldt ondersom ≤ O(V) ≤ bovensom. 10.1

  2. opgave 5 f(x) = af(x) = 0 geeft 12 – 2x = 0 -2x = -12 x = 6 De middens van de intervallen zijn 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5 en 5,5. O(V) ≈ (f(0,5) + f(1,5) + f(2,5) + f(3,5) + f(4,5) + f(5,5)) · 1 ≈ 6,28 b ondersom = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)) · 1 ≈ 4,91 bovensom = (f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)) · 1 ≈ 7,91 Dus 4,91 ≤ O(V) ≤ 7,91.

  3. Integralen • Door bij een Riemannsom de limiet voor ∆x naar 0 te nemen krijg je een integraal. • De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de • grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b • is • Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen. • Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt ingesloten door de grafiek van • f(x) = , de x-as en de y-as gelijk aan • dx • De optie fnInt(TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 1,89. • De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de • lijnen x = 2 en y = √2 bereken je met O(W) = O(rechthoek) – O(V). • Dus O(W) ≈ 2 · √2 – 1,89 ≈ 0,94. 10.1

  4. opgave 9 f(x) = 5 geeft 6x – x2 = 5 -x2 + 6x – 5 = 0 x2 – 6x + 5 = 0 (x – 1)(x – 5) = 0 x = 1 ⋁ x = 5 De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 30,667 O(V) ≈ 30,667 – 4 · 5 ≈ 10,67

  5. opgave 10 af(x) = 1 geeft x3 – 5x2 + 6x + 1 = 1 x3 – 5x2 + 6x = 0 x(x2 – 5x + 6x) = 0 x(x – 2)(x – 3) = 0 x = 0 ⋁ x = 2 ⋁ x = 3 De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 0,583. O(V) ≈ 1 · 1 – 0,583 ≈ 0,42 b De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 4,667. O(W) ≈ 4,667 – 2 · 1 ≈ 2,67

  6. Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken • In de figuur hiernaast is f(x) ≥ g(x) op het interval [a, b]. • Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V benaderd • worden met behulp van de Riemannsom • Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de limiet • voor ∆x naar 0. Je krijgt O(V) = • vb. • Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken van • f(x) = 2x – 8 en g(x) = -x2 • Voer in y1 = 2x – 8 en y2 = -x2 • Optie intersect geeft x ≈ -2,80 en x = 2. • De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft • O(W) ≈ ≈ 22,85 10.2

  7. opgave 14 f(x) = sin(x) met Df = [0, π] Voer in y1 = sin(x) en y2 = ¼ x. De optie intersect geeft x ≈ 2,4746. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) = en De lijn y = ¼ x verdeelt Vniet in twee delen met gelijke oppervlakte.

  8. Inhoud van een omwentelingslichaam • Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te wentelen • om de x-as ontstaat het lichaam L. • I(L) = • Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te wentelen • om de x-as ontstaat het lichaam M. • I(M) = • vb. • Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W, • ingesloten door de grafieken van f(x) = 2x – 8 en • g(x) = -x2 , te wentelen om de x-as. • De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft • I(N) ≈ ≈ 593,4 10.2

  9. opgave 21 Voer in y1 = -0,1x4 + x2 + x + 3 De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x≈ -3,14 en x ≈ 3,83. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(L) ≈

  10. opgave 29 Voer in y1 = -⅓x3 + 2x2 en y2 = x + 4 De optie intersect geeft x≈ -1,11, x ≈ 2,22 en x ≈ 4,88. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(beidelichamen) ≈ ≈ 227,0251 – 71,1462 + 748,3616 – 481,3562 ≈ 422,88

  11. Primitieven • O’(x) = • O(x + h) – O(x) = O(groene vlakdeel) ≈ f(x) · h • O’(x) = • De functie F is een primitieve • van de functie f als F’ = f. • Als F een primitieve van f is, • dan zijn alle functies F + c primitieven van f. • Het getal c heet de integratieconstante. • Voor elke constante a geldt dat a · F een primitieve is van a · f. 10.3

  12. Regels voor primitiveren • Verder geldt dat als F een primitieve is van f, • dan is een primitieve van f(ax + b). 10.3

  13. opgave 40 • af(x) = ex+1 = ex· e = e · ex • F(x) = e · ex + c = ex+1 + c • bf(x) = • F(x) = • cf(x) = • F(x) =

  14. Oppervlakte en primitieve • O(V) = • O(x) = F(x) + c • = O(b) – O(a) • = (F(b) + c) – (F(a) + c) • = F(b) – F(a) • = = F(b) – F(a) 10.3

  15. opgave 49 I(L1+ L2) = I(L1) = ½ · 18π geeft π(½a2 – 2a) – π· (2 – 4) = 9π π(½a2 – 2a) + 2π = 9π ½a2 – 2a + 2 = 9 a2 – 4a – 14 = 0 D = 16 – 4 · 1 · -14 = 72 voldoet niet voldoet =

  16. Kegel en Bol • Door het vlakdeel ingesloten door de lijn y = • de x-as en de lijn x = h te wentelen om de x-as • ontstaat een kegel met straal r en hoogte h. • I(kegel) = ⅓πr2h • Door de cirkel c: x2 + y2 = r2 te wentelen om de x-as • ontstaat een bol met straal r. • I(bol) = 1⅓πr3 • Door het vlakdeel ingesloten door de cirkel c, de y-as en de lijn • x = ⅔r te wentelen om de x-as ontstaat een bolschijf. • I(bolschijf) = 10.4

  17. opgave 60

  18. Booglengte • De booglengte van het deel van de grafiek van een functie f tussen • x = a en x = b is • Bij de functie f(x) = krijg je de booglengte van het deel van de grafiek • tussen x = 1 en x = 4 als volgt. • f(x) = geeft • booglengte = • De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft booglengte ≈ 3,150. • Dus de omtrek van het vlakdeel V in de figuur hiernaast is • 3 + f(1) + f(4) + booglengte ≈ 7,400. 10.4

  19. opgave 64 f(x) = geeft f’(x) = x De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 13,904. omtrek ≈ 5 + · 52 + 13,904 ≈ 31,40

  20. opgave 66 f(x) = 5 geeft x3 – 3x2 + 5 = 5 x3 – 3x2 = 0 x2(x – 3) = 0 x = 0 ⋁ x = 3 f(x) = x3 – 3x2 + 5 geeft f’(x) = 3x2–6x De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 8,8146. omtrek ≈ 3 + 8,8146≈ 11,81

  21. Wentelen om de y-as • Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en • wordt ingesloten door de grafiek • van de functie f, de y-as en • de lijnen y = a en y = b. • De inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de y-as wentelt is • I(L) = 10.4

  22. Substitutiemethode

  23. Partieel integreren

  24. Cyclometrische functies

  25. Breuksplitsen

More Related