在第二章我們學過角平分線、垂直平分線的尺規作圖，而這一個主題，我們將利用三角形的全等性質，來進一步探討一些重要的相關性質。

2. 在第二章我們學過角平分線、垂直平分線的尺規作圖，而這一個主題，我們將利用三角形的全等性質，來進一步探討一些重要的相關性質。在第二章我們學過角平分線、垂直平分線的尺規作圖，而這一個主題，我們將利用三角形的全等性質，來進一步探討一些重要的相關性質。

3. 如圖㈠，直線 AP 為∠EAF 的角平分線，若 D 為直線 AP 上任意一點，作CD⊥AE，BD⊥AF，那麼 CD 是否會等於 BD 呢？

4. 說明：在△ACD 和△ABD 中， • 因為直線 AP 為∠EAF 的角平分線，所以∠1＝∠2， • 又 ∠ACD＝∠ABD＝90°，(CD⊥AE，BD⊥AF) • AD＝AD，(公共邊) • 根據 AAS 全等性質，可知△ACD △ABD， • 所以 CD＝BD。 • 因為 D 是角平分線上的任一點，而且 CD⊥AE、BD⊥AF，因此 CD 為 D 點到 AE 的距離，BD 為 D 點到 AF 的距離。由上面可知： • 角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。

5. 如右圖，已知 P 是∠BAC 內一點，PB⊥AB、 • PC⊥AC，且 PB＝PC，則 P 點是否會在 • ∠BAC 的角平分線上？(請在下面敘述的空格 • 中，填入適當的內容) 解：連接 AP，如右圖， 在△ABP 與△ACP 中， ∠ABP＝ ＝90°，(PB⊥AB、PC⊥AC) AP＝AP，(公共邊) PB＝PC，(已知) 所以根據 全等性質， 可知△ABP △ACP， 所以∠BAP＝ ，(對應角相等) 因此 AP 平分 ，即 P 點會在∠BAC 的角平分線上。 ∠ACP RHS ∠CAP ∠BAC

6. 若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的角平分線上。若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的角平分線上。

7. 設 DE＝DF＝x， 由△ABC 的面積＝△ABD 的面積＋△ACD 的面積， 得 ， ，7x＝21， 所以 x＝3，故 DE＝3。 • 如右圖，AD 為∠BAC 的角平分線，且 • DE⊥AB、DF⊥AC，△ABC 的面積為 21， • AB＝6，AC＝8，則 DE＝？

8. 因為 DE⊥AB、DF⊥AC，且 DE＝DF， 根據角平分線的判別性質，可知 AD 是∠BAC 的角平分線， 所以∠CAD＝∠BAD＝42°， 因此∠B＝180°－∠C－∠BAC＝180°－60°－(42°＋42°)＝36° • 如右圖，△ABC 中，DE⊥AB、DF⊥AC， • 且 DE＝DF，∠BAD＝42°，∠C＝60°， • 求∠B＝？

9. 如圖㈡，直線 L 為 AB 的垂直平分線，C 是直線 L 上任一點。那麼 AC 是否等於 BC 呢？

10. 說明：在△ACD 和△BCD 中， • 因為直線 L 為 AB 的垂直平分線， • 所以 AD＝BD，∠CDA＝∠CDB＝90°， • 又　 CD＝CD，(公共邊) • 根據 SAS 全等性質，可知△ACD △BCD， • 所以 AC＝BC。 • 由上面得知，如果 C 是垂直平分線上的任一點，則 AC＝BC。也就是說，垂直平分線上的任一點到線段兩端點的距離會相等。 • 一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距離相等。

11. PB AB • 如右圖，已知 P 是 AB 外一點，且 PA＝PB， • 則 P 點是否會在 AB 的垂直平分線上？ • (請在下面敘述的空格中，填入適當的內容) 解：過 P 點作 PM⊥AB，交 AB 於 M 點，如下圖， 在△APM 與△BPM 中， ∠AMP＝∠BMP＝ 度，(由作圖得知) PA＝ ，(已知) PM＝PM，(公共邊) 所以根據 全等性質， 可知△APM △BPM， 所以 AM＝BM，(對應邊相等) 因此 PM 為 的垂直平分線， 即 P 點會在 AB 的垂直平分線上。 90 RHS

12. 若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段的垂直平分線上。若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段的垂直平分線上。

13. 在△APD 與△BPD 中， 因為 PA＝PB，AD＝BD，PD＝PD， 由 SSS 全等性質可知△APD △BPD， 因此∠PDA＝∠PDB，又∠PDA＋∠PDB＝180°， 所以∠PDA＝∠PDB＝90°，故 PD⊥AB。 • 如右圖，已知 PA＝PB。如果先作 AB 的中點 D，連接 • PD，則是否可以得到 PD⊥AB 的結論？

14. 因為直線 L 為 BC 的中垂線， 所以 BE＝CE， 又　 BD＝CD， 所以 BC＝2×BD＝2×8＝16， 故△ABC 的周長 ＝AB＋AC＋BC ＝AE＋BE＋AC＋BC ＝AE＋CE＋AC＋BC＝26＋16＝42。 • 如右圖，直線 L 為 BC 的中垂線，若 • △AEC 的周長為 26，BD＝8，則△ABC • 的周長為多少？

15. 因為 BE＝CE，DE⊥BC， 根據垂直平分線的判別性質，可知 DE 為 BC 的垂直平分線， 即 D 為 BC 的中點，因此 BC＝2×BD＝2× ＝13， 因為△ABC 為直角三角形，∠A＝90°， 所以 AC＝ ， 因此△ABE 的周長 ＝AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋CE ＝AB＋AC＝5＋12 ＝17。 • 如右圖，△ABC 中，∠A＝90°，DE⊥BC， • 且 BE＝CE，若 AB＝5、BD＝ ， • 則△ABE 的周長為多少？

16. 一個三角形如果有兩邊等長，則這個三角形就是等腰三角形。在 2-2 節線對稱圖形時，曾經學過等腰三角形的一些性質，接下來，我們將利用三角形的全等性質來進一步說明這些性質。 • 小學曾經利用摺紙的方法，得到「等腰三角形兩底角相等」的性質，現在我們也可以利用三角形的全等性質得到相同的結果。

17. 如圖㈢，△ABC 為等腰三角形，其中 AB＝AC，則∠B ＝∠C。

18. 說明：作∠A 的角平分線交 BC 於 D 點，如圖㈣。 • 在△ABD 和△ACD 中， • AB＝AC，(已知) • ∠BAD＝∠CAD，(AD 為∠A 的角平分線) • AD＝AD，(公共邊) • 根據 SAS 全等性質，可知△BAD △CAD， • 所以∠B＝∠C。

19. 由上面說明過程可以知道△BAD △CAD，因此我們也可以進一步得到︰ • ⑴ BD＝CD，所以 AD 平分 BC。 • ⑵ ∠BDA＝∠CDA，而∠BDA＋∠CDA＝180°， • 所以∠BDA＝∠CDA＝90°，即 AD⊥BC。 • 因此 AD 會垂直且平分 BC。 • 由以上可知，等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。

20. 如右圖，若△ABC 中，∠B＝∠C。 • 請說明 AB＝AC。(請在下面敘述的 • 空格中，填入適當的內容) 解：作∠A 的角平分線交 BC 於 F 點，如下圖。 在△BAF 和△CAF 中， ∠B＝ ，(已知) ∠BAF＝ ，(AF 平分∠BAC) AF＝AF，(公共邊) 根據 全等性質，可知△BAF △CAF， 所以 AB＝AC。 ∠C ∠CAF AAS

21. 若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三角形。若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三角形。 • 由前面我們知道，等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。但是，反過來說：等腰三角形底邊的垂直平分線是否會通過頂點且平分頂角呢？

22. 會。因為 AB＝AC，根據垂直平分線的 判別性質，所以 A 點會在的垂直平分 線上。 • 如圖㈤，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，且 D 為 BC • 的垂直平分線上一點，請依序回答下列問題。 • ⑴ 請問 A 點是否會在 BC 的垂直平分線上？ • ⑵ 設 AD 為底邊 BC 的垂直平分線，則∠BAD 是否等於∠CAD？ 是。因為△ABD 和△ACD 中，∠B＝∠C， ∠ADB＝∠ADC＝90°， 根據三角形的內角和定理，可知∠BAD＝∠CAD。

23. 由問題探索 1，我們可以得到，等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平分頂角。 • 由以上可知： • ⑴ 等腰三角形的兩個底角會相等。 • ⑵ 等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。 • ⑶ 等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平分頂角。

24. ⑴ △ACD 中，因為 AD＝CD，(已知) 根據等腰三角形的性質，得知∠1＝∠C＝32°， 根據三角形的外角定理，得知∠2＝∠1＋∠C＝64°， △ABD 中，AB＝AD，(已知) 所以由等腰三角形的性質，得到∠B＝∠2＝64°。 ⑵ 在△ABD 中，可利用三角形的內角和定理， 得知∠BAD＝180°－∠B－∠2＝180°－64°－64°＝52° • 如右圖，△ABC 中，已知 D 為 BC 上一點， • 若 AB＝AD＝CD，且∠C＝32°，則： • ⑴ ∠B＝？ • ⑵ ∠BAD＝？

25. 因為 BD＝BE，得到∠1＝∠2， 所以∠1＋∠2＝180°－∠B， 因此∠2＝(180°－∠B)÷2＝(180°－70°)÷2＝55°， 因為 CD＝CF，得到∠3＝∠4， 所以∠3＋∠4＝180°－∠C， 因此∠3＝(180°－∠C)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°， 故∠EDF＝180°－∠2－∠3＝180°－55°－70°＝55° • 如右圖，△ABC 中，BD＝BE，CD＝CF， • 若∠B＝70°，∠C＝40°， • 則∠EDF＝？

26. ⑴ 等腰△ABC 中，因為 AB＝AC， 所以∠ACB＝∠B＝60°，因此∠BAC＝60°， 因為 AD 平分∠BAC，CE 平分∠ACB， 所以∠2＝∠4＝ ×60°＝30°， 因此∠AEC＝180°－∠2－∠4＝180°－30°－30°＝120° • 如右圖，等腰△ABC 中，已知 AB＝AC， • AD 平分∠BAC，CE 平分∠ACB， • 若∠B＝60°，AB＝6，則： • ⑴ ∠AEC＝？ • ⑵ △ABC 的面積是多少？

27. ⑵ 根據等腰三角形頂角的平分線會垂直平分底邊， • 得知 AD⊥BC，BD＝CD， • 又由⑴得知△ABC 的三個角都是 60°， • 所以△ABC 為正三角形，得 BD＝ ×BC＝ ×6＝3， • 因此 AD＝ ， • 所以△ABC 的面積＝ ×BC×AD＝ ×6× 。

28. 等腰△ABC 中，AB＝AC，∠B＝50°， 所以∠C＝50°，∠BAC＝180°－50°×2＝80°， 因為 CE 平分∠ACB， 所以∠1＝∠2＝ ×∠ACB＝ ×50°＝25°， 因為 AD 垂直平分 BC，所以 AD 會平分等腰三角形的頂角， 即平分∠BAC， 因此∠3＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°， 故∠AEC＝180°－∠1－∠3＝180°－25°－40°＝115°。 • 如右圖，等腰△ABC 中，已知 AB＝AC， • AD 垂直平分 BC，CE 平分∠ACB。 • 若∠B＝50°，則∠AEC＝？

29. 角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。 • 例 已知AP 平分∠BAC，且 BP⊥AB，CP⊥AC， • 則 BP＝CP。

30. 若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的 • 角平分線上。 • 例 若 BP⊥AB、CP⊥AC，且 BP＝CP， • 則AP 會平分∠BAC。

31. 一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距 • 離相等。 • 例 如右圖，已知 L 垂直平分 AB，P 點在 L 上， • 則 AP＝BP。

32. 若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該 • 線段的垂直平分線上。 • 例 如右圖，若 AP＝BP，則 P 點會在 AB 的垂直平 • 分線上。

33. ⑴ 等腰三角形的兩個底角會相等。 • ⑵ 等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。 • ⑶ 等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平 • 分頂角。 • 例 如右圖，△ABC 中，已知 AB＝AC： • ① 則∠B＝∠C。 • ② 若 AD 平分∠BAC， • 則 AD⊥BC 且 BD＝CD。 • ③ 若 AD⊥BC 且 BD＝CD， • 則 AD 平分∠BAC。

34. 若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三 • 角形。 • 例 如右圖，若∠B＝∠C，則 AB＝AC。

35. 作 DE⊥AB，且交 AB 於 E 點， 因為 BD 為∠ABC 的角平分線， 所以 DE＝CD＝3， 因此△ABD 面積＝ ×AB×DE ＝ ×16×3＝24。 • 右圖△ABC 中，∠ACB＝90°，BD 為∠ABC 的角平分 • 線，若 AB＝16，CD＝3，則△ABD 的面積為多少？

36. 因為 L 為 CD 的垂直平分線，所以 AD＝AC， 設 AD＝AC＝x，則 AB＝8－x， 直角△ABC 中，AB2＝AC2＋BC2， 所以(8－x)2＝x2＋42， 64－16x＋x2＝x2＋16，得到 x＝3， 故 AD＝3。 • 如右圖，△BCD 中，直線 L 為 CD 的垂直平分線， • 交 BD 於 A 點，若∠ACB＝90°，BC＝4，BD＝8，則 • AD＝？

37. 因為 AB＝AC，EC＝ED，得到 ∠B＝∠1，∠2＝∠D， 又∠A＋∠E＝160°， 所以∠A＋∠B＋∠1＋∠E＋∠2＋∠D＝360°， 160°＋(∠B＋∠1)＋(∠2＋∠D)＝360°， 2∠1＋2∠2＝200°，得到∠1＋∠2＝100°， 所以∠ACE＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－100°＝80°。 • 如右圖，已知 B、C、D 三點在同一直線上， • AB＝AC，EC＝ED，若∠A＋∠E＝160°， • 求∠ACE＝？