Analogisieren…

1. Mutfried Hartmann Jahrestagung GDM Berlin 2007 www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM Analogisieren… …am Beispiel des Satzes des Pythagoras

2. Gliederung • Kurze Übersicht über das Analogisieren • Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras • Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

3. Gliederung • Kurze Übersicht über das Analogisieren • Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras • Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

4. Was ist Analogie? • „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967) Was ist Analogisieren? • Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.

5. Kurzer Überblick • Heuristik • Archimedes, Pappos • Descartes, Leibniz • Mathematikunterricht (Polya 1949) • Zentrales Lernziel (Winter 1972) • Verallgemeinerung (Deschauer 1999) • Kreative Begriffsbildung (Weth 2000) • Variation (Schupp 2002) • Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003) • Von Ebene zum Raum • Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003) • Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992) • Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005) • MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006) • Computereinsatz (Schumann)

6. Satz von Pappos

7. c d a² - c²= d² - b² a b c a² + c² = b² + d² d a b Pythagoras in Vierecken

8. Kurze Übersicht über das Analogisieren • Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras • Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

9. Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks

10. Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks

11. Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen? Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder Bubeck-Tetraeder Schiefes Tetraeder

12. Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma Dreiecksprisma

13. Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder Faulhaber-Tetraeder

14. Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder Faulhaber-Tetraeder Johannes Faulhaber (1622)

15. Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder Bubeck-Tetraeder (1992)

16. Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder Schiefes Tetraeder

17. Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder Schiefes Tetraeder (Beweis) Dreiecksprisma C² = A² + C‘² D² = A² + D‘² Faulhaber C² + D² = 2A² + C‘² + D‘² A² + B² = 2A² + C‘² + D‘² B² = A² + C‘² + D‘²

18. Pythagoras im Raum / Kanten ² ² = b + b‘ ² ² ² ² ² ² ² ² a + a‘ = c + c‘ b - b‘ c‘ - c = ² ² ² ² a a‘ b - = + b‘ ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² a a‘ c + c‘ + = a‘ - a = b‘ - b = c‘ - c Auf Kantenlängen bezogene Analogien

19. Gliederung • Kurze Übersicht über das Analogisieren • Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras • Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

20. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras

21. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken Wie findet man solche Zerlegungen?

22. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analyse des Analogisierungsprozesses Sonderfall Übertragung Allgemeinfall Zerlegung der Katheten- quadrate Analoge Teilstücke Schnittführung Interpretation: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit

23. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l 2. Beispiel

24. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung 1. Diagonale 2. Diagonale

25. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l C C c c d d Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Parallele zu c durch C Verlängerung von Seite d

26. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l D D C C c c d d Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Parallele zu c durch C Parallele zu d durch D

27. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l M M c c d d Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Parallele zu c durch M Parallele zu d durch M

28. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l c c d d Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung D D E C C E B B Parallele zu c durch C und E Parallele zu d durch B und D

29. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analyse des Analogisierungsprozesses Sonderfall Übertragung Allgemeinfall Zerlegung der Katheten- quadrate Analoge Teilstücke Schnittführung Abbildung der Teile Zerlegung des Hypotenusen- quadrats unvollständige Lösung endgültige Lösung Interpretation: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit Probieren

30. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierung der Teileabbildung Perigal Ihre Lösung in der Hausaufgabe 

31. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Beispiele von Studenten

32. Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Bedeutung für den Unterricht • Die Schüler haben die Möglichkeit, komplexe Zerlegungsmöglichkeiten selbst erfolgreich zu entdecken • Die Schüler können dabei auch an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren • Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar • Präzises verbales Beschreiben wird geübt • Fachmathematische Begriffe, wie Verschiebung oder Drehung, werden in einem sinnvollen Kontext wiederholt • Beweisbedürfnis wird geweckt

33. Forderungen • Analogisieren sollte • als Methode im Unterricht explizit thematisiert werden • in Schulbüchern explizit berücksichtigt werden • Weitere Möglichkeiten für das Analogisieren (insbesondere an Standardinhalten) sollten seitens der Mathematikdidaktik erschlossen werden

34. Mutfried Hartmann Jahrestagung GDM Berlin 2007 www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM

35. 2. Säule: Vernetzung – Entdecken durch Analogisieren Wie findet man solche Zerlegungen? Schnitt Lage