数学归纳法的应用

1. 数学归纳法的应用 苍南中学:叶思迁 2005年3月

2. ￭数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中有着广泛的应用。￭数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中有着广泛的应用。

3. 例4、用数学归纳法证明： 42n+1+3n+2(n∈N* )能被13整除。 证明：1）n=1时：4 2×1+1+31+2=91，能被13整除。 2）假设当n=k(k∈N)时, 42k+1+3k+2能被13整除， 当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1 多退少补（密诀） ……核心步骤 =16(42k+1+3k+2)-13•3k+2 …………() ∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。 ∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。

4. 例5、用数学归纳法证明： x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。 证明：1）n=1时： x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。 2）假设当n=k(k∈N)时有x2k - y2k能被x+y整除, 当n=k+1时 多退少补（密诀） ……核心步骤 =(x2k - y2k)•x2 +y2k(x2 -y2) ………（） ∵ (x2k - y2k)和(x2 -y2)都能被x+y整除， ∴（）式也能被x+y整除。即：n=k+1时命题也成立 由1）、2）可知，对一切n∈N， x2n-y2n都能被x+y整除。

5. 例6、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。例6、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。 证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。 2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除, 当n=k+2时:xk+2+yk+2 =xk•x2 +yk•y2 = xk•x2+yk•x2-yk•x2 +yk•y2 =(xk+yk)•x2 - yk(x2-y2) =(xk+yk)•x2 - yk(x-y)(x+y), ∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除， 即当n=k+2时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。

6. 平面上有 条直线，任意两条不平行，任意三条不共点. 求证：①共有交点 个 ②构成线段或射线 条 ③把平面分成 部分. 例7

7. 例8、已知数列{an}中，a1= ,其前n项和 Sn满足： (n≥2)，计算S1，S2， S3，S4，猜想Sn，并证明之。 解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= . 猜想：Sn= ，下证明之。 证明：1）n=1时由前可知，猜想正确。 2）假设当n=k(k∈N)时有：Sk= , ……… ∴当n=k+1时猜想仍正确。 由1）、2）可知，对一切n∈N猜想均正确。

8. 例9、 ∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。 

9. 2、证明凸n边形对角线条数为 f(n)= (n4)。 （3、 ） 练习： 1、求证：n3+5n能被6整除。 3、数列{an}和{bn}满足an,bn,an+1成等差数列， bn,an+1,bn+1成等比数列。已知a1=1,b1=2,a2=3, 求a4,b4,并猜想an,bn,用数学归纳法证明。

10. 小结 数学归纳法的应用（之二）： 1、证明整除问题时注意构造的技巧----多退少补，常用增项减项或拆项的方法； 2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况； 3、“归纳、猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题、解决问题的方法。 4、证明不等式时常用放缩法。

11. 作业： 1、仔细体会、琢磨数学归纳法的运用规律及题型特点。 2、完成《创新作业本》中的相关内容 祝同学们学习愉快 人人成绩优异！

12. 再见！ 2004，11，20

13. 返回 哥德巴赫猜想 • 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.