Επίπεδα Γραφήματα : Έλεγχος Επιπεδότητας

1. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας α β γ Το γράφημα εισόδου δίνεται ως ακολουθία ακμών: π.χ. (α,β), (β,γ), (α,ε), (β,η), (θ,ζ), (η,ε), (ζ,α), (γ,θ), (θ,β), (ε,ζ), (η,θ), (ζ,η) ε ζ θ η TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

2. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Συνδυαστική αναπαράσταση επίπεδου γραφήματος Για κάθε κορυφή δίνουμε μια κυκλική διάταξη των γειτονικών της ακμών, π.χ. δεξιόστροφα (κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού). α β γ α : (α,β), (α,ε), (α,ζ) β :(β,α), (β,γ), (β,θ), (β,η) γ : (γ,β), (γ,θ) ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ) ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η) η : (η,ζ), (η,ε), (η,β), (η,θ) θ : (θ,η), (θ,β), (θ,γ), (θ,ζ) ε ζ θ η TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

3. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Αλγόριθμοι ελέγχου επιπεδότητας Μέθοδος των Auslanderκαι Parter (1961), και Goldstein (1963) Γραμμικός αλγόριθμος των Hopcroftκαι Tarjan (1974) Μέθοδος Lempel, Even και Cederbaum (1967) Μπορεί να υλοποιηθεί σε γραμμικό χρόνο με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού δισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan1972], γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975], PQ-δένδρα [Booth και Lueker 1975]. Άλλοι αλγόριθμοι ελέγχου που βασίζονται στον LEC : Shih και Hsu (1993), Boyer και Myrvold (1999). TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

4. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Θα εξετάσουμε τη μέθοδο των Lempel, Even και Cederbaum (1967) Δίνει αλγόριθμο γραμμικού χρόνου με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : • Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού δισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan1972]. • Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975]. • PQ-δένδρα [Booth και Lueker 1975]. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

5. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίοέχει τις ακόλουθες ιδιότητες : • Είναι απλό (δεν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). • Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. • Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. • Είναι συνεκτικό. • Είναι δισυνεκτικό. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

6. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίοέχει τις ακόλουθες ιδιότητες : • Είναι απλό (δεν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). Ένας βρόχος (v,v) μπορεί να σχεδιαστεί πολύ κοντά στον κόμβο v. Οι παράλληλες ακμές μπορούν να σχεδιαστούν πολύ κοντά μεταξύ τους. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

7. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίοέχει τις ακόλουθες ιδιότητες : • Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. Το πλήρες γράφημα με 4 κόμβους είναι επίπεδο. 1 2 3 4 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

8. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίοέχει τις ακόλουθες ιδιότητες : • Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. Αν και δεν υπάρχουν βρόχοι και παράλληλες ακμές τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

9. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίοέχει τις ακόλουθες ιδιότητες : • Είναι συνεκτικό. Κάθε συνεκτική συνιστώσα πρέπει να ορίζει επίπεδο γράφημα. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

10. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίοέχει τις ακόλουθες ιδιότητες : • Είναι δισυνεκτικό. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση : Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

11. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Άρθρωση :κόμβος v του G, η διαγραφή του οποίου αποσυνδέει το G, δηλαδή το γράφημα G-v δεν είναι συνεκτικό. Γέφυρα : ακμή e του G, η διαγραφή της οποίας αποσυνδέει το G, δηλαδή το γράφημα G-e δεν είναι συνεκτικό. Δισυνεκτικό γράφημα : Γράφημα χωρίς αρθρώσεις. Δισυνεκτική συνιστώσα :Μείζον δισυνεκτικόυπογράφημα. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

12. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. δισυνεκτική συνιστώσα γέφυρα άρθρωση TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

13. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη Αν το G είναι επίπεδο τότε προφανώς και οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε το αντίστροφο: Aνοι δισυνεκτικέςσυνιστώσεςτου G είναι επίπεδα γραφήματα τότε και το G είναι επίπεδο. Η απόδειξη είναι με επαγωγή ως προς τον αριθμό ατων αρθρώσεων του G. Βάση α=0 : Η πρόταση προφανώς ισχύει αφού το G είναι δισυνεκτικό. Επαγωγική Υπόθεση : Η πρόταση ισχύει για κάθε γράφημα με ≤α αρθρώσεις. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

14. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη Επαγωγικό Βήμα : Υποθέτουμε ότι το G έχει α+1 αρθρώσεις. Έστω v μία άρθρωση του G. Το G-v έχει συνεκτικές συνιστώσες G1, G2, …, Gk. Κάθε συνεκτική συνιστώσα Giέχει το πολύ α αρθρώσεις. Συνεπάγεται από την επαγωγική υπόθεση ότι κάθε Giείναι επίπεδο γράφημα. Θεωρούμε ένα αυθαίρετο σχέδιο του Giστο επίπεδο.Επιλέγουμε μια όψη που περιέχει τον κόμβο v και την κάνουμε εξωτερική (βλ. προηγούμενη διάλεξη). Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέδια των G1, G2, …, Gk όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

15. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη δ β ε β ε δ δ β ε γ ζ v v ζ γ v ζ γ TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

16. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέδια των G1, G2, …, Gk όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών. Μπορούμε να συγχωνεύσουμε όλα αυτά τα σχέδια μέσω του v και να λάβουμε ένα σχέδιο στο επίπεδο του αρχικού γραφήματος G. G2 G1 Συνεπάγεται ότι το G είναι επίπεδο. Gk TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

17. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας st-αρίθμηση Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Μια st-αρίθμηση του G είναι μια αρίθμηση των κόμβων π: V → {1,…,n}, τέτοια ώστε π(s)=1, π(t)=n, και κάθε κόμβος v ϵ V-{s,t} έχει ένα γειτονικό κόμβο με μικρότερη αρίθμηση και ένα γειτονικό κόμβο με μεγαλύτερη αρίθμηση, δηλαδή υπάρχουν ακμές (u,v) ϵ E και (w,v) ϵ E τέτοιες ώστε π(u)<π(v)<π(w). 6 4 t 5 2 3 s 1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

18. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας st-αρίθμηση Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E.Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n). Θα αποδείξουμε πρώτα την ύπαρξη μιας st-αρίθμησηςχρησιμοποιώντας έναν απλό αλγόριθμο. Στη συνέχεια θα δώσουμε ένα γραμμικό αλγόριθμο με χρήση καθοδικής διερεύνησης. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

19. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας st-αρίθμηση Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E.Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n). Η st-αρίθμηση ορίζει μια γραμμική διάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. 6 4 t 5 2 1 2 3 4 5 6 3 s 1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

20. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας st-αρίθμηση Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E.Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n). Η st-αρίθμηση ορίζει μια γραμμική διάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. s t Ιδέα: Ξεκινάμε με μια διάταξη που περιλαμβάνει μόνο τους s και t την οποία επεκτείνουμε σε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα βρίσκουμε ένα μονοπάτι που συνδέει δύο κόμβους που βρίσκονται ήδη σε διάταξη και τοποθετούμε στη διάταξη τους κόμβους του μονοπατιού. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

21. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας st-αρίθμηση Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E.Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n). s v u t s v w u t υπογράφημα του G εκτός της τρέχουσας διάταξης w Έστω ένας κόμβος v που ανήκει στην τρέχουσα διάταξη αλλά έχει γειτονικό κόμβο w εκτός της διάταξης. Βρίσκουμε ένα μονοπάτι P από το w προς κάποιο κόμβο u≠vπου ανήκει στην τρέχουσα διάταξη. (Το P υπάρχει γιατί το G-v είναι συνεκτικό.)Αν ο v προηγείται του u στη διάταξη τότε εισάγουμε τους κόμβους του P αμέσως μετά τον v.Διαφορετικά εισάγουμε τους κόμβους του P αμέσως πριν τον v. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

22. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο s α β s γ α t α δ ε β s β γ α ε γ s t δ t α ε ζ ε ε ζ δ α β δ t ζ ε δ t s γ δ ζ TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

23. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α β 2 s γ ε 1 δ t ζ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

24. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α β 2 s γ γ 3 ε 1 δ t ζ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

25. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s 4 α β 2 s γ γ α 3 ε 1 δ t ζ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

26. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s 4 α β 2 s γ γ α 3 δ 5 ε 1 δ t ζ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

27. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s 4 α β 2 s γ γ α 3 δ 5 ε 1 6 δ ε t ζ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

28. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s 4 α β 2 s γ γ α 3 δ 5 ε 1 6 δ ε t ζ ζ 7 Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

29. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s 4 α β 2 8 s γ γ α 3 δ 5 ε 1 6 δ ε t ζ β ζ 7 Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

30. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s 4 α β 2 8 s γ γ α 3 δ 5 δενδρική ακμή ε 1 6 δ ε t ανιούσα ακμή ζ β ζ 7 Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

31. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοδική διερεύνηση αποθηκεύουμε δύο αριθμούς για κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστευπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) για κάποιο απόγονο w του v· L(v)=s(v) αν δεν υπάρχει τέτοιος απόγονος w του v. p(v) = γονέας του v στο Τ. 1 t 2 s 4 s(α)=4, L(α)=1 γ α 3 5 s(ε)=6, L(ε)=4 δ 6 ε 7 8 ζ β TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

32. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοδική διερεύνηση αποθηκεύουμε δύο αριθμούς για κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστευπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) για κάποιο απόγονο w του v· L(v)=s(v) αν δεν υπάρχει τέτοιος απόγονος w του v. p(v) = γονέας του v στο Τ. Ιδιότητα: Αν το G είναι δισυνεκτικό τότε L(v)<s(p(v)) για κάθε κόμβο v τέτοιον ώστε s(p(v))≠1. Αν s(p(v))=1 τότε L(v)=s(p(v))=1. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

33. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Μετά την ολοκλήρωση της καθοδικής διερεύνησης και τον υπολογισμό των p(v), s(v) και L(v), ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μια βοηθητική ρουτίνα PathFinder η οποία ανακαλύπτει μονοπάτια και σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές τους ως εξής: • Αρχικά μόνο οι κόμβοι s,t και η ακμή (s,t) είναι σημειωμένοι. • Η πρώτη κλήση PathFinder(s) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι από τον s στον t που • δεν περιέχει την ακμή (s,t).Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του • μονοπατιού. • Κάθε επόμενη κλήση PathFinder(v) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι μενέες (=μη • σημειωμένες) ακμές, από σημειωμένο κόμβο v σε σημειωμένο κόμβο w≠v. • Σημειώνει τουςκόμβους και τις ακμές του μονοπατιού. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

34. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (1)αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον w πρόγονο του v τότε σημείωσε την (v,w) επιστροφή μονοπατιού P = (v,w) (2)διαφορετικά αν υπάρχει νέα δενδρική ακμή (v,w) όπου v=p(w) τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w δεν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με s(x)=L(w) ή L(x)=L(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P • (w,x) w = x w v v w x TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

35. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) διαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόγονο του w τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w δεν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P • (w,x) w = x (4) διαφορετικά P =  v x w TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

36. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) διαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόγονο του w τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w δεν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P • (w,x) w = x (4) διαφορετικά P =  v x w Παρατήρηση:Στην περίπτωση (3) όλα τα παιδιά του v είναι σημειωμένα. Επομένως, το P τερματίζει σε απόγονο του w του v όπου w≠v. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

37. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο • Ο αλγόριθμος υπολογίζει μια st-αρίθμηση χρησιμοποιώντας τη βοηθητική ρουτίνα PathFinder μαζί με μία στοίβα Σ: • Η στοίβα Σ περιέχει σημειωμένους κόμβους. Αρχικά τοποθετούνται στην Σοι • κόμβοι t και s, με τον s στην κορυφή. • Κάθε φορά διαγράφεται ο κόμβος v στην κορυφή της Σ και καλείται η • PathFinder(v) η οποία επιστρέφει ένα μονοπάτι P. • Αν P= τότε ο v λαμβάνει τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό και δεν • τοποθετείται ξανά στη στοίβα. • Αν P = (v1,v2) (v2,v3) ... (vk-1,vk), όπου v1=v, τότε οι κόμβοι vk-1, vk-2, …, v2 και • v1τοποθετούνται στην κορυφή της στοίβας. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

38. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο stNumber σημείωσε τους κόμβους s,tκαι την ακμή (s,t) Σ.ώθηση(t), Σ.ώθηση(s), i=0 ενόσω η Σ δεν είναι κενή v = Σ.απώθηση() P = (v1,v2) (v2,v3) ... (vk-1,vk) = PathFinder(v) αν P≠  τότε για j=k-1 έως 1 Σ.ώθηση(vj) διαφορετικά αρίθμηση(v)=i+1 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

39. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γ α δ s ε t Σ ζ β TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

40. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γ α δ s γ ε t Σ ζ β P = (s,γ),(γ,t) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

41. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γ α s α δ δ γ ε t Σ ζ β P = (s,α),(α,δ), (δ,t) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

42. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s γ α α δ δ γ ε t Σ ζ β TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

43. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s γ α α ε δ δ γ ε t Σ ζ β P = (α,ε),(ε,δ) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

44. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s α γ α β ε δ δ γ ε t Σ ζ β P = (α,β),(β,ε) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

45. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 s γ α β ε δ δ γ ε t Σ ζ β TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

46. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 s γ α ε δ δ γ ε t Σ ζ β TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

47. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 s γ α ε ζ δ δ γ ε t Σ ζ β P = (ε,ζ),(ζ,δ) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

48. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4 s γ α ζ δ δ γ ε t Σ ζ β TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

49. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4 αρίθμηση(ζ)=5 αρίθμηση(δ)=6 αρίθμηση(γ)=7 αρίθμηση(t)=8 s γ α δ ε Σ ζ β TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

50. Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο s 2 α β 1 3 γ 7 6 ε 8 4 δ t ζ 5 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA