Текстовые задачи, классификация и рекомендации по их решению

1. Текстовые задачи, классификация и рекомендации по их решению 1. Понятие «текстовая задача»: • «Задачи, в которых зависимость между данными и искомыми не выражена в явной форме, а сформулирована словами, так же как и вопрос задачи, называются собственно задачами или задачами с текстом».

2. 2. Роль текстовых задач: • служат усвоению математических понятий и отношений между ними; • обеспечивают усвоение специфических понятий, входящих в предметную область задач; • способствуют более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости; • повышают вычислительную культуру; • учат применению такого метода познания действительности, как моделирование; • способствуют более полной реализации межпредметных связей; • развивают способность анализировать, рассуждать, обосновывать; • развивают логическое мышление и др.

3. Решение текстовых задач

4. 3. Текстовые задачи подразделяются следующим образом: • задачи на движение; • задачи на работу; • задачи на проценты; • задачи на смеси, сплавы и концентрацию; • задачи, в которых неизвестные – целые числа; • задачи, для решения которых нужно находить наибольшее или наименьшее значение; • задачи, решение которых требует рассмотрения нескольких вариантов; • задачи, процесс решения которых приводит к системе уравнений, содержащей уравнений меньше, чем неизвестных; • задачи, для решения которых необходимо использовать неравенства.

5. 4. Поэтапность решения текстовых задач (методом составления уравнений) 1) Анализ задачи. Выявление объектов и процессов, подлежащих рассмотрению. Выделение величины (или величин), характеризующих эти процессы. Выбор неизвестной величины, через которую выражаются остальные.

6. 2) Выявление оснований для составления уравнения. Составление уравнения.

7. 3) Решение уравнения (по алгоритму, выбранному в соответствии с типологией полученного уравнения).

8. 4) Проверка. «Прогон» найденного корня уравнения (или нескольких корней) по условию задачи от начала до конца, вычисляя все входящие величины и следя за выполнением наложенных смысловых ограничений.

9. 5) Запись ответа (подробно, если задача решалась без подробного оформления и кратко, если оформление решения задачи было выполнено подробно).

10. 6) Анализ решения задачи. Выявление рациональных путей решения. Уяснение и уточнение идеи и метода решения.

11. 5. Задачи «на движение». • Действие движения характеризуется тремя величинами: пройденный путь (Sкм), скорость (v км/ч), время (tч) • Основные соотношения: S = v· t; v = S/t; t = S/v.

12. Примечания: • Основные характеристики удобно внести в таблицу (недостающие величины ввести в качестве неизвестных). • Если в условии задачи не указана размерность пути (километры, метры и т.д.), то его полагают равным 1. В этом случае скорость выражается в долях пути за единицу времени. • В сложных случаях рекомендуется выполнить чертеж, на котором следует изобразить участников движения и все характерные моменты (встречи, остановки, повороты и т.д.).

13. 6. Примеры задач «на движение» 1) Скорость велосипедиста от поселка до станции была на 1 км/ч больше, чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 минуты больше. Расстояние между пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста. 2 мин = 2/60 ч. = 1/30 ч.

14. Т.к. 7/(х – 1) > 7/х на 1/30, то составим уравнение: 7/(х – 1) - 7/х = 1/30 • Общий знаменатель: 30x · (x- 1) ≠ 0. 7х · 30 – 7 · 30(х – 1) = х · (х – 1). x2 - x – 210x + 210x – 210 = 0. x2- x – 210 = 0 – приведенное. По теореме обратной теореме Виета: x = - 14 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. x> 0. Значит, первоначальная скорость 15 км/ч. x1+x2= 1, x1 = -14; x1 · x2 = -210; x2 = 15;

15. Проверка: при первоначальной скорости движения 15 км/ч на обратном пути скорость велосипедиста 14 км/ч • Время движения : 7/15 ч и 7/14 ч = 1/2 ч, что в сравнении: 1/2 – 7/15 = (15 – 14)/30 = 1/30 (ч) (или 2 мин) Ответ: 15.

16. Расстояние между пристанями А и В по реке равно 36км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 часов отошла лодка. В пункты назначения они приплыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12 км/ч?

17. Т.к. 36/(12 – x) < 36/x на 8, то составим уравнение: 36/x – 36/(12 – x) = 8; Общий знаменатель x·(12 - x) ≠ 0. 36·(12 - x) – 36·x = 8x· (12 – x). 432 – 36x -36x – 96x + 8x2 = 0. 8x2 – 168x + 432 = 0. x2 – 21x + 54 = 0 – приведенное, по теореме, обратной теореме Виета: x = 18 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. (12 – x) > 0 x1= 18. x1+x2= 21. x1 · x2=54. x2= 3.

18. Скорость течения реки – 3 км/ч, следовательно, и скорость плота – 3 км/ч . Проверка: Если скорость плота 3 км/ч, то скорость лодки12 – 3 = 9 (км/ч). Время движения плота 36 : 3 = 12 (ч), лодки 36 : 9 = 4 (ч), то на 8 ч меньше. Ответ: 3.

19. 3) Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 ч после встречи, а второй в А – через 9 ч. Определить расстояние АВ и скорости туристов. 1 турист С В А 2 турист

21. ВС = 8АС/t; ВС = 8АС/t; АС = 9ВС/(t + 6); АС = 9/(t + 6) · 8АС/t; • Т.к. АС < ВС на 12, и, используя данные 3-го столбца, составим систему уравнений: Решим второе уравнение системы. АС = 72АС/t(t + 6); АС · t ·(t + 6) = 72 · AC или t · (t + 6) = 72; t2 + 6t – 72 = 0; t1 = -12; t2 = 6. t = -12 – не удовлетворяет условию, т.к. t > 0. Значит, время движения до пункта С первого туриста 6 ч. Вернемся к системе уравнений: Решим третье уравнение  системы. АС + 12 = ВС; АС + 12 = ВС. t = 6; t = 6; ВС = 8АС/6; ВС = 4АС/3; АС + 12 = ВС; АС + 12 = 4АС/3;

22. АС + 12 = 4АС/3; 4АС/3 – АС = 12; АС/3 = 12; АС = 36 => ВС = 4 · 36/3 = 48; АВ = АС + ВС; АВ = 36 + 48 = 84; Находим скорости туристов: v1 = АС/t; v2= ВС/(t + 6); v1= 36/6 = 6;v2= 48/(6 + 6) = 4. Проверка: С помощью найденных значений скоростей находим остальные величины и выполнимость условий. Ответ: 84; 6; 4.

23. 7. Задачи «на работу»: • Работу характеризуют три величины действия: • время работыt • объем работы А • производительность N (количество произведенной работы в единицу времени). • Соотношения между величинами: Объем работы = время работы × производительность. A = N · t

24. Примечание • Если в условии задачи не указана размерность выполняемой работы, то объем работы полагают равным 1. В этом случае производительность выражается в долях объема работы за единицу времени. • К задачам на работу и производительность труда условно относятся задачи, связанные со стоимостью каких-либо предметов , подсчетом их количества и т.п.

25. 8. Примеры задач «на работу» 1) Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за12 ч. Одна первая труба наполняет весь бассейн на 10 ч. медленнее, чем одна вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

27. Решаем полученное уравнение: 1/х + 1/(х – 10) = 1/12; Общий знаменатель: 12х · (х – 10) ≠ 0. 12 · (х – 10) + 12х = х · (х – 10); x2 – 10х – 12х + 120 – 12х = 0; x2 – 34х + 120 = 0. 12 · 4 · (4 - 10) ≠ 0. 12 · 30 · (30 - 10) ≠ 0. х = 4 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. (х – 10)> 0. Время работы первой трубы 30 (ч), значит время работы второй трубы 30 – 10 = 20 (ч). Проверка: используя полученные значения, вычислим производительность каждой трубы: N1 = 1/х; N1 = 1/30; Суммарная производительность: N2 = 1/(х – 10); N2 = 1/20; 1/30 + 1/20 = 5/60 = 1/12, т.е. время заполнения бассейна обеими трубами 12 ч. Ответ : 20. x1= 4. x2= 30.

28. 2) Две копировальные машины печатают рукопись. Если всю рукопись будет печатать первая машина, то работа будет выполнена на 4 минуты позже, чем две машины, работая вместе. Если печатать всю рукопись будет вторая машина, то она напечатает на 25 минут позже, чем обе машины, работая вместе. За сколько минут может напечатать эту рукопись вторая машина?

29. Если время работы первой машины – х (мин), а второй – у (мин), тогда время работы двух машин (х – 4) или (у – 25) мин. Получим первое уравнение: х – 4 = у – 25. Если производительность первой машины – 1/х. второй машины – 1/у, а общая производительность – (1/х + 1/у), которая может быть равной 1/(х – 4) или 1/(у – 25), то второе уравнение: 1/х + 1/у = 1/(х – 4).

30. Составим и решим систему уравнений: х – 4 = у – 25; у = х + 21; 1/х + 1/у = 1/(х – 4); 1/х + 1/(х+21) = 1/(х – 4). Решаем второе уравнение системы: 1/х + 1/(х + 21) – 1/(х – 4) = 0. Общий знаменатель: х · (х + 21) · (х – 4) ≠ 0. (х + 21) · (х – 4) + х · (х – 4) – х · (х + 21) = 0. x2+ 17х – 84 + x2 – 4х - x2– 21х = 0. x2– 8х – 84 = 0. х1 = -6; -6 · (-6 + 21) · (-6 – 4) ≠ 0. х2 = 14; 14 · (14 + 21) · (14 – 4) ≠ 0. х = - 6 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. х> 0. Если х = 14, то у = 14 + 21 = 35. Значит, время работы второй машины 35 мин. Проверка: производительности машин по отдельности и совместно: 1/14 + 1/35 = (5 + 2)/70 = 7/70 = 1/10; 1/10 = 1/(14 – 4) или 1/10 = 1/(35 – 25). Ответ: 35.

31. 3) Для перевозки 60 тонн груза было заказано несколько машин одинаковой грузоподъемности. В реальности оказалось, что грузоподъемность этих машин на полтонны меньше обещанной. Пришлось дополнительно заказать еще 4 таких же машины, и все они были заполнены, так же как и первые машины. Сколько всего машин перевозили груз?

32. Т.к. заказано n машин по х тонн, то они перевозят (nх) тонн, т.е. 60 т. • Т.к. по факту оказалось (n + 4) машины по (х – 0,5) тонн, то они перевезут (n + 4) · (х – 0,5) тонн, т.е. 60 т. • Составим и решим систему уравнений: nх = 60; nх = 60; (n + 4) · (х – 0,5) =60; nх + 4х – 0,5n – 2 = 60; nх = 60; nх = 60; n = 8х – 4; 4х – 0,5n = 2 8х – n = 4; (8х – 4)х = 60. • Решаем второе уравнение системы: (8х – 4) · х = 60; 8x2 – 4х – 60 = 0; 2x2 – х – 15 =0; х1 = -2,5; х2 = 3. х = -2,5 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. х> 0. Если х = 3, то n = 8 ·3 – 4 = 20. Значит, 20 машин было заказано. Тогда перевозили весь груз 20 + 4 = 24 (машины) Проверка: 3 · 20 = 60 (тонн) – всего заказано (3 – 0,5) · (20 + 4) = 60 (тонн) перевезено. Ответ: 24.

33. 9. Задачи «на проценты»: • Процентом числа называется сотая доля этого числа. • Различают три типа задач на процентные вычисления: • Нахождение процентного отношения первого данного числа ко второму, т.е. выражение этого отношения в процентах. • Нахождение данного числа процентов от заданного числа. • Нахождение числа, если известно несколько процентов этого числа.

34. 1) Нахождение процентного отношения первого числа ко второму. • Вывод. Чтобы найти процентное отношение первого числа ко второму, достаточно: • разделить первое число на второе; • умножить полученное частное на 100 и приписать знак %.

35. 2) Как находить данное число процентов от заданного числа? • Вывод. Чтобы найти данное число процентов от заданного числа, достаточно умножить заданное число на сотую долю данного числа процентов или, разделив заданное число на 100 (узнается 1% от него), умножить полученное частное на данное число процентов (узнается все заданное число процентов от него).

36. 3) Как находить число, если известно несколько процентов этого числа? • Вывод. Чтобы найти число, зная величину нескольких процентов этого числа, достаточно разделить эту величину на сотую долю данного числа процентов или, разделив эту величину на данное число процентов (узнается 1% от известного числа), умножить полученное частное на 100 (узнается все число, или 100%).

37. Эти три основные задачи на проценты можно решать с помощью пропорций • Задача 1. Найти 7% от 53. Решение Пусть х – искомое число, тогда: 53 – 100% х – 7% 53/х = 100/7, х = (53 · 7)/100, х = 371/100, х = 3,71. • Задача 2. Найти число, 15% которого равны 3. Решение Пусть х – искомое число, тогда: х – 100% 3 – 15% х/3 = 100/15, х = (3 · 100)/15, х = 20.

38. 10. Пробный тест • 1) Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и двух взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу?

39. 10. Пробный тест • 2) До снижения цен товар стоил 800 рублей, а после снижения цен стал стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена товара? Знак % в ответе не пишите.

40. 10. Пробный тест • 3) Билет на автобус стоит 25 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 40%?

41. Ответы • 6840 • 15 • 2

42. 3.В хозяйственных и статистических расчетах принято говорить о простых и сложных процентах. Формула простого процента: х = а · (1 ± pt/100), где а – первоначальная величина р – число процентов, за какой-то промежуток времени (например, за год) t– количество промежутков времени х – конечная величина, при условии, что по истечении каждого промежутка времени доход за этот промежуток времени изымается, т.е. за новый период времени доход исчисляется с первоначальной величины. Формула сложного процента: х = а · (1 ± pt/100)t, при условии, что доход причисляют к первоначальной величине, т.е. доход за новый периодвремени исчисляется с наращенной суммы.

43. Задача 1. Какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лет,еслибанк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна500 000р.? Решение: Через 5 лет сумма составит: (1 + 20/100)5 · 500 000 = 1 244 160 (р.)

44. Задача 2 За переадресацию вклада банком установлены комиссионные в размере 0,2% от суммы вклада.Вклад на сумму 100 000 р. был переадресован 3 раза. Насколько уменьшился вклад? Решение: Воспользуемся формулой: Sn = (1 – p/100)n · S, где S = a; Sn = х; n = t. S3 = (1 – 0,2/100)3 · 100 000 = 99 401,19 (р.) Значит, уменьшение составило: 100 000 – 99 401,19 = 598,81 (р.)

45. 11. Примеры задач «на проценты»: 1) Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара? Решение: 10% = 0,1; 20% = 0,2. 0,1 · 1000 = 100 (р.) – составило первое снижение 1000 – 100 = 900 (р.) – цена товара после первого снижения 0,2 · 900 = 180 (р.) – составило второе снижение 900 – 180 = 720 (р.) – цена товара после второго снижения Ответ: 720.

46. 2) Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара? Решение: Пусть первоначальная цена товара – х р. Тогда после повышения цены товара на 25% она стала: х + 0,25х = 1,25х (р.) После повышения цены товара на 10% она стала: 1,25х + 0,1 · 1,25х = 1,25х + 0,125х = 1,375х (р.) После повышения цены товара на 12% она стала: 1,375х + 0,12 · 1,375х = 1,375х + 0,165х = 1,54х (р.) В целом, цена товара была повышена на 1,54х – х = 0,54х, что составило 54% от первоначальной цены. Ответ: 54

47. 3) Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых. Решение: Пусть S – первоначальная сумма вклада. Тогда через два года она составит : S2 = (1 + 3/100)2 · S Т.к. S2>S на 304,5, то уравнение имеет вид: (1 + 3/100)2 · S = S + 304,5; 1,032 · S = S + 304,5; 1,0609S – S = 304,5; 0,0609S = 304,5; S = 304,5/0,0609; S = 5000 Ответ: 5000.

48. 12. Задачи «на смеси и сплавы» • В условиях задач «на сплавы» и «на смеси» речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. В процессе решения таких задач используется понятие «концентрации вещества», т.е. доли этого вещества в массе или объеме сплава (смеси, раствора). • В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение: • концентрация с (доля чистого вещества в смеси); • количество чистого вещества в смеси (сплаве) А0; • масса смеси (сплава) А. • Соотношение между этими величинами следующее: Масса смеси × концентрация = количество чистого вещества или А × с = А0

49. Примечания: • 1) В задачах на смеси, сплавы и концентрацию в качестве неизвестных удобнее выбирать либо весь вес (или объем) вещества, которое нас интересует в смеси, либо его концентрацию, т.е вес (или объем) данного вещества в единице веса (или объема) смеси. • 2) При исследовании смеси надо держать в памяти две её характеристики: общее количество данного вещества в смеси и количество данного вещества в 1 кг (или 1 литре) смеси.

50. Примечания: • 3) При слиянии двух растворов, имеющих объемы V1и V2, получается смесь, объем которой равен V = V1 +V2 • 4) При смешении одинакового количества каких-либо растворов получается раствор с процентным содержанием, равным среднему арифметическому процентного содержания исходных растворов.